指数函数的图像与性质 导学案

1、指数函数的图像与性质（第2课时）市级一等奖 岚皋中学 阳钊一、教材分析 （一）教材的地位和作用“指数函数”的教学共分三个课时完成，第1课时为指数函数的概念，具体指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简单应用；第三课时为指数函数的性质应用。本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。（二）教学目标1、知识目标：i会做指数

2、函数的图像；ii能归纳出指数函数的几个基本性质；iii会进行指数函数性质的简单应用。2、能力目标：通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。3、情感目标：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。（三）教学重点和难点 1、重点：指数函数的性质和图像。 2、难点：指数函数性质的归纳。二、教法分析（一）教学方式 直接讲授与启发探究相结合 （二）教学手段 借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像三、教学基本思路：1、引入1）复习指数函数概念2）回忆指数函数图像的画法2、

3、探究指数函数的性质1）研究指数函数的图象2）归纳总结指数函数的性质3、指数函数性质的简单应用4、巩固练习5、小结6、作业布置四、教学过程教学环节教学程序及设计设计意图新课引入复习（1）指数函数的概念 （2）画指数函数图像的方法新授课新授课练习 一、指数函数的图像与性质： 1、绘制图像 （1）y=2x 和y=3x（2）y=和 投影电脑已制作好的图象，2探究性质：请同学们尝试归纳出图象的变化规律与特性：（1）图象全在x轴上方，与x轴无限接近;（2）图象过定点（0，1）;（3）a>1时，自左向右图象逐渐上升;0<a<1时，自左向右图象逐渐下降； （4）a>1时，图象分布在左下

4、和右上两个区域内；0<a<1时，图象分布在左上和右下两个区域内；其他规律（指数函数间图象的特性）：当指数函数的底数互为倒数时，图象关于 y轴对称；当底数a>1时，底数越大函数值增长越快越靠近y轴即底大图高，底数0<a<1时，情况相反。3、归纳性质将指数函数y=ax(a>0且a1)的性质（对应图象）归纳如下表，进行课件演示： 指数函数y=ax的性质 a>1 0<a<1(1) 定义域：R ；值域：（0，+）(2) 当x=0时，y=1 ( 即过点（0，1） )(3) 单调性：在(-,+)上是 在(-,+)上是减函数增函数(4) 当x>0时,

5、y>1; 当x>0时, 0<y<1;当x<0时,0<y<1. 当x<0时, y>1.三、指数函数的应用例1、根据指数函数的性质，判断下列题目中两值的大小：（第一题学生尝试判断，第二题给出书写步骤）例2、求使不等式4x>32成立的x的集合； 点评：同底的两个幂的大小比较方法（1）构造函数并指明函数的单调性（2）比较自变量的大小 （3）得函数值的大小教材第73页，练习1的第1题借助多媒体，在电脑中将几个图同时展示于一个坐标系，从而使学生较直观地认识到指数函数的图象。由具体的几个指数函数的图像发现指数函数的图像特征。通过引导学生分析图像特征

6、，帮助学生总结函数性质，培养学生形数结合的能力。以表格的形式归纳总结指数函数的性质，以展示研究函数的一般方法：研究定义域；值域；单调性等。简单应用指数函数单调性判断大小。让学生体验用指数函数的单调性比较两数大小，检验课堂掌握情况。小结以上我们研究指数函数经历了一个由“具体”（研究几个具体的指数函数）到“一般”（归纳指数函数的一般性质），再由“一般”到“具体”（应用指数函数的一般性质研究解决指数函数的具体问题）的思维过程。主要学习内容1 指数函数的图像；2 指数函数的性质；3 指数函数性质的简单应用概括、总结一堂课主要的思想方法与内容，便于学生系统性考虑所学知识。作业1、课本：77页A组：4、5

7、2、思考题：（1）求函数、和的定义域和值域。（2）求函数的单调区间及最值。五、教学设计说明 1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。2、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。六、课后反思七、板书设计课题一、指数函数图像和性质二、指数函数性质的简单应用例1例2点评： 学生练习区域课 题：指数函数的图像与性质 【教

