菲涅耳公式折反射定律

1、Chapter 1 理论基础1.1介质中的 Maxwell sequations及物质方程E =Bt微分形式H=J+ DtD =B=0（ 1-1）传导电流密度 J 的单位为安培 / 米 2(A/m 2)，自由电荷密度的单位为库仑 / 米 2(C/m2 )。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）D = E0 EPB=H0 (HM )J=E（1-2）麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。因此， 所有关于电磁波的产生及传播问题， 均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题， 这也正是用以解决光波在各种介质、 各种

2、边界条件下传播问题的关键及核心。1.2积分形式及边界条件由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、D 、 B 、 H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell sequations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。E dldB d SdtSL积分形式H dl IdD d SdtLSD d SQSB d S0S（ 1-3）n(E2E1) 0n(H 2H1)得边界条件为n (D2D1 )n (B2B1) 0（ 1-4）式（ 1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见光学电磁理论P20）：（1）电场强度矢量E 的切向分量连续，n 为界面的法向

3、分量。（2）为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，=0，此时H的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。（ 3） 为界面上的自由电荷面密度。（ 4）磁感应强度矢量 B 的法向分量在界面上连续。Chapter 2 电磁波在分层介质中的传播2.1反射定律和折射定律光由一种介质入射到另一种介质时， 在界面上将产生反射和折射。 现假设二介质为均匀、 透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表达式为入射波 EEexpi(itkr )i0ii反射波 ErE0rexp i (r tkrr )折射波 EtE0texp i (t tktr )界

4、面两侧的总电场为：E1EiErE0i exp i( itkir ) E0r exp i ( r t kr r )E2EtE0t exp i( t tktr )由电场的边界条件n(E2E1 )0 ，有nE0iexpi( i tki r ) n E0 r expi ( r t kr r ) n E0 t expi ( t t kt r )欲使上式对任意的时间t 和界面上 r 均成立，则必然有：irt（ 1-5）ki r kr r kt r（ 1-6）可见，时间频率 是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。(krki )r0（ 1-7）(ktki )r0由于 r 可以

5、在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量( kr ki ) 和 (ktki ) 均与界面的法线 n 平行，由此可以推知，ki 、 kr 、 kt 与 n 共面，该平面称为 入射面 。由此可得出结论： 反射波和折射波均在入射面内。上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得ki cos(i )kr cos(2r ) kt cos(2t )（ 1-8）2又由于 kin1/ c ， krn1 / c ， kt n2/ c，得i r (反射角等于入射角 )（ 1-9）n1 sin in2 sin （t折射定律）2.2菲涅耳公式折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播

6、方向 之间的关系。 而反射波、 折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。电场 E 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为s分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为p分量。首先 研究入射波仅含s分量和仅含p分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场； 然后 根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。（1）单独存在s 分量的情形首先规定 ：电场和磁场的s 分量垂直于纸面，向外为正，向内为负。在界面上电场切向分量连续：n(E2E1 )0另外由式（ 1-5）、（ 1-6），可得E0i

7、sE0rs E0ts（ 2-1）在界面上磁场的切向分量连续：n (H 2H1)0注意 H1 kE ，如图所示。所以同理有H 0ip cos iH0 rp cos rH 0tp cos t非磁性各向同性介质中E 、 H 的数值之间的关系：HBnE00 cEH那么式（ 2-1）整理为n1E0is cos in1E0rs cos rn2 E0ts cos t联立式（ 2-1）（ 2-3）可得E0 rsn1 cos in2cos trsn1 cos in2cos tE0 isE0ts2n1 cos itsn1 cos in2cos tE0is（2）单独存在p 分量的情形首先 规定 ： p 分量按照其在

8、界面上的投影方向，向右为正，向左为负。根据 E 、 H 的边界条件得：H 0isH 0rs H 0tsE0ip cos iE0rp cos rE0 tp cos t再利用 E 、 H 的数值关系以及正交性，得到E0 rpncosn costr p2i1E0ipn2cos in1 cos tt pE0 tp2n1cos iE0 ipn2cos in1 cos t（ 2-2）（ 2-3）综上所述， S 波及 P 波的反射系数和透射系数的表达式为：E0rsn1 cos in2 cos trssin(it )rsn1 cos in2 cos tsin(t )E0isiE0rpn2 cos in1 co

