全等、轴对称、勾股定理

1、第一章 全等三角形1.如图所示，ABCADE，BC的延长线过点E，ACB=AED=105°，CAD=10°，B=50°，求DEF的度数 。ABCFDE 2.如图，AOB中，B=30°，将AOB绕点O顺时针旋转52°得到AOB边AB与边OB交于点C（A不在OB上），则ACO的度数为 。BAABOC 3如图所示，在ABC中，A=90°，D,E分别是AC,BC上的点，若ADBEDBEDC,则C的度数是 。DECBA4.如图所示，把ABC绕点C顺时针旋转35°，得到ABC,AB交AC于点D，若ADC=90°，则A= 。BD

2、ACBA5如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC,AC=DB，已知ABC=60°，求ADC的度数。BADC6已知，如图所示，AB=AC,ADBC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD= .ABDC7如图，RtABC中，BAC=90°，AB=AC,分别过点B，C,作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E，若BD=3，CE=2,则DE= .DAECB8如图，AD是ABC 的角平分线，DEAB,DFAC,垂足分别是E,F，连接EF,交AD于G,AD与EF垂直吗？证明你的结论。BDCFAEG1.如图，已知ABC中，延长AC边上的中线BE到

3、G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD,连接AF,AG.(1) 补全图形(2) AF于AG的大小关系如何？证明你的结论。(3) F,A,G三点的位置关系如何？证明你的结论。CEEADB2.如图，在ABC中，ADBC，CEAB,垂直分别为D,E,AD,CE交于点H，已知EH=EB=3,AE=4,求CH的长。AEDCBH3.已知，如图，AB=AE, B=E, BAC=EAD, CAF=DAF.求证：AFCDABEDFC4.如图，AD=BD,ADBC于D,BEAC于E,AD于BE相交于点H，则BH与AC相等吗？为什么？ BAEHDC5DAC, EBC均是等边三角形，AE,BD分别

4、与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) CMN为等边三角形（4）MNBCEEDACBNM6如图，在ABC中，B=60°，AD,CE是ABC的角平分线，且交于点O.求证：AC=AE+CDAEBDC7如图，在ABC中，M是BC中点，AN平分BAC,AN垂直BN于N ,已知AB=10,AC=16,求MN的长。（中位线：连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半）ABNCM8在ABC中，A=90°，AB=AC,M是AC边上的中点，ADBM交BC于D,交BM于E.求证：AMB=DMCBAEMCD1已知如图所示，ADC=ABC=90°

5、，AD=CD,DPAB于P,DP=3,求四边形ABCD的面积。APBCD2.ABC内，BAC=60°，ACB=40°，P，Q分别在边BC,CA上，并且AP,BQ分别是BAC , ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPABPCQ3.已知D是ABC的边BC上一点，且CD=AB, BDA=BAD,AE是ABD的中线。求证：AC=2AEBEDCA4.已知：BD，CE是ABC的高，点F在BD上，BF=AC,点G在CE的延长线上，CG=AB.求证:AGAFBCDAGEF5如图所示，在ABC中，ABC=110°，ACB=40°，CE是ACB的角平分线，D是AC

6、上一点，若CBD=40°，求CED的度数。ADCBE6.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且DAE=FAE.求证：AF=AD+CFABFCED7已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BDAE于D，CEAE于E,(1)当直线AE处于如图的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE处于如图的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。BADEC BCEAD 1.如图所示，已知ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，ADB=60

7、°，E是AD上一点，且DE=DB,求证：AE=BE+BCADEBC2如图所示，BAC=90°，AB=AC,AE是过A的一条直线，B,C在AE的异侧，BDAE于D,C, CEAE于E,求证：BD=DE+CEABDEC3.如图所示，已知，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.求证：BEACABDCEF4.如图所示，在ABC中，AD为BAC的角平分线，DEAB于E,DFAC于F, ABC的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长。AEFBDC5.如图所示，已知在AEC中，E=90°，AD平分EAC,DFAC,