8、学目标】 1通过教学，进一步使学生掌握指数函数的定义，通过画出具体指数函数的图像，探索并掌握指数函数的图像与性质. 2通过教学，进一步使学生了解研究一种新函数的基本方法. 3通过例题，使学生学会利用函数的性质，比较两个数的大小的方法，从而加深对函数性质的理解. 4通过函数的图像，让学生观察归纳函数的性质，提高学生画图、看图、用图的能力，提高学生观察归纳的能力. 【教学重点】指数函数的图像及性质. 【教学难点】指数函数性质的归纳、概括. 【教学步骤】 (一) 引入新课我们知道，一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，请同学们回忆一下，我们是如何得到一次函数、二次函数的图像的？又是如

9、何得到它们的性质的？那么指数函数的图像是什么形状的，具有哪些性质？本节课，我们就来研究这个问题.通过描点法画出具体函数的图像，通过观察图像归纳出函数的性质. （二）新课教学 1指数函数的图像 在同一坐标系内用描点法画出指数函数和的图像. （1）列表：012312488421 （2）描点； （3）连线. 问题：两个函数的图像有哪些相同点？不同点是什么？ 相同点：图像都在轴的上方，都经过点（0，1）. 不同点：函数的图像从左向右逐渐上升； 函数的图像从左向右逐渐下降. 组织活动：在同一坐标系内，再画出几个底数不同的指数函数的图像. 思考：指数函数的图像与其底数之间有什么样的规律？ 注：教师可以通过

10、几何画板的动态演示给予学生更加直观的体验，从而得出一般性的结论. 结论：一般地，指数函数在底数及这两种情况下的图像形状及位置如下表所示： 练习：课本P104 练习1，2 2指数函数的性质 观察指数函数的图像特征，说出指数函数的性质. （三）典型例题 例1 利用指数函数的单调性，比较下列各题中两个值的大小：（1）与； （2）与. 分析：利用指数函数的单调性. 解：（1）考察函数， ，是增函数. 且， <. （2）考察函数， ，是减函数. 且， <. 例2 解下列不等式： （1）； （2）. 解：（1）2>1，是增函数， 于是由，得. 解这个二次不等式，得. 不等式的解集是 .

11、（2）将不等式两边化为同底，即. ，是减函数， 于是由，得， 不等式的解集是 . 点评：同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值. (四) 课堂练习 教材P105练习 1，2，3. (五) 课堂小结 1指数函数的图象和性质. 2利用函数的图像说出函数的性质，即数形结合的思想（方法），它是一种非常重要的数学思想和研究方法. 3利用指数函数的单调性比较几个数的大小. (六) 课后作业 教材P106习题四 1，2，5，6. (七) 板书设计指数函数的图像与性质一、指数函数的图像 二、指数函数的性质 例2 四、练习（表格） （表格） 五、小结 三、例题

12、 六、作业 例1 【教学设计说明】1本节课的整体设计是按照一般研究函数的方法设计的，在上节课由实例引入指数函数定义的基础上，根据定义用描点法画出函数图像，通过观察图像得到函数的性质.从而让学生掌握学习函数的一般规律，当再学习新的函数时，学生就能顺理成章，不会有无所适从的感觉了. 在函数性质的教学中，要特别强调让学生通过观察、分析图像特点，从图像上探索和记忆指数函数的性质，从而提高学生观察归纳的能力和用图看图的意识.本节课的容量较大，为了提高效率，可利用投影仪或电脑，将得到的结论直接投影出来.例题的解答要让学生去分析，发现揭发，这样有利于学生尽快掌握函数的性质. 2本节课的教学过程：（1）用描点

