北京市东城区2020届高三高考第一次模拟(4月份)数学试题

1、- 1 - 2020 年高考数学（ 4 月份）第一次模拟试卷一、选择题（共 10 小题） . 1.已知集合10ax x x，集合11bxx，则=abu（）a. -11xxb. -10 xxc. -11xxd. 01xx【答案】 c 【分析】解集合10axx，即可求ab【详解】 解一元二次不等(1)0 x x，可得10axx，则=ab-11xx，故选 c【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题2.已知复数12izi（其中 i 是虚数单位） ，则z（）a. 22b. 2c. 1d. 2 【答案】 a 【分析】利用复数模长的性质即可求解. 【详解】q复数22111122222i

2、iiiziii，22112()()222z，故选： a. 【点睛】本题考查求复数的模，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题 . 3.抛物线24xy的准线与y轴的交点的坐标为（）- 2 - a. 1(0,)2b. (0, 1)c. (0, 2)d. (0,4)【答案】 b 试题分析：准线方程为：，与y轴的交点为(0, 1)，故选 b. 考点：抛物线的性质. 4.设函数120fxxxx，则fx（）a. 有最大值b. 有最小值c. 是增函数d. 是减函数【答案】 a 【分析】根据0 x即可根据基本不等式得出12xx，从而可得出4fx，并且1x时取等号，从而得出fx有最大值，由对

3、勾函数的图象知fx在(,0)没有单调性，从而得出正确的选项. 【详解】0 xq，112224fxxxxx，当且仅当1xx，即1x时取等号，fx有最大值，又由对勾函数的图象可知fx在,0上不具单调性 . 故选： a. 【点睛】本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题. 5.已知曲线 c 的方程为221xyab，则 “ ab ” 是“ 曲线 c 为焦点在 x 轴上的椭圆 ” 的（）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 b 【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. - 3 - 【详解】

4、若0ab，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线 c 为焦点在x 轴上的椭圆，则满足0ab，即0a，0b，满足 ab ，即必要性成立，即“ ab ”是“曲线c 为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选： b. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题. 6.一排 6 个座位坐了2 个三口之家 .若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）a. 12 b. 36 c. 72 d. 720 【答案】 c 【分析】根据题意， 用捆绑法分析： 先将 2个三口之家的成员进行全排列，再对 2 个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原

5、理计算可得答案. 【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有333336a a种情况，再对 2 个三口之家整体进行全排列，有222a种情况，则有36272种不同的坐法 . 故选： c. 【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题. 7.已知圆 c 与直线yx及40 xy的相切，圆心在直线yx上， 则圆 c 的方程为（）a. 22112xyb. 22112xyc. 22114xyd. 22114xy【答案】 a 【分析】根据圆心在直线yx上，设出圆心坐标为, a a，利用圆 c 与直线yx及40 xy都相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方

6、程. - 4 - 【详解】圆心在yx上，设圆心为, a a，q圆 c 与直线yx及40 xy都相切，圆心到两直线yx及40 xy的距离相等，即224122aaa，圆心坐标为1,1，222r，圆 c 的标准方程为22112xy. 故选： a. 【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 8.已知正项等比数列na中，51927a aa，6a与7a的等差中项为9，则10a（）a. 729 b. 332 c. 181 d. 96 【答案】 d 【分析】正项等比数列na的公比设为q，0q，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性

7、质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值. 【详解】设正项等比数列na的公比为q，则0q，由51927a aa，可得3527a，即53a，即413a q，6a与7a的等差中项为9，可得6718aa，即561118a qa q，由可得260qq，解得2q =或3q（舍） ，则510533296aa q. 故选： d. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等差中项的概念，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. - 5 - 9.春天来了， 某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2 倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积

8、一半时，荷叶已生长了 （）a. 10 天b. 15 天c. 19 天d. 2 天【答案】 c 【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解+析式，并注明x 的范围，列出方程求解即可. 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则 x天后荷叶覆盖水面的面积2xyaxn，根据题意，令20222xaa，解得19x，故选： c. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查学生建模能力、数学运算能力，是一道容易题. 10.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10， 8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）a. 5b. 6c. 7d. 8 【答案

9、】 b 【分析】将原问题转化为venn 的问题， 然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示， （a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（ b+d+e+x）表示周二开车上班人数， （ c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：- 6 - 1410820abcxbdexcefxabcdefx，即22233220abcdefxabcdefx，即212bcex，当 b=c=e0 时， x 的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6. 【点睛】本题主要考查venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解

10、能力. 二、填空题共 5 题，每题 5分，共 25分. 11.设向量ar，br不平行，向量abrr与2abrr平行，则实数_【答案】12因为向量abrr与2abrr平行，所以2abk abrrrr（），则12 ,kk，所以12考点：向量共线12.已知角的顶点在坐标原点， 始边与 x 轴的正半轴重合， 将角的终边按逆时针方向旋转6后经过点1, 3，则sin_. 【答案】 1 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得的值，可得sin的值 . 【详解】q角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转6后经过点1,3，3tan361，22,63kkz，- 7 - 所以