8、垂足为F,DB=DC.求证：BE=CF.ABFCDE6如图所示，在ABC中，AB=AC, A=100°，BD平分ABC.求证：AD+BD=BCABDC7.如图所示，ABE和ADC是ABC分别沿边AB和AC翻折180°形成的，若1：2：3=28：5：3，则4的度数 。BAEDC2138.如图所示，ABC中，ACB=110°，ABC=40°，BE平分ABC交AC于点E，D是AB边上一点，DCB=40°，求DEC的度数。CBDEA1. 如图所示，BD=DC,DEBC,交BAC的平分线于E，EMAB,ENAC,求证：BM=CNACNEMBD2. 如图所

9、示，B=C=90°，M是BC上一点，且AMD=90°，DM平分ADC。求证：AM平分DABABBMDC2已知：如图3-49，ADBC，1=2，3=4，直线DC过E点交AD于D，交BC于C求证：ADBC=AB3.如图：已知中，是中点，是AC边上的一个动点，连接PF，把绕顺时针旋转90度时与重合，回答下列问题：（1）判断的形状，并说明理由（2）在中，若AB=2cm，求四边形AEPF的面积BACFPE4已知：如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，BD=180°，AFDE，交BD于F求证：CF=CD5.如图所示，已知ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，

10、ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB,求证：AE=BE+BCADEBC23.如图, AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线,为什么?5、如图ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，（1）求证：PA=PB=PC（2）点P是否也在AC的垂直平分线上呢？（12分）2、如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于D，PEOB于E，F是OC上一点，连接DF和EF，求证：DF=EF。（10分）3、如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，连接EF

11、，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。BADCEF24已知：如图，BFAC于点F，CEAB于点E，且BD=CD 求证：BDECDF 点D在A的平分线上27在ABC中，A=90°，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，CEBD于E，若BD=m，CE=n,试探究m，n之间的关系式。25如图所示，BD是ABC的平分线，DEAB于点E，AB=36 cm，BC=24 cm，SABC=144 cm，求DE的长（ 8分 ）26已知：如图1，点C为线段AB上一点，ACM，CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F (1)求证：AN=BM； (2)求证：CEF为等边三角形

12、；(3)将ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）（ 8分 ）19、如图，已知ABCD，O是ACD与BAC的平分线的交点，OEAC于E，且OE2，则AB与CD之间的距离为ABDCOE第19题10 如图，ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SABOSBCOSCAO等于（ ）A111 B123 C234 D34515正方形ABCD中,AC、BD交于O,EOF90o,已知AE3,CF4,则SBEF为.12如图所示，已知ABC和BDE都是等边三角

13、形。下列结论： AE=CD；BF=BG；BH平分AHD；AHC=600,BFG是等边三角形； FGAD。其中正确的有（ ）A 3个 B 4个 C 5个 D 6个16如图所示，AD是ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是 ABDC20（2008年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC图1图2DCEAB22如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，A

14、FCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE. （8分）23、如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。（8分） 求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。24在ABC中,ACB90o,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E. （10分）当直线MN绕点C旋转到图的位置时,求证: DEADBE当直线MN绕点C旋转到图的位置时,求证: DEADBE;当直线MN绕点C旋转到图的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.25.

15、如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AMBN,按下列要求画图并回答：画MAB、NBA的平分线交于E。（12分） （1）AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC=AB；AD+BC=CD谁成立？并说明理由。第二章 轴对称图形一、填空题：(每小题3分,共30分)1、轴对称是指_个图形的位置关系;轴对称图形是指_个具有特殊形状的图形。2、设A、B两点关于直线MN对称，则_垂直平分_。3、成轴对称的汉字可以写一些词汇，如“苹果”，请你也写两个：_。4、如图1，AB=AC，

16、A=40o,AB的垂直平分线MN交AC于点D，则DBC=_。5、如图2，若P为AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则PMN的周长是_。6、已知A(a,-2)与B(,b)关于y轴对称，则a=_,b=_。7、等腰三角形的一个角为40o,那么另外两个角的度数为_。8、等腰三角形的一边长为8cm，周长为30cm，另外两边长为_。9、等腰三角形的一腰上的高与底边夹角为12o，则顶角的度数为_。10、如图3，若B、D、F在MN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，A=20o,则FEB=_。二、选择题：（每小题3分

