运用观察归纳和猜想解奥数

1、运用观察、归纳和猜想解奥数内容摘要： 观察、归纳和猜想是学习数学、研究数学的最基本的而又行之有效的方法之一，它能使复杂问题简单化、 抽象问题具体化， 从特殊问题总结出一般规律， 为解决问题提供一定的方向、依据。本人在多年的教学中，通过探索、研究，掌握了一些规律，下面通过实例加以阐述。一、由特殊到一般，进行类比例 1（ 2008 全国初中数学竞赛试题）观察下列图形，根据图（1）（ 2）（ 3）的规律，图（4）中三角形的个数为_。技巧安排： 本题很有特色， 其一是问题源于常规教材，体现了常规教学与竞赛教学之间密不可分的关系； 其二实质是一个从特殊到一般的归纳推理的典型试题，要求我们通过观察进行归纳

2、得到规律，提出合理猜想，并予以验证。全解： 通过观察已知三个图形，图（1）、图（ 2）、图（ 3）中有下列规律：在图（ 1）中，三角形的个数有：1+30× 4=5在图（ 2）中，三角形的个数有：1+30× 4+31× 4=17在图（ 3）中，三角形的个数有：1+30× 4+31× 4+32× 4=53因此，图（ 4）中三角形的个数有：1+4+3× 4+32× 4+33× 4=161例 2：（ 2006 全国初中数学竞赛试题）一个正方形纸片， 用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，

3、再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 如此下去，最后得到34 个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）A、 2004B 、 2005C 、 2006D 、 2007技巧安排： 从特殊图形、 特殊数开始进行观察与试验（本题既可从特殊到一般，又可以从整体角度考虑，即每剪开一次，则各部分的内角和增加360°），并在特殊情形中寻求启示，得到一些结果， 再把特殊情形当作一面镜子，用类比思想，同一般情形进行对照，发现两者共性，从而解开疑团，理出线索，找到规律。全解： 由题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部

4、分时， 每剪开一次， 使得各部分的内角和增加 360°，于是，剪过 K 次后，可得（ K+1）个多边形，这些多边形的内角和为（ K+1）×360°。因为这（ K+1）个多边形中有 60× 180°，其余多边形有（34 个六十二边形，它的内角和为34×（ 62-2 ）× 180° =34×K+1） -34=K-33 （个），而这些多边形的内角和不少于（K-33 ）× 180°，所以（ K+1）× 360° 34×60× 180°+（ K-

5、33 ）× 180°，解得 K 2005。当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论。先从正方形上剪下1 个三角形，得到1 个三角形和1 个五边形； 再在五边形上剪下1 个三角形， 得到2 个三角形和1 个六边形 如此下去，剪58 刀后，得到58 个三角形和1 个六十二边形。再取33 个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33 个三角形和33 个四边形，对这33 个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58 刀，便得到34 个六十二边形和33× 58 个三角形，于是共剪了：58+33+33×58=2005（刀），故选B。二、观察归纳猜想，分类讨

6、论例 3：（第十九届五羊杯）一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或两级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的迈法？技巧安排：虽然归纳猜想的结果未能得到一次性的直接计算公式，但却得到了一个递推公式，依据这个公式， 我们同样能够解得答案。所以，在这里对初始情况的研究，不仅是猜想一般性结果的重要素材，同时也是得出问题结论的必要步骤( 从具体问题出发观察试验归纳猜想形成一般结论严密解答与论证) 。全解： （由于台阶数较多，故我们先从简单情况入手）若只有 1 级台阶，则只有唯一迈法，则a1=1若有 2 级台阶，则有两种迈法：一步一级地走，或者一步两级地走

7、，a2=2。若有 3 级台阶， 则有 4 种迈法： 一步一级地走，第一步一级而第二步两级，第一步两级而第二步一级，一步迈三级，则a3=4。若有 4 级台阶，则按第一步迈出的台阶数分三类讨论：第一步一级，那么还剩3 级台阶，根据前面的分析可知有a3=4（种）第一步两级，那么还剩2 级台阶，根据前面的分析可知：有a2=2（种）第一步三级，那么还剩1 级台阶，根据前面的分析可知，有a1=1（种）于是 4 级台阶迈法一共有：a4=a3+a2+a1=7（种）类似地，若有5 级台阶，那么不同的迈法一共有：a5= a 4+a3+a2=13（种）。一般地，若有n(n>3) 级台阶，那么不同的迈法一共有：

8、an=an-1 +an-2 +an-3 （种）从而 a6=13+7+4=24;a 7=24+13+7=44； a8=44+24+13=81；a9=81+44+24=149； a10=149+81+44=274。故上这个楼梯一共有274 种不同走法。例 4：（第七届华罗庚金杯）一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数P；第二次将两个半圆圈的每一个分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的；第三次将四个圆周的每一个分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的；第四次将八个圆周的每一个分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的 如此进行了n 次，最后圆周上的所有数字

9、之和为17170，求 n 和 P 的值各为多少？技巧安排： 与上一例不同的是， 本题的解答不但依靠递推式，还需导出包含初始值的关系式，但由于分式的特点经过约分变形后，公式形式并不繁琐。同时，在解题的最后，还运用了检验和分类讨论的方法，提高了试题的综合程度。全解： 设第 K次所标各数之和为 SK， S1+S2+ +SK=TK（ K=1， 2 ， n）。因第 K 次所标的每一数均为其相邻两数和的KK-1,，故S=TKK-1KTK-1(K=2,3, ， n) 递推可得：T =T+S =Tn=Tn-1 =Tn-2=T1=S1=P = 17170=2 × 5× 17×101P 只可能是2， 5， 17 和 101，代入检查得 P=5，n=100 为唯一的解。“横看成岭侧成峰，远近高低各