11、2,2kkz，sinsin(2)12k. 故答案为： 1. 【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题 . 13.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为_【答案】43【分析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果. 【详解】由三视图知该几何体如图，v12 1 2343故答案为43【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 14.若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的 2 个点，则该抛物线的标准方程可以是_- 8 - 【答案】28xy或2yx【分析】分两类情况，设出抛物线

12、标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2xmy，不难验证12,4,22，适合，故28xy；设抛物线的标准方程为：2nyx，不难验证1,14,2，适合，故2yx；故答案为：28xy或2yx【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y, 观影人数记为x, 其函数图象如图（ 1）所示 .由于目前该片盈利未达到预期, 相关人员提出了两种调整方案, 图（2） 、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象 . 给出下列四种说法: 图（ 2）对应的方案是: 提高票价 , 并提高成本 ; 图

13、（ 2）对应的方案是: 保持票价不变 , 并降低成本 ; 图（ 3）对应的方案是: 提高票价 , 并保持成本不变; 图（ 3）对应的方案是: 提高票价 , 并降低成本 . 其中 , 正确的说法是 _.（填写所有正确说法的编号）【答案】 【分析】根据图象可知盈利额y与观影人数x成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)图象进行分析即可得出答案 . - 9 - 【详解】解 : 由图象 (1)可设盈利额y与观影人数x的函数为 ykxb, 0,0kb,即k为票价 , 当0k时,yb,则b为固定成本 , 由图象 (2)知,直线向上平移, k不变 ,即票价不变 , b变大 ,则b变小 ,成本减小 . 故错误

14、 , 正确 ; 由图象 (3)知,直线与y轴的交点不变 ,直线斜率变大, k变大 ,即提高票价 , b不变 ,则b不变 ,成本不变 . 故正确 , 错误 ; 故答案为 : 【点睛】本题考查一次函数图象的变化, 以及k和b对一次函数图象的影响,是基础题 . 三、解答题16.如图 1，在abcv中，d，e分别为ab，ac的中点，o为de的中点，2 5abac，4bc.将abcv沿de折起到1a de的位置，使得平面1a de平面bced，如图 2. （1）求证：1aobd；（2）求直线1ac和平面1a bd所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解 +析； （2）2 23. - 10 - 【分析】（

15、 1 ） 由 题 意 可 得1aode， 又 平 面1a de平 面bced， 且 平 面1a de i平 面bcedde，1ao平面1a de，所以1ao平面bced，可证1aobd；（2）以o为原点，建立空间直角坐标系，求平面1a bd的法向量，用向量的方法求直线1ac和平面1a bd所成角的正弦值. 【详解】 （1） 连接1ao.图 1 中，abacq，d，e分别为ab，ac的中点，adae，即11a dae，又o为de的中点，1aode. 又平面1a de平面bced，且平面1a de i平面bcedde，1ao平面1a de，1ao平面bced，又bd平面bced，1aobd. （2

16、）取bc中点g，连接og，则ogde. 由（ 1）可知1ao平面bced，og平面bced11,aode aoog. 以o为原点，分别以1,og oe oa所在直线为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，如图所示2 5abacq，4bc，22115,2,1,512a ddeodao. 10,0,2 ,2, 2,0 ,2,2,0 ,0, 1,0abcd，- 11 - 11112,2, 2 ,0, 1, 2 ,2,2,22 3a ba dacacu uu ruuuu ru uuruuur，. 设平面1a bd的法向量为, ,nx y zr，则1100n a bn a du uu vvu uu u

17、vv， 即222020 xyzyz， 令1z， 则2,1yx，1, 2,16nnrr，. 设直线1ac和平面1a bd所成的角为，则111822sincos,32 36ac nac nacnuuur ruuur rguuur r，所以直线1a c和平面1a bd所成角的正弦值为223. 【点睛】本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题 . 17.在2222bacac, cossinabba, sincos2bb这三个条件中任选一个 , 补充在下面的问题中, 并解决该问题 . 已知abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c_,3a,2b, 求abc的面积

18、 . 【答案】 答案不唯一 , 具体见解 +析【分析】（1）选2222bacac,先用余弦定理求出角b,根据三角形内角和为可算出角c,再由正弦定理求出a边,最后用三角形的面积公式1sin2abcsabc求面积即可 . （2）选 ,先用正弦定理的推论将cossinabba边化角 ,整理得角b,根据三角形内角和为可算出角c,再由正弦定理求出a边 ,最后用三角形的面积公式1sin2abcsabc求面积即可. 【详解】解： （1）若选择2222bacac, - 12 - 由余弦定理22222cos222acbacbacac, 因为(0,)b, 所以4b; 由正弦定理sinsinabab, 得2 sin

19、sin33sin22baab, 因为3a,4b, 所以53412c, 所以562sinsinsinsincoscossin124646464c, 所以116233sin322244abcsabc. （2）若选择cossinabba, 则sincossinsinabba, 因为sin0a, 所以sincosbb, 因为(0,)b, 所以4b; 由正弦定理sinsinabab, 得2 sinsin33sin22baab, 因为3a,4b, 所以53412c, - 13 - 所以562sinsinsinsincoscossin124646464c, 所以116233sin322244abcsabc.

