清华微积分高等数学函数学习教案

1、会计学1清华清华(qn hu)微积分高等数学函数微积分高等数学函数第一页，共41页。2021-12-72第1页/共40页第二页，共41页。微积分讲课(jing k)教师陆小援第2页/共40页第三页，共41页。2021-12-74参考书目：1. 微积分教程(jiochng) 韩云瑞等清华大学出版社3. 微积分学习(xux)指导韩云瑞等4. 大学(dxu)数学概念、方法与技巧 微积分部分 刘坤林等2. 一元微积分 萧树铁 主编 高教出版社清华大学出版社清华大学出版社第3页/共40页第四页，共41页。2021-12-75作 业 P3 习题(xt)1.1 4(2)(4)(6). 7. P7 习题(xt

2、)1.2 2. 5. P12 习题(xt)1.3 7. 9.预习(yx)：P2739第4页/共40页第五页，共41页。2021-12-76答疑时间(shjin)地点：理科(lk)楼 数学系 1111交作业(zuy)时间： 星期一星期五 课后第5页/共40页第六页，共41页。2021-12-77引言(ynyn)（一）上大学(dxu)学什麽？ 珍惜(zhnx)时光 三个方面 学会自学尝试研究性的学习方法：提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：有计划地安排学习做人之道, 治学之方, 健身之术学会向书本、老师、周围学第6页/共40页第七页，共41页。2021-12-78（二）学数学(shxu)学

3、什麽？ 数学(shxu)的基本特征抽象性演绎(yny)性广泛性（研究对象）（论证方法）（应用）假设结论logic理性思维第7页/共40页第八页，共41页。2021-12-79关关于于学学习习数数学学的的要要求求1 1) )搞搞清清概概念念，侧侧重重思思路路。2 2) )适适当当做做题题，掌掌握握基基本本。3 3) )广广泛泛联联想想，多多方方应应用用。第8页/共40页第九页，共41页。2021-12-710（三）这个(zh ge)学期学什麽？ 一元函数微分(wi fn) 利用极限研究函数(hnsh)的种种表达及其诸多性质极限的直观定义与计算导数与微分的概念与计算微分学应用 一元函数积分不定积分

4、定积分概念与计算积分学应用 简单微分方程第9页/共40页第十页，共41页。2021-12-711第一(dy)讲 函数一、予备知识(zh shi)二、函数(hnsh)概念三、函数的初等性质四、复合函数与反函数五、初等函数第10页/共40页第十一页，共41页。2021-12-712一、予备知识(zh shi)1. 常用(chn yn)的数的集合自然数集自然数集有理数集有理数集整数集整数集实实数数集集,210nN， ,210nZ ，,Q为为互互质质的的整整数数qpqp R是是实实数数xx ,CRyxiyx 复复数数集集第11页/共40页第十二页，共41页。2021-12-7132. 邻域(ln y)

5、0,0 Rx设设0 x 0 x 0 x Ox),(),(0000 xxxxxxN 000 xxxxx).,(000 xNxxxx记作记作邻域邻域的的称为点称为点数集数集 邻域邻域的空心的空心点点称为称为数集数集 00*0),(0 xxNxxx),(000 xxx 第12页/共40页第十三页，共41页。2021-12-714逻辑符号逻辑符号. 3”）全全称称量量词词“（ 1”表示“任意的”。”表示“任意的”。“ 例如：例如：”“Rx ”。”。表示“对于任意的实数表示“对于任意的实数 x”）存存在在量量词词“（ 2”表示“存在”。”表示“存在”。“ 例如：例如：）”（且且“b,acQc,ba,Qb

6、,a .cb,a有理数有理数之间，存在之间，存在表示“任意两个有理数表示“任意两个有理数第13页/共40页第十四页，共41页。2021-12-715二、函数(hnsh)概念定义(dngy)：.RD为为非非空空数数集集设设 .).(,!,上上的的一一个个函函数数在在为为定定义义则则称称记记作作与与之之对对应应实实数数按按确确定定的的规规则则如如果果DfxfyyfDx RDf:或或记记.,定定义义域域因因变变量量自自变变量量Dyx存在(cnzi)唯一值值域域),(,DxxfyRyy )(Df)( fR或或第14页/共40页第十五页，共41页。2021-12-716函数的两个(lin )要素：2.定

