平面连杆摆动机构问题

1、保证书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则, 我们完全明白在竞赛开始后不能以任何方式与队外的任何人（包括指导教师）讨论竞赛题的求解问题, 抄袭别人的成果也是违反竞赛规则的, 如被发现将会受到严肃处置。我们也知道如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文和参考文献中明确列出。为了确保竞赛的公正、公平性, 我们保证严格遵守竞赛规则。           参赛报名号（由各赛区统一指定编号）：   &

2、#160;                              参赛队员  (签名) 丁正言 汤可金 邵明智              

3、;                    指导教师  (签名) （若为指导组，请指导组负责教师签名）- 14 -赛区评阅编号：全国统一编号：平面连杆摆动机构问题摘要本题主要研究的是平面连杆摆动机构问题，根据图示通过几何关系找出该机构中滑块运动的位移和摆杆的摆角的函数关系，并在此函数关系的基础上，分析机构中摆角的变化范围，并以此求出滑块的行程以及滑块运动速度的均匀性。在求解过程中

4、讨论和在不同情况下对机构摆动角度的影响。每种讨论方法均用作图法进行研究，讨论是通过对位移和摆角的函数关系式进行二次求导后分析滑块运动的加速度大小变化来具体分析的。不同模型下对应的不同的滑块运动速度的均匀性，并利用mathematic软件程序画出滑块运动速度的均匀性的变化。关键词：平面连杆摆动 速度均匀性 作图法问题重述平面连杆摆动机构在实现在水平方向上的高强度碰撞、打击等工程任务以及石油开采、采矿业、建筑等领域发挥重要作用，此外可以利用平面连杆摆动机构完成在某些山体、悬崖的中间部位进行的水平勘探、运输工作，某种平面连杆摆动机构的结构和某时刻的位置如图1所示，摆杆OQ绕O点摆动，通过连杆PQ带动

5、滑块P水平往复运动，设摆杆长OQr，连杆长PQl，摆角中心O到滑轨OP的距离为h，且r<h<l+r. 根据这个摆动机构使用的一般要求，作出适当的假设，解决以下问题： 1）P的位移x 与摆角的函数关系； 2）摆角的变化范围； 3）滑块P的行程（即滑动的最大距离）； 4）讨论滑块P运动速度的均匀性。图1问题的分析根据图1可以看出的长度都是固定的，唯一改变的只有连杆在摆动时，的角度，随着的变化，连杆的位置也在不断变化。针对问题一，的位移与摆角的函数关系可以根据三角形的几何关系得出；针对问题二，摆角的变化范围的需要根据的长度关系进行讨论，划分不同的模型分别计算；针对问题三，在不同的模型下讨

6、论的位置关系，确定三者在什么情况下，滑块的行程，即滑动的最大距离；问题四的讨论则需要通过对位移和摆角的函数关系式进行二次求导后分析滑块运动的加速度大小变化来具体分析的。不同模型下对应的不同的滑块运动速度的均匀性，并利用mathematic软件程序画出滑块运动速度的均匀性的变化模型假设、建立及求解问题一：OPQOhlrlsinrsinXS图2 的位移与摆角的函数关系根据上图，由几何关系可得： 解得： 式即为的位移与摆角的函数关系。由，式可以看出：，从而得出和的符号相同。所以：，即时，即时，问题二、三和四：一、 第一种模型（）：1、 模型假设：（1） 滑轨为X轴,为坐标原点，X轴正向向左；（2）

7、杆与水平轴负向的夹角（）；（3） 杆与负向的夹角（）；（4） 滑块的位移；（5） 摆角的变化是均匀的；（6） 滑块运动初始位置取为最小值时的位置。（7） 在摆动过程中忽略摩擦和撞击；模型建立：ShPOlO图3 第一种模型假设图2、 模型求解：（1） 摆角的范围求解：根据图3分析可得，由于ShlrOPPXO图4 摆角的范围情况一 当时，PQ滑动的范围不可能超过水平线以下，所以的最小值应是，最大值是，即的取值范围是。SShlrlQOrQ1PPOXX图5 摆角的范围情况二 当时，PQ滑动的范围在水平线之上，则当时有最大或最小值。连杆从向右移动，当移动至图示位置时，连杆无法继续运动，此时，又因为，所以

