高考理科数学第8章第7讲

1、第八章第 7 讲a 级基础达标 1已知向量a(1,0， 1)，则下列向量中与a 成 60 夹角的是 () a(1,1,0)b(1， 1,0) c(0， 1,1)d(1,0,1) 【答案】 b【解析】经检验，选项b 中向量 (1，1,0)与向量 a(1,0， 1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60 ，故选 b2如图，长方体abcda1b1c1d1中， aa1ab3，ad1，点 e，f，g 分别在棱dd1，ab，cc1上且 de13dd1，af13ab，cg13cc1，则异面直线a1e 与 gf 所成角的余弦值是 () a155b22c105d7070【答案】 d【解析】 以 da，dc，d

2、d1所在直线方向x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则可得 a1(1,0,3)，e(0,0,1)，g(0,3,1)，f(3,1,0)， a1e (1,0，2)，gf(3， 2，1)设异面直线a1e 与 gf 所成角的为 ，则 cos |cosa1e，gf|7070，故选 d3如图，正方体abcda1b1c1d1中，e 为 dd1的中点， 则 bd1与平面 ace 所成的角为() a0b30c45d90【答案】 a【解析】 设正方体 abcd a1b1c1d1的棱长为2，以 da 所在直线为x 轴，以 dc 所在直线为y 轴，以 dd1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，e 为 d

3、d1的中点，a(2，0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，e(0,0,1)，d1(0,0,2) bd1( 2， 2,2)，ea(2,0， 1)，ec(0,2， 1)设平面ace 的法向量为n(x， y，z)，则 n ea0，n ec0，2xz0，2yz0，解得 n (1,1,2)，设 bd1与平面 ace 所成的角为 ，则 sin |cosn，bd|224126| 0， 0 .故选 a4在正方体abcda1b1c1d1中，点 e 为 bb1的中点，则平面a1ed 与平面 abcd 所成的锐二面角的余弦值为() a12b23c33d22【答案】23【解析】 以 a 为原点建立如图所示的空

4、间直角坐标系 a xyz，设棱长为1，则 a1(0,0,1)，e 1，0，12，d(0,1,0)， a1d(0,1，1)，a1e 1，0，12，设平面 a1ed 的一个法向量为n1(1，y，z)，所以有a1d n1 0，a1e n10，即yz0，112z0，解得y2，z2， n1(1,2,2)平面 abcd 的一个法向量为n2(0,0,1)， cosn1，n223 123，即所成的锐二面角的余弦值为23. 5(2016 年太和县校级模拟)正方体 abcda1b1c1d1中对角线b1d 与平面 a1bc1所成的角大小为 () a6b4c3d2【答案】 d【解析】 如图，以 da 为 x 轴，以

5、dc 为 y 轴，以dd1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1，则 d(0,0,0)，b1(1,1,1)， a1(1,0,1)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)， db1(1,1,1)，ba1(0， 1,1)，bc1(1,0,1)，设平面a1bc1的法向量为n(x，y，z)，则n ba10，n bc10，yz0，xz0. n(1,1,1)设对角线b1d 与平面 a1bc1所成的角为 ，则 sin |cos db1，n|3331， 2.故选 d6abcd 是正方形， pa平面 ac，且 paab，则二面角bpc d 的度数为 () a60b90c120

6、d135【答案】 c【解析】 由题意可得， ap，ab，ad 两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系则 a(0,0,0)，b(0，1,0)，c(1,1,0)，d(1,0,0)，p(0,0,1)， dc(0,1,0)，bc(1,0,0)，pc(1,1，1)设平面pcd 的法向量为n(x，y，z)，则n pc0，n dc0，得xyz0，y0.令x1，则 z1，y0， n(1,0,1)同理可得平面pbc 的法向量m(0,1,1) cosn，mn m|n|m|12212. n，m60 .从图中可以看到：二面角bpc d 的大小应为一个钝角，二面角 bpc d 的度数 180 60 120 .故选

7、 c7已知两平面的法向量分别为m (0,1,0)，n (0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_【答案】4或34【解析】cosm，nm n|m|n|22，m，n4.两平面所成二面角的大小为4或34. 8若向量 a(2， 3，3)是直线 l 的方向向量，向量b(1,0,0)是平面 的法向量，则直线 l 与平面 所成角的大小为_【答案】6【解析】 设直线 l 与平面 所成角为 ，则 sin |cos a，b|a b|a|b|222 3232112， 0，2， 6，即直线 l 与平面所成角的大小为6. 9(2016 年郴州三模 )如图，已知正方形abcd 和矩形 acef 所在的平面互相垂直，a

8、b2，af1，m 是线段 ef 的中点(1)求证 am平面 bde；(2)试在线段ac 上确定一点p，使得 pf 与 cd 所成的角是60 . 【解析】 (1)证明：如图建立空间直角坐标系设acbdn，连接 ne，则 n22，22，0 ， e(0,0,1)， ne 22，22，1 . 又 a(2，2，0)，m22，22，1 ， am 22，22，1 . neam，且 ne 与 am 不共线 ne am. 又 ne? 平面 bde， am?平面 bde， am平面bde. (2)设 p(t，t,0)(0 t2)，则pf(2t，2t,1)，cd(2，0,0)又 pf与cd所成的角为60 ，|2t