7、义域 D1.对应(duyng)规则 fxxyxy2: 与与例例12)(2 xxf例例：表表示示对对应应规规则则 f12)(2 f112)1(2 f1)12(2)12(2 ttf1)1(2)1(2 xxf表表示示的的是是不不同同的的函函数数定定义义域域不不同同，第15页/共40页第十六页，共41页。2021-12-717三、函数(hnsh)的初等性质1. 函数(hnsh)的奇偶性称称为为奇奇函函数数)(),()(,xfxfxfDx 称称为为偶偶函函数数)(),()(,xfxfxfDx 2. 函数(hnsh)的增减性)f,)x(f)xf)x(f)x(fxx,Ix,x（严格单调增函数（严格单调增函数

8、为单调增函数为单调增函数称称）（21212121( )f),)x(f)x(f()x(f)x(fxx,Ix,x严格单调减函数严格单调减函数（为单调减函数为单调减函数称称21212121 第16页/共40页第十七页，共41页。2021-12-7183. 函数(hnsh)的周期性为周期函数为周期函数称称 f)x(f)Tx(fx,T R0的的周周期期是是则则称称有有最最小小周周期期若若fTTf,注意 并不是所有的函数(hnsh)都有最小周期例如(lr)：考察狄里克雷函数 为无理数为无理数当当为有理数为有理数当当xxx, 0, 1)( 第17页/共40页第十八页，共41页。2021-12-7194. 函

9、数(hnsh)的有界性定义(dngy)：使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)1(M,M)x(f,Dx 都都有有每每一一个个.上上是是有有上上界界的的在在则则称称函函数数Df使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)2(NN)x(f,Dx 都有都有每一个每一个.上上是是有有下下界界的的在在则则称称函函数数Df第18页/共40页第十九页，共41页。2021-12-720.,)3(数数有界函有界函称为称为数数既有上界又有下界的函既有上界又有下界的函使使得得对对于于即即存存在在一一个个正正数数, 0 M.)(,MxfDx 成立成立每一个每一个例),( xeyeyxx和和00),( x

10、xeex和和有有因为因为.,),(,无上界无上界有下界有下界上上在在和和所以所以 xxeyey第19页/共40页第二十页，共41页。2021-12-721问题 如何定义(dngy)无界函数？.,)(, 0*上无界上无界在在则称函数则称函数使得使得总存在总存在如果对任意的正数如果对任意的正数DfMxfDxM 例.), 0()0,(1上上是是无无界界的的在在 xy.),(, 0有有界界的的上上是是在在对对任任意意的的 则则有有取取对对任任意意的的,21, 0*MxM MMxxx 21* 11 x第20页/共40页第二十一页，共41页。2021-12-7221x2xxx)(xfy yoAB凸凸的的（

11、下下凸凸）5.函数(hnsh)的凸性第21页/共40页第二十二页，共41页。2021-12-723yxo1x2xx凹凹的的（上上凸凸）)(xfy AB第22页/共40页第二十三页，共41页。2021-12-724可表示为如下形式：可表示为如下形式：xxxx, ),(21 ,11121xkkxkx 可解出可解出1,1,02121 且且其中其中221121,),(xxxxxx 有有则)0(,21 kkxxxx记记,1,1121kkk 令令第23页/共40页第二十四页，共41页。2021-12-725弦线AB的方程(fngchng)为)()()()()(112121xxxxxfxfxfxY )()(

12、, ),(221121xxYxYxxx 有有121 )()()(2211xfxfxY )()()()(1221112121xxxxxxfxfxf 第24页/共40页第二十五页，共41页。2021-12-726.,)()()(.,1)()()(, ,.,:)(2211221121212211221121函函数数上上为为凹凹在在则则称称如如果果函函数数凸凸上上为为在在则则称称都都成成立立和和的的任任意意非非负负实实数数对对于于满满足足不不等等式式如如果果设设函函数数bafxfxfxxfbafxfxfxxfbaxxRbaxf （一） 凸性定义(dngy)：第25页/共40页第二十六页，共41页。20