13、法画出几个具体指数函数的图像；（2）通过观察、归纳具体指数函数的图像得出一般指数函数的图像；（3）通过观察图像得到指数函数的性质；（4）例题、练习、小结、作业.指数函数教案教学目标：    1、知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。    2、能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践 的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。    3、情感目标：通过学生的参与过程，培养

14、他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。教学重点、难点：   1、 重点：指数函数的图像和性质   2、 难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体          动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。教学方法：引导发现教学法、比较法、讨论法教学过程：一、事例引入  T：上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与

15、指数有关的函数。什么是函数？S： -T：主要是体现两个变量的关系。我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程：       C：动画演示（某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，-。一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是： y = 2   ）     &

16、#160; S，T：（讨论）  这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的形式（指数形式）， 从 函数特征分析：底数 2 是一个不等于 1 的正数，是常量，而指数 x 却是变量，我们称这种函数为指数函数点题。二、指数函数的定义      C：定义： 函数 y = a  （a0且a1）叫做指数函数， x

17、R.。      问题 1：为何要规定 a > 0 且 a 1？ S：（讨论）             C： (1)当 a 0 时，a   有时会没有意义，如 a=3 时，当x=就没有意义；（2）当 a=0时，a  有时会没

18、有意义，如x= - 2时，            (3)当 a = 1 时，  函数值 y 恒等于1，没有研究的必要。巩固练习1：   下列函数哪一项是指数函数（ ）A、 y=x 2 B、y=2x 2 C、y= 2   D、y= -2    二、函数图像的画法：     

19、;  T：引入了指数函数的概念，有了函数的定义域之后，就应该研究函数的图像了。根据底数a 的规定，考虑两个特定底的指数函数 y = 2x， y = 的图像。S作图，再投影；后演示动画比较三、指数函数的图像和性质C：（演示画图过程）（列表、描点、连线）   观察思考：（讨论） C：问题 2：两个函数图像有什么共同点 ？又有何不同特征？T：两个图像有何共同特点？S：它们的图像都在x轴的上方，且都过同一个点（0，1）。T：图像在x轴上方说明y0，向下与x轴无限接

20、近；过点（0，1）说明x=0时，y=1。T：再看看它们有何不同之处？S：当底数为2时图像上升，当底数为 时，函数图像下降。T：说明当a=2即大于a1时函数在R上为增函数，当a= 即大于0小于1时函数在R上为减函数T：除此之外，还有什么特征？（S：-）若在坐标系上画一条直线y=1？S：当底数是2时，落在第一象限的图像都在直线y=1的上边，落在第二象限的图像都在直线y=1的下边，当底数是 时恰好相反。说明- C：性质：a>10<a<1图象图像特征图像分布在一、二象限，与轴相交，落在轴的上方。 都过点（0，1）第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1。第一

21、象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1。从左向右图像逐渐上升。从左向右图像逐渐下降。性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.（5）在 R上是增函数（5）在R上是减函数   T： 问题 3：影响函数图像特征的主要因素是什么？S：-四、例题示范C：1、某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过 1 年剩留的这种物质是原来的84。画出这种

22、物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留一个有效数字)。同学做，后投影学生解答，进行分析；（好中差各一份）T：两个“原来的”的区别；函数定义域的范围；结果是一近似值。   C： 2、求下列函数的定义域：         （1）      （2） T：分析：（1）只要指数位置上的有意义，则原函数有意义。    

23、60;（2）只要指数位置上的 有意义，则原函数有意义。C：解：（1）由 有意义得x  0，又  0 ， 原函数的定义域为  x| xR且 x  0。   （2）由 有意义，得 2 x - 1 0 即 x  ,又原函数定义域为x | x   。五、目标训练   1、当&#

24、160;a _时，函数 y = ax（a > 0 且 a 1 ） 为增函数,  这时,当 x _时,  y > 1。     2、若函数f(x)=( 2a + 1 )  是减函数,则a的取值范围是_。     3、函数 y =&