9、2|2t22 t21212，解得 t22或 t3 22(舍去 )，故点 p 为 ac 的中点时满足题意10(2016 年辽宁二模 )如图，在四棱锥pabcd 中， pc底面 abcd，abcd 是直角梯形， abad，ab cd，ab2ad2cd2.e 是 pb 的中点(1)求证：平面eac平面 pbc；(2)若二面角pace 的余弦值为63，求直线pa 与平面 eac 所成角的正弦值【解析】 (1)证明：pc平面abcd，ac? 平面 abcd， ac pc. ab2， adcd1， acbc2. ac2bc2ab2. ac bc. 又 bc pcc， ac平面pbc. ac? 平面 eac

10、，平面 eac平面pbc. (2)如图，以 c 为原点，取ab 的中点 f，cf，cd，cp分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正向，建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1，1,0)，b(1， 1,0)设 p(0,0，a)(a0)，则 e12，12，a2，ca(1,1,0)，cp (0,0，a)， ce12，12，a2，取 m(1， 1,0)，则 m ca m cp 0，m 为平面 pac 的法向量设 n(x，y，z)为平面 eac 的法向量，则n can ce0，即xy 0，xy az0，取 xa，y a，z 2，则 n(a， a， 2)，依题意， |cosm n|m n|m|n|aa2

11、263，则 a2. 于是 n(2， 2， 2)，pa (1,1， 2)设直线 pa 与平面 eac 所成角为 ，则 sin |cospa，n|pa n|pa|n|23，即直线 pa 与平面 eac 所成角的正弦值为23. b 级能力提升 11三棱锥abcd 中，平面abd 与平面 bcd 的法向量分别为n1，n2，若 n1，n23，则二面角abd c 的大小为 () a3b23c3或23d6或3【答案】 c【解析】 二面角的范围是 0， ，且 n1，n23，二面角 abdc的大小为3或23.故选 c12正 abc 与正 bcd 所在平面垂直，则二面角abdc 的正弦值为 () a55b33c2

12、55d63【答案】 c【解析】 取 bc 的中点 o，连接 ao，do.建立如图所示坐标系，设bc1，则 a 0，0，32，b 0，12， 0 ，d32，0，0 ， oa 0，0，32，ba0，12，32，bd32，12，0 .由于 oa0， 0，32为平面 bcd 的一个法向量， 可进一步求出平面abd 的一个法向量n(1，3，1)， cos n，oa55. sin n，oa2 55. 13如图所示，在四棱锥p abcd 中，底面是边长为2 的菱形， dab 60 ，对角线 ac 与 bd 交于点 o，po平面 abcd，pb 与平面 abcd 所成的角为60 ，e 是 pb 的中点，则异面

13、直线de 与 p a 所成角的余弦值是() a0b24c12d36【答案】 b【解析】 以 o 为坐标原点，射线ob，oc，op 分别为 x 轴、 y 轴、 z轴的正半轴建立空间直角坐标系在 rt aob 中， oa3，于是点 a，b，d，p 的坐标分别是a(0，3，0)，b(1,0,0)，d( 1,0,0)，p(0,0，3)e 是 pb 的中点，则e12， 0，32，于是 de32，0，32，ap (0， 3，3)设de与ap的夹角为 ，有 cos 3294343324. 14在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则 cd 与平面 bdc1所成角的正弦值等于 _【答案】23【解

14、析】 以 d 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设 aa12ab2，则 d(0，0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，则dc(0,1,0)，db(1,1,0)，dc1(0,1,2)设平面 bdc1的法向量为n(x，y，z)，则 n db，n dc1，所以有xy0，y2z0.令 y 2， 得平面 bdc1的一个法向量为n (2， 2,1) 设 cd 与平面 bdc1所成的角为 ，则 sin |cosn， dc|n dc|n|dc|23. 15若 a，b 是直线， ，是平面， a ，b ，向量 m 在 a 上，向量 n 在 b 上， m(0,3,4)，n(3,4,0

15、)，则 、所成二面角中较小的一个余弦值为_【答案】1225【解析】 由题意，m(0,3,4)，n(3,4,0)， cosm，nm n|m|n|12551225. a ，b ，向量 m 在 a 上，向量n 在 b 上 ，所成二面角中较小的一个余弦值为1225. 16(2016 年北京校级模拟)如图，四边形pdce 为矩形，四边形abcd 为梯形，平面pdce平面 abcd， bad adc 90 ，abad12cd1，pd2. (1)若 m 为 pa 的中点，求证：ac平面 mde；(2)求直线 pe 与平面 pbc 所成角的正弦值(3)在 pc 上是否存在一点q，使得平面qad 与平面 pbc

16、 所成锐二面角的大小为3. 【解析】 (1)证明：连接pc，交 de 与 n，连接 mn， pac 中， m，n 分别为两腰p a，pc 的中点， mn ac. mn? 面 mde，又 ac?面 mde ， ac平面mde. (2) adc 90 ， ad dc，又 ad? 平面 abcd，平面 pdce平面 abcd， ad平面pdce. 又 pd? 平面 pdce， ad pd . 以 d 为空间坐标系的原点，分别以da，dc，dp 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则p(0,0，2)，b(1,1,0)，c(0,2,0)pb(1,1，2)，bc(1,1,0)，pedc(0,2,0)设平面 pbc 的法向量m(x，y,1)，m pb x，y，1 1，1，2 0，m bc x，y，1 1，1，0 0，即xy20， xy0，解得x22，y22. m22，22，1 . 设 pe 与平面 pbc 所成角的大小为 ， pe(0,2,0)， sin |cos pe，m|m pe|m|pe|22212. (3)