13、21-12-727四、 复合(fh)函数与反函数定义(dngy)：这这时时在在集集合合的的交交集集非非空空定定义义域域的的与与的的值值域域并并且且和和假假定定给给了了两两个个函函数数,)()(),()(fDfgRgxguufy ,)()(),(上上且且fDxggDxxD .),(构构成成的的复复合合函函数数与与这这个个函函数数为为由由则则称称可可以以确确定定一一个个函函数数gfxgfy 1. 复合(fh)函数第26页/共40页第二十七页，共41页。2021-12-728例,sin)(,)()1(xxgueufyu 则有 xexgfsin)( ),( x,)(,)()2(2xxguuufy 则有

14、 xxxgf 2)(),( xgf 记记作作)(:)(xgfxgf 即即第27页/共40页第二十八页，共41页。2021-12-729, 1)(,ln)()4(2 xxguuufy则有 ),1ln()(2 xxgf)., 1()1,( x. 1)(,arcsin)()3( xexguuf所以(suy), 不能构成复合函数 ).(xgf,1, 1)( fD), 1()( gR.)()( gRfD因为(yn wi)第28页/共40页第二十九页，共41页。2021-12-7302. 反函数在函数定义(dngy)中，要求函数是单值的，即)()(2121xfxfxx )()(,2121xfxfxx 不不

15、一一定定有有但但是是)()(2121xfxfxx 如果如果之之间间就就有有如如下下关关系系与与值值域域则则在在定定义义域域)(DfD)(,!),(xfyDxDfy 使使得得.)(,)(的的反反函函数数称称为为函函数数新新的的对对应应关关系系到到个个由由这这是是一一xfyDDf )()(1Dfyyfx 记记作作第29页/共40页第三十页，共41页。2021-12-731.)(11DffDfff的的定定义义域域的的值值域域是是；的的值值域域的的定定义义域域是是函函数数反反函函数数由由定定义义可可以以知知道道： 第30页/共40页第三十一页，共41页。2021-12-732例2xxfysin)( 设

16、设严严格格单单调调则则1, 12,2 : f1, 1arcsin)(1 yyyfx有反函数有反函数例3), 0(),( xey是是严严格格单单调调函函数数习惯(xgun)上, 记), 0(ln xxy), 0(ln)(1 yyyfx有反函数有反函数第31页/共40页第三十二页，共41页。2021-12-733五、 初等(chdng)函数基本(jbn)初等函数（2）幂函数（5）三角函数(snjihnsh)（3）指数函数（6）反三角函数（4）对数函数（1）常量函数 xy )0( aayxxey )(常数常数cy xyalog xxyelog:ln e是无理数xxxxcot,tan,cos,sinx

17、arcxxxcot,arctan,arccos,arcsin都是周期函数第32页/共40页第三十三页，共41页。2021-12-734初等(chdng)函数基本初等函数(hnsh)经过有限次的四则运算及复合(fh)运算所得到的函数, 称为初等函数.双曲函数双曲正弦)(21sinhxxeex 双曲余弦)(21coshxxeex 双曲正切xxxxeeeexxx coshsinhtanh),( x第33页/共40页第三十四页，共41页。2021-12-735反双曲正弦(zhngxin)1ln(harcsin2xxx 反双曲余弦(yxin)1ln(harccos2 xxx反双曲正切(zhngqi)xx

18、x 11ln21harctan),( x), 1 x)1, 1( x第34页/共40页第三十五页，共41页。2021-12-736非初等函数(hnsh)的例子（1）符号(fho)函数 . 0, 1, 0, 0, 0, 1sgnxxxxyOyx 11 xxxsgn 注意(zh y)第35页/共40页第三十六页，共41页。2021-12-737（2）取整函数(hnsh) ), 1(:Zkkxkkxy 25 . 2 例如(lr) 35 . 2 Oyx11 2342 3 1231 2 3 注意(zh y) )(1Rxxxx 第36页/共40页第三十七页，共41页。2021-12-738函数(hnsh)表示的其他分类：（1）显函数(hnsh)（2）隐函数(hnsh)（3）参数式函数)(xfy 确确定定的的函函数数由由方方程程0),( yxF确定的函数确定的函数由参数方程由参数方程 )()(tyytxx第37页/共40页第三十八页，共41页。2021-12-7392, 0sincos1 ttbytax椭椭圆圆：例例0,)cos1()sin(3 atayttax摆摆线线：例例aa 22, 0sincos200 ttryytrxx圆圆：例例第38页/共40页第三十九页，共41页。2021-12-7402, 0sincos433 t