25、#160;的定义域是_。六、归纳小结    C：  1、本节课的主要内容是：指数函数的定义、图像和性质      2、本节学习的重点是：掌握指数函数的图像和性质      3、学习的关键是：弄清楚底数 a 的变化对于函数值变化的影响。只有彻底弄清并掌握了指数函数的图像和性质，才能灵活运用性质解决实际问题。七、布置作业       

26、;C： 课本P73练习第一题、习题第一题附：目标训练参考答案：1、a ，x   2、依题意得：0 ( 2a + 1 )1    解得：-   a 03、依题意解得： x21 指数函数（新课辅导教案）2.1.1 指数与指数幂的运算第一课时 根式一、问题提出 1据国务院发展研究中心2000年发表的未来20年我国发展前景分析判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP可望为2000年的多少倍?2对的意义如何？怎

27、样运算？思考1:一般地，实常数的平方根、立方根是什么概念？ 思考2:如果，参照上面的说法，这里的分别叫什么名称？ 定义：一般地，如果，那么叫的次方根，其中且. 二、根式的概念思考1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，的立方根分别是什么数？怎样表示？ 思考2:设为实常数，则关于的方程 =，=分别有解吗？有几个解？ 思考3:一般地，当n为奇数时，实数的n次方根存在吗？有几个？ 思考4:设为实常数，则关于的方程 =，=分别有解吗？有几个解？ 思考5:一般地，当为偶数时，实数的次方根存在吗？有几个？ 思考6:我们把式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数.

28、那么，的次方根用根式怎么分类表示？ 当是奇数时，的次方根为.当是偶数时,若，则的次方根为；若，则的次方根为； 若，则的次方根不存在.三、根式的性质思考1: 分别等于什么？一般地等于什么？ 思考2: 分别等于什么？一般地等于什么？ 思考3: 对任意实数，等式成立吗 ？四、理论迁移例1 求下列各式的值(1)；(2)；(3)；(4)；(5) ；(6).例2 化简下列各式 (1); (2) 第二课时 分数指数幂和无理数指数幂一、问题提出1.整数指数幂有哪些运算性质？2.,有意义吗？二、分数指数幂的意义思考1:我们规定：，那么表示一个什么数？分别表示什么根式？ 思考2:你认为如何规定的含义？ 思考3:怎

29、样理解零的分数指数幂的意义？ 思考4:都有意义吗？当时，何时无意义？三、有理数指数幂的运算性质四、无理数指数幂的意义思考5:有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？ 五、理论迁移例1 求下列各式的值:(1);(2) ;(3);(4).例2 化简下列各式的值(1) (2)(3) (4)六、小结:1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂.2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.2.1.2 指数函数及其性质第一课时 指数函数的概念与图象一、问题提出1.对任意实数，的值存在吗？的值存在吗？的值存在吗？2. 是函数吗？若是，这是什么类型的函数？二、指数函

30、数的概念思考1:我们把形如的函数叫做指数函数，其中是自变量.为了便于研究，底数的取值范围应如何规定为宜？ 答：三、指数函数的图象思考2:一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何?四、理论迁移例1 判断下列函数是否为指数函数？(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6).例2 已知函数的图象过点，求的值.例3 求下列函数的定义域:(1) ; (2).第二课时 指数函数的性质（接上）思考3:若，则函数与的图象的相对位置关系如何？例4 比较下列各题中两个值的大小(1)与； (2) 与； (3) 与.例5 若指数函数是减函数，求实数的取值范围.例6 确定函数的单调区间和值域.例7 设,其中为实数，试比较与的大小.第三课时 指数函数及其性质的应用（接上）例8 求函数的定义域和值域.例9 已知函数的值域是，求的定义域.例10 已知关于的方程有实根，求实数的取值范围.例11 已知函数 (1)确定的奇偶性； (2)判断的单调性； (3)求的值域.例12 求函数的单调区间，并指出其单调性.结论:设,，则（1）当和的单调性相同时，为增函数；（2）当和的单调性相反时，为减函数；知识框架指数函数指数与指数幂的运算