8、距的距离为，已知，所以，即的最小角度为，根据连杆摆动是对称的可得的最大角度为，则的取值范围是：。hOOPPNlMQrQXX图6 滑块的行程S（2）滑块的行程：连杆、从最小角度的位置开始摆动，逐渐增大，逐渐向左摆动，则逐渐向右摆动，运动过程中，存在两根连杆成一直线的状态，假定此时长度的连杆为，连杆从该位置继续向左摆动，这时连杆应向左返回，而不是继续向右摆动。因为，若连杆继续向右摆动，假设行至一点，由三角形的两边和大于第三边可得,又因为,所以,所以,又因为，所以两者矛盾。于是可知，当三点在一条直线上时，滑块距的距离最大。此距离为，所以滑块的行程的是。（3）滑块运动速度的均匀性：随着摆角的变化，连杆

9、摆动的速度也在不断变化，对连杆的位移进行两次求导可得到加速度的均匀性，连杆的位移为，当时, ,则二次求导得:当时, ,则二次求导得:那么运用mathematic软件进行速度均匀性分析可得： 图中速度的变动较大，总体不均匀。二、第二种模型（）:1、模型假设：假设条件同第一种模型:2、模型建立：hlQOPOrXX图7 第二种模型假设图S3、模型求解：（1）摆角的范围：hlOlPOPXX图8 第二种模型摆角的范围如图所示，当长度为的连杆运动至图示位置，若想要继续向下摆动，则点的竖直位置下降此时点到达的最小距离大于，这是不可能的，因此连杆运动到图中的位置后不会继续向下摆动，距的距离为，已知，所以，所以

10、的取值范围是：。（2） 滑块的行程：模型二的滑块摆动hQQPPOOXXrll图8 第二种模型滑块的行程情况同模型一，所以滑块的行程的是。（3）滑块运动速度的均匀性： 与模型一相比较，速度的变化开始逐渐趋于均匀。三、第三种模型（）:1、模型假设：（1）假设条件同第一种模型；（2）假设连杆逆时针摆动；2、模型建立：hQlPOOrS图8 第二种模型假设图3、模型求解：（1）摆角的范围：因为，所以连杆能够行至最低点后继续绕摆动，其摆动轨迹是一个以为半径的圆，所以摆角的取值范围是（3） 滑块的行程：图8 第二种模型滑块的行程hDQQPPXXSOC图中假设连杆是逆时针摆动，随着角的不断增大，三点将出现两次

11、在同一直线上的状态。第一次三点成一直线，点位于两点的中间，此时滑块的位移最大，分析情况同模型一、二。第二次三点成一直线，点位于两点的中间, 即、重合，此时滑块的位移为零。因为连杆能继续向右摆动，假设其到达一点，而若连杆能继续向上摆动，假设其到达一点，由三角形的两边和大于第三边可得,而,所以,所以,这于题目矛盾，所以连杆摆动至位置后滑块不会再向右移动。所以三点成一直线，点位于两点的中间时，位移最小为零。那么，滑块的行程为。（3）滑块运动速度的均匀性：因为在第三种模型中，滑块只能在一侧摆动，又因为假设连杆逆时针转动，所以时, ,则二次求导得:该模型的速度变化，总体上较均匀。附录mathematic均匀性分析代码ManipulatePlotr Cosb-(r2 Cosb2 (h-r Sinb)2)/(l2-(h-r Sinb)2)3/2-(r2 Cosb2)/-(r Sinb (h-r Sinb)/,b,0,p,PlotRan