17、，共24分）11、如图4，四个图形中，是轴对称图形的有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个12、如图5，图中有且只有三条对称轴的是( )13、下列说法正确的是( )A.若两个三角形全等,那么它们一定关于某一条直线对称；B.两个关于某一条直线对称的三角形一定全等；C.两个图形关于某条直线对称,对称点一定在直线同旁；D.两个图形对应点连线垂直于某一条直线,那么这两个图形关于这长直线对称14、如图6,已知矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F处,如果BAF=60o,则DAE=( )A.15o B.30o C.45o D.60o 15、下列叙述正确的语句是( )A.等腰三角形两腰上的

18、高相等； B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C.顶角相等的两个等腰三角形全等；D.两腰相等的两个等腰三角形全等16、如图7:AB=AC=BD,则1和2的关系是( ) A. 1=22 B. 21+2=180o C. 1+32=180o D. 31-2=180o 17、如图8，ABC中，AB=AC，A=36o，BD平分ABC交AC于点D， DEAB交BC于E，EFBD交CD于F，则图中等腰三角形的个数为( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个18、如图9, ABC中，AB=AC=BC,CD是ACB的平分线,过D作DEBC交AC于E,若ABC的边长为a,则ADE的周长是( )A.2a

19、B.a C.a D.a一、填空题1经过_并且_的_ 叫做线段的垂直平分线2线段的垂直平分线有如下性质：线段的垂直平分线上的_与这条线段_的_相等3线段的垂直平分线的判定，由于与一条线段两个端点距离相等的点在_，并且两点确定_，所以，如果两点M、N分别与线段AB两个端点的距离相等，那么直线MN是_4完成下列各命题：（1）线段垂直平分线上的点，与这条线段的_；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在_；（3）不在线段垂直平分线上的点，与这条线段的_；（4）与一条线段两个端点距离不相等的点，_；（5）综上所述，线段的垂直平分线是_的集合 图215如图21，若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则（

20、1）PAC_； （2）PA_；（3）APC_； （4）A_6ABC中，若ABAC2cm，BC的垂直平分线交AB于D点，且ACD的周长为14cm，则AB_，AC_.7如图22，ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AC于P点（1）若A35°，则BPC_；（2）若AB5 cm，BC3 cm，则PBC的周长_图22一、填空题（每题2分，共32分）1线段轴是对称图形，它有_条对称轴，正三角形的对称轴有 条2下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并说明理由答：这个图形是： （写出序号即可），理由是 3等腰ABC中，若A=30°

21、，则B=_4ABC中，ADBC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC=_ _5在RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是_6判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形.7等腰ABC中，AB=AC=10，A=30°，则腰AB上的高等于_8如图，ABC中，AD垂直平分边BC，且ABC的周长为24，则AB+BD = ；又若CAB=60°，则CAD = BECDAABCDBHFAECGO第8题图 第9题图 第10题图9如图，ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC的关系如何？请用一句话表示

22、： 10如图：等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=6，AD=5，BC=8，且ABDE，则DEC的周长是_11请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形. 12等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为_13等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为32两部分，则此三角形的底边长为_ _. 14如图，三角形1与_成轴对称图形，整个图形中共有_条对称轴第14题图 第15题图 第16题图 15如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在如图C1的位置，若DBC=30º，则ABC1=_1

23、6如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，A=35º，BCO=30º，那么AOB=_ _ 三、解答下列各题：（19、20两题各7分，2124题各8分，共46分）19、如图10,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,若A到河岸CD的中点的距离为500米.(1) 牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短? (2)最短路程是多少?20、如图11，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的处，DE为折痕，作DF平分DB，试猜想FDE等于多少度，并说明理由。21、如图12，在RtABC中，ABC=90o，D、E

24、在AC上，且AB=AD，CB=CE。求EBD的度数。22、如图13，某船在上午11点30分在A处观测岛B在东偏北30o，该船以10海里/时的速度向东航行到C处，再观测海岛在东偏北60o，且船距海岛40海里。(1)求船到达C点的时间；(2)若该船从C点继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？23、如图14，已知在ABC中，AB=AC，BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F。求证：BF=2CF。24、如图15，(1)P是等腰三角形ABC底边BC上的一人动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R。请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想。(2)如果点P

