第十一章无穷级数42267

1、word.第十一章 无穷级数一、常数项级数1. 根本概念1无穷级数的定义：2级数的收敛与发散如果 ，那么称无穷级数收敛, 叫做级数的和，且；如果没有极限，那么称无穷级数发散.3性质性质1线性性质：设级数，为常数，那么. 性质2 级数收敛的必要条件级数收敛 如果级数的一般项不趋于零, 那么级数发散。4柯西审敛原理级数收敛对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，对任意的自然数，有 成立5几个典型常数项级数的敛散性 等比级数 (几何级数) 调和级数： (发散) P-级数： 【例1】判别级数的收敛性，并求级数的和。解：由于，由定义所以原级数收敛，且和为1。【例2】判断级数的敛散性。解：因为 而所

2、以 ，由级数收敛的必要条件，原级数发散。【例3】 假设，且收敛于，证明级数收敛.解 设级数的局部和为，级数的局部和为，因为所以 因为，所以，且，从而所以 ，由级数收敛的定义知级数收敛.【例4】利用柯西审敛原理判定以下级数的收敛性(1) ； (2) 解：1对任意给定的，要使取自然数，当时，对任何自然数有成立，由柯西审敛原理，级数收敛。2取，无论n多大，p=3n，有由柯西审敛原理，级数发散。2. 常数项级数审敛法(1) 常数项级数类型正项级数： 交错级数: 任意项级数: 2正项级数及其审敛法 充分条件： 正项级数收敛局部和所成的数列有界. 比拟审敛法： 设和均为正项级数，且,a. 假设收敛, 那么

3、收敛；b. 假设发散，那么发散. 极限审敛法：设与都是正项级数，那么 a. 当时，与具有相同的敛散性；b. 当时，假设收敛，那么收敛；c. 当时，假设发散，那么发散；重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 等价无穷小法： 假设等价无穷小，那么与具有相同的敛散性. 比值审敛法(达朗贝尔判别法)： 设是正项级数,如果,那么时级数收敛;时级数发散; 时失效. 根值审敛法(柯西判别法)：设是正项级数, 如果,那么时级数收敛;时级数发散; 时失效.3交错级数审敛法(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件: ；,那么级数收敛, 且其和, 其余项的绝对值.4任意项级数审敛法绝对收敛： 假设收敛,

4、那么称为绝对收敛;条件收敛： 假设发散,而收敛, 那么称为条件收敛.注：假设级数发散，不能断定级数也发散，但可利用比值法或根值法进行判断.做法如下：如果或，那么发散。由可知，从而，因此，发散。【例5】判定级数的敛散性解 当时， ，由级数收敛的必要条件知级数发散.当时， ，而为公比为的等比级数收敛，由比拟审敛法知级数收敛.【例6】判断级数的敛散性。解：此级数为正项级数，收敛，故由比拟审敛法，原级数收敛。注：应用比拟法判断一个正项级数的敛散性，最关键问题是要熟练掌握一批正项级数的敛散性(如几何级数，调和级数，级数等), 然后根据的特点，进行有针对性的放缩。【例7】 判别级数的敛散性。 解： 因为

5、，所以，分别考虑和的敛散性。对于，由比值法 ，知收敛，所以，绝对收敛；同理得收敛，可知原级数收敛。【例8】判断级数的敛散性。解：由比值审敛法，当时，原级数收敛；当时，原级数发散。当时，比值审敛法失效，注意到，原级数发散。注：在级数一般项中，假设含有形如的因子时，适于使用比值审敛法。【例9】判断级数的敛散性。解：此级数为正项级数， 故由根值审敛法，原级数收敛。注：在级数一般项中，假设含有次方时，适于使用根值审敛法。【例10】设常数k>0 ，那么级数 (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛或发散与 的取值无关 【 】解： 因为而级数为绝对收敛；级数为条件收敛，因此原级

6、数为条件收敛，(C)选项正确.【例11】判别级数 的敛散性。解：原级数为交错级数，先考虑级数的敛散性。由于当时，而级数发散，由比拟审敛法，级数发散，即原级数非绝对收敛。因为 ， 令，因为 所以f(x)在内单调递减，得于是由莱布尼兹判别法可得级数收敛，从而原级数条件收敛。注：在运用莱布尼兹定理判别时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。【例12】假设级数收敛，那么级数A收敛.B收敛.C收敛.D收敛. 【 】解 因为级数收敛， 那么级数收敛，所以收敛，D选项正确。假设，此级数收敛，但发散，所以(A)不正确；发散，所以(B)不正确。假设，此级数收敛，但发散，所以(C)不正确。二、函数项级数1根本

7、概念1函数项级数 ，是定义在上的函数 2收敛域 函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域.3和函数 在收敛域上,函数项级数的和函数为 .函数项级数的局部和 且.2. 幂级数 1形式：或2幂级数的收敛半径与收敛区间 收敛半径：对幂级数，都存在唯一的实数，当时幂级数绝对收敛，幂级数发散，称为幂级数的收敛半径收敛区间为；幂级数的收敛域，需确定端点的收敛性. 3收敛定理阿贝尔(Abel)定理：如果级数在处收敛，那么它在满足不等式的一切处绝对收敛；如果级数在处发散，那么它在满足不等式的一切处发散.4收敛半径求法定理：幂级数，假设 或，那么5幂级数的收敛半径、收敛区间收敛域的求法：求幂级数的收敛域，通常有三