20、 （3）若选择sincos2bb, 则2 sin24b, 所以sin14b, 因为(0,)b, 所以5,444b, 所以42b, 所以4b; 由正弦定理sinsinabab, 得2 sinsin33sin22baab, 因为3a,4b, 所以53412c, 所以562sinsinsinsincoscossin124646464c, 所以116233sin322244abcsabc. 【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形, 熟记公式是解题的关键. 18.为了解甲、乙两个快递公司工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快

21、递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制表如图：- 14 - 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5 元；乙公司规定每天 35 件以内（含35 件）的部分每件4 元，超出 35 件的部分每件7元 . （1）根据表中数据写出甲公司员工a 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工b 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为x（单位：元） ，求 x 的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 【答案】 （1）平均数为36，众数为 33； （2）详见解 +析； （3） 甲公

22、司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. 【分析】（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工a 投递快递件数的平均数和众数. （2）由题意能求出x 的可能取值为136，147， 154， 189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出x 的分布列和数学期望. （3）利用（ 2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 【详解】（1）甲公司员工a 投递快递件数的平均数为：1323333383536393341403610 x，众数为 33. （2）设 a 为乙公司员工b投递件数，则当34a时，136x元，当35a时，35 4357xa元，x的可能取值为136，

23、147，154， 189，203，113610p x，314710p x，215410p x，318910p x，120310px，x 的分布列为：x 136 147 154 189 203 - 15 - p 110310210310110132311655136147154189203165.5101010101010e x（元） . （3）根据图中数据，由（2）可估算：甲公司被抽取员工该月收入36 4.5 304860元，乙公司被抽取员工该月收入165.5 304965元. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

24、 19.已知函数ln1afxxx. （1）若曲线yfx存在斜率为 -1 的切线，求实数a的取值范围；（2）求fx的单调区间；（3）设函数lnxag xx，求证：当10a时，g x在1,上存在极小值. 【答案】 (1),0.(2) 答案见解 +析； (3) 证明见解 +析【详解】试题分析：（1）求出函数的导数， 问题转化为20 xxa存在大于 0 的实数根， 根据2yxxa在0 x时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g x，根据0afee，得到存在0(1, )xe，满足00()gx，从而让得到函数单调区间，求出函

25、数的极小值，证处结论即可. 试题详细分析：（1）由ln1afxxx得221(0)axafxxxxx. 由已知曲线yfx存在斜率为 -1 的切线，所以1fx存在大于零的实数根，即20 xxa存在大于零的实数根，因为2yxxa在0 x时单调递增，- 16 - 所以实数a 的取值范围,0. （2）由2,0,xafxxarx可得当0a时，0fx，所以函数fx的增区间为0,；当0a时，若,xa，0fx，若0,xa，0fx，所以此时函数fx的增区间为,a，减区间为0, a. （3）由lnxag xx及题设得22ln1lnlnaxfxxgxxx，由10a可得01a，由（ 2）可知函数fx在,a上递增，所以1

26、10fa，取xe，显然1e，ln10aafeeee，所以存在01,xe满足00fx，即存在01,xe满足00gx，所以g x，gx在区间（ 1，+）上的情况如下：x0(1,x）0 x0(+x ，）gx0 + g x极小所以当 -1a0 时， g（x）在（ 1，+）上存在极小值. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值 )最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解+析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判

27、断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值 )，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用 . 20.已知椭圆22:36cxy的右焦点为f. （1）求点 f 的坐标和椭圆c 的离心率；（2）直线:0lykxm k过点 f，且与椭圆c 交于 p，q 两点，如果点p 关于 x 轴的对- 17 - 称点为p，判断直线pq是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由 . 【答案】（1）焦点2,0f，离心率63e（2）是过 x 轴上的定点；定点3,0【分析】（1）由椭圆的标准方程即可得出；（2）直线:0lykxm k过点 f，可得:2lyk x，代

28、入椭圆的标准方程可得：222231121260kxk xk.（依题意）.设11,p x y，22,q xy，可得根与系数的关系，点p关于 x 轴的对称点为p，则11,pxy.可得直线pq的方程可以为211121yyyyxxxx，令0y，2111211211212x yx yx yx yxxyyyy，把根与系数的关系代入化简即可得出. 【详解】（1）q椭圆22:162xyc，2224cab，解得2c，焦点2,0f，离心率63e. （2）直线:0lykxm k过点 f，2mk，:2lyk x. 由22362xyyk x，得222231121260kxk xk.（依题意）. 设11,p x y，22,q xy，则21221231kxxk，212212631kxxk. q点 p 关于 x 轴的对称点为p，则11,p xy. 直线p q的方程可以设为211121yyyyxxxx，- 18 - 令0y，2111211211212x yx yx yx yxxyyyy211212224kxxkxxk xx121212224x xxxxx22222212612223131312431kkkkkk. 直线p q过 x 轴上定点3,0. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的离心率、椭圆中的定点问题，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 21.