25、沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，(1)中所得的结论还成立吗？请你在图15(2)中完成图形，并给予证明。一、解答题8已知：如图23，线段AB求作：线段AB的垂直平分线MN作法：图239已知：如图24，ABC及两点M、N求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边的距离相等作法：图24拓展、探究、思考10已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由图2511如图26，AD为BAC的平分线，DE AB于E，DFAC于F，那么点E、F是否关于AD对称

26、？若对称，请说明理由图26二、解答题4试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形（1）图31（2）图32（3）图335如图34所示，已知平行四边形ABCD及对角线BD，求作BCD关于直线BD的对称图形（不要求写作法）图346如图35所示，已知长方形纸片ABCD中，沿着直线EF折叠，求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形（不要求写作法）图357为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；（2）四块图形形状相同；（3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法：分别作两条对角线 （图），过一条边的四等分点作该边的垂线段

27、（图），（图中的两个图形的分割看作同一种方法）请你按照上述三个要求，分别在图的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法（只画图，不写作法）图368已知：如图37，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点，若A'Ba.（1）求APPB；（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AMMBAPPB图379已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M（1）如图38，在l上求作一点M，使得 AMBM 最小；作法：图38（2）如图39，在l上求作一点M，使得AMBM最大；作法：图39（3）如图310，在l上求作一点M，使得AMBM最

28、小图31010（1）如图311，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；图311（2）如图312，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQa，四边形APQB的周长最小图31211（1）已知：如图313，点M在锐角AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得PMQ的周长最小；图313（2）已知：如图314，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小图314二、解答题（共68分）17（5分）已知点M，N关于轴对称，求的值18（5分）已知A

29、B=AC，BD=DC，AE平分FAC，问：AE与AD是否垂直？为什么？ABCDEF19（5分）如图，已知：ABC中，BCAC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9 cm，BCE的周长为15 cm，求BC的长 20（5分）如图所示，已知ABC和直线MN求作：ABC，使ABC和ABC关于直线MN对称（不要求写作法，只保留作图痕迹）21（5分）如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹

30、.B A .22（5分）如图，在DABC中，AB=AC，ÐA=92°，延长AB到D，使BD=BC，连结DCADBC求ÐD的度数，ÐACD的度数23（5分）有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，BEG=60°，求折痕EF的长24（8分）如图所示，在ABC中，CD是AB上的中线，且DA=DB=DC（1）已知A=，求ACB的度数；ADBC（2）已知A=，求ACB的度数；（3）已知A=，求ACB的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论25（6分）如图所示，在等边三角形ABC中，B、C的平分线交于点O，OB和OC的垂直

31、平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理ABOEFCAFBCDE26（7分）已知AB=AC，D是AB上一点，DEBC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明ADF是等腰三角形的理由27（7分）等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论ACBPQ28（5分）如图是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图按箭头方向折叠成图，再将图按箭头方向折叠成图（1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图中（2）在折叠后的图形中，沿直线l剪掉标有A的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图中用阴影表示出来新课标第

32、一网第三章 勾股定理类型一：勾股定理的直接用法 1、如图B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用1、如图，已知：在中，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 1、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C

33、点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 1、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱

34、的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 类型四：利用勾股定理作长为的线段1、作长为、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法：如图所示 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 （ 1）原命题：猫有四只脚（正确） （ 2）原命题：对顶角相等（正确） （ 3）原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确

35、） （ 4）原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 2、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比

36、是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 【变式5】四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30°，点A处有一

37、所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正

38、三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 （二）方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90°，A=60°，求、的值。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求

39、EF的长。 例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？题型六：旋转问题：例1、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP=3，求PP的长。变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的边长.变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90°，E、F是BC上的点，且EAF=45°，试探究间的关系，并说明理由. 题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，

40、BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是ABC的中线，ADC=45°，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 题型九：关于最短性问题例5、如右图1

41、19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？三、课后训练：一、填空题COABDEF第3题图DBCA第4题图1如图(1)，在高

42、2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米图(1)2种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做 。3已知：如图，ABC中，C = 90°，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于                                 c