8、种根本类型，即型、型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。解题方法见流程图。【例1】 求以下幂级数的收敛域：(1) (2) (1) 解：，当时，级数为，该级数发散。当时，级数为，该级数收敛。故此幂级数的收敛域为。 (2) 解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法 当，即时，级数收敛, 当，即时，级数发散,当时，级数为，为交错级数收敛,当时，级数为，为交错级数收敛,故此幂级数的收敛域为。【例2】设幂级数与的收敛半径分别为与，求幂级数的收敛半径.解：因为幂级数与的收敛半径分别为与，有，【例3】设幂级数的收敛半径为3，求幂级数的收敛区间.解：因为幂级数的收敛半径为3，所以令，所以 =，即，所以 【例4】求幂级

9、数的收敛域.解：令， 那么= 因为，所以 ，收敛区间为.当时，级数为，收敛. 当时，级数为，发散.所以，即，解得或故此级数的收敛域为.4幂级数的和函数1幂级数的和函数的分析性质： 幂级数的和函数在收敛域上连续。 幂级数的和函数在收敛域上可积，且收敛半径不变 幂级数的和函数在收敛区间内可导，且收敛半径不变2幂级数和函数的求法：求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分或“先积分后求导等技巧，并利用与形如或等幂级数的和函数，求出其和函数。【例5】求幂级数的和函数，并求的和。解：记 求导得   积分得 令，那么2 【例6】 求幂级数 在收敛区间内

10、的和函数。解：令 ，对幂级数在区间内逐项积分，得：其中，。再应用逐项积分的方法得：对求导得 所以 对求导得 即 5. 函数展开成幂级数1 泰勒级数 如果在点处任意阶可导，那么幂级数称为在点的泰勒级数. 时，称为的麦克劳林级数.2 几个重要函数的麦克劳林级数 3将函数展开成幂级数方法：直接法(泰勒级数法)： 1求； 2讨论，那么级数在收敛区间内收敛于间接法：利用常见展开式，通过变量代换，四那么运算，恒等变形，逐项求导，逐项积分等方法求展开式.注意：展开幂级数后，必须写出收敛域。【例7】将函数展开成的幂级数。解： 【例8】 将函数展开成的幂级数，并求级数的和。解：因为 而 ，所以 ，又因为，从而积

11、分得 ，因为幂级数在处收敛，所以，收敛域为。当时，=0，所以【例9】将函数展开成的幂级数.解：积分得 ，再求导得 ，6. 函数项级数的一致收敛性 1一致收敛定义：设函数项级数，对于任意给定的，总存在着一个只依赖于的自然数N，使得当n>N时，对区间I上的一切x有成立，那么称函数项级数在区间I上一致收敛于和s(x)，也称函数序列在区间I上一致收敛于s(x).2一致收敛判定理魏尔斯特拉斯判别法如果函数项级数在区间I上满足条件：；正项级数收敛，那么函数项级数在区间I上一致收敛.3一致收敛的根本性质 级数的各项在a, b上都连续，且在区间a, b上一致收敛于s(x)，那么s(x)在a, b上也连续

12、。 级数的各项在a, b上都连续，且在区间a, b上一致收敛于s(x)，那么级数在a, b上可以逐项积分，即其中，且级数在a, b上也一致连续. 级数在区间a, b上收敛于s(x)，它的各项都具有连续导数，且在区间a, b上一致收敛，那么级数在a, b上也一致收敛，且可逐项求导，即【例10】讨论级数在区间-1, 1上的一致收敛性.解：前n项和 要使 取，当时，对于上的一切x，有成立，所以级数在区间上的一致收敛.【例11】利用维尔斯特拉斯判别法证明以下级数一致收敛(1) ； 2解：(1) 因为，而收敛，由维尔斯特拉斯判别法知在上一致收敛.(2) 因为, 而收敛，由维尔斯特拉斯判别法知在上一致收敛

13、.7. 傅里叶级数1傅里叶级数：设是以为周期的函数，且在上可积，称三角级数为傅里叶级数，其中或 称为傅里叶系数.2 傅里叶级数收敛定理(狄利克雷充分条件)： 设是以为周期的周期函数，如果它满足条件：在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，那么的傅里叶级数收敛，并且： 当是的连续点时,级数收敛于； 当是的间断点时,收敛于；注意：对于非周期函数, 如果函数只在区间上有定义, 并且满足狄氏充分条件, 也可展开成傅氏级数.做法：对进行周期延拓，得到周期为的函数，将展开成傅里叶级数，限制在内，此时，在区间端点处收敛于.3奇偶函数的傅里叶级数 周期为的奇函数展开成傅里叶级数为正

14、弦级数,它的傅里叶系数为 周期为的偶函数展开成傅里叶级数余弦级数,它的傅里叶系数为注：对于非周期函数，如果函数只在区间或上有定义，并且满足狄氏充分条件，也可展开成正弦级数和余弦级数。做法：对进行奇延拓或偶延拓，将延拓后的函数展开成傅里叶级数，限制在上，此时，这样便得到的正弦级数或余弦级数的展开式。4一般周期的傅里叶级数：设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，那么它的傅里叶级数展开式为 其中系数为 【例12】将展开成傅里叶级数。解：所给函数在上满足收敛定理，将函数进行周期延拓，函数在每一点均连续。为偶函数，所以。傅立叶系数为： ()【例13】在上将函数展开为正弦级数，并求常数项级数的和。解：将函数进行奇延拓，那么有函数的正弦级数为 ()令，那么， 注：数项级数求和也可通过傅立叶级数展开式求得。【例14】设， ，其中 ( )，那么= .解：因为为余弦级数，可见将进行偶延拓。，为的和函数，为间断点，所以=8