9、s tr ptan(it )r pn cosn costan(t )E0ipiti21E0ts2n1 cos its2cosisinttsn1 cos in2 cossin(t )E0istiE0tp2n1 cos it p2cosi sintt pn2 cosn1 cos tsin( it )cos(t )E0ipii上面左边的式子就是著名的 Fresnel 公式。 利用折射定律， Fresnel 公式还可以写成右边的形式。2.3反射波和透射波的性质n1<n2 的情况（1）反射系数和透射系数两个透射系数 t s 和 t p 都随着入射角i增大而 单调降低 ，即入射波越倾斜，透射波越弱，

10、并且在正向规定下，ts和 tp 都大于零，即折射光不发生相位突变。 rs 始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的 s 分量振动方向始终与入射波s 分量相反，既存在 相位突变（又称半波损失） 。对于 rp ，它的代数值随着入射角i单调减小，但是经历了一个由正到负的变化。由公式r ptan(tan(it )0 时有 it 90 ，即 sin icos t ，又由折射定律，当 rpit )n1 sin in2 sin t ，联立可得此时入射角为布儒斯特角Btg 1 n2 。布儒斯特定律内容：n1如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不

11、再含有p 分量， 只有 s 分量；反射角与折射角互为余角。（2）反射率和透射率上图中 Ai ArAt 为波的横截面面积，A0 为波投射在界面上的面积。若入射光波的强度为I is ，则每秒入射到界面上A0 面积的能量为 WisI is AiI is A0 cos i又由光强表达式 In|E0|2，上式可写成20cWisn1| E0 is |2A0 cos i20c类似地，反射光和折射光的能量表达式为Wrsn1| E0rs |2A0 cos i2 0cWtsn2| E0ts |2A0 cos t2 0c于是反射率和折射率分别为RWrsI rs| r|2sWisI issTWtscos tI tsn

12、2 cos t|ts|2sWiscos iI isn1 cos i类似地，当入射波只含有p 分量的时，可以求出p 分量的反射率Rp 和透射率 Tp ：RpWrpI rp| rp |2WipI ipTpWtpcosI tpn cos2WiptI ip2t| t p |cos in1cos iRs 与 Ts 之间、 Rp 与 Tp 之间均存在互补关系，即：RsTs1RpTp1这表明，在界面处， 入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散射、吸收等能量损失） 。当入射波同时含有s 分量和p 分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有：| Ei|2| Eis|

13、2| Eip|2从而有：I iI isI ipWiWisWip类似还有WrWrsWrp， WtWtsWtp可以定义反射率R 和透射率T 为：RWr， TWtWiWi注意： 入射光波的 s 分量 (p 分量 )只对折射率、反射率的s 分量 (p 分量 )有贡献。如果入射波中s 和 p 分量的强度比为， WiWisWip ，则有：R1R R和T1 T T1sp1spsRps、Tp的加权平均。但是仍然有： R T 1即R和T分别是 R、和 T正入射时， s 分量和 p 分量的差异消失。若用R0 和 T0 表示此时的反射率和透射率，则有：2122n24n2n2nnT2t1200( n1n2 )n0(n

14、 n )2R r以及0112利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小( i30 )的反射率和透射率。n1>n2 的情况这种情形即由 光密媒质 入射到 光疏媒质 的情形。由折射定律可知，it把 t90 所对应的入射角称为全反射临界角 ，用c 表示。即 sin cn2n 。1因此分（1）当ic 和 ic 两种情况来讨论。ic 时此时t90 ，可以直接用 Fresnel 公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n1<n2的情形完全相同。对于 s 分量来说，当ic 时， rs0，说明无半波损失，正如上图中的蓝线所示；对于p 分量来说，在iB 范围内， rp0 ，说明有半波损失，而在B

15、ic 范围内，rp0 ，说明无半波损失。注意 sinctanBn2Bc ，说明布儒斯特定律依然有效，所以必然是同时也说n1明无论是 n1>n2 还是 n1<n2 的情形，布儒斯特定律都成立。t s 和 t p 均大于 1，且随着i 的增大而增大， 但是这不意味着透射率T 大于 1 以及 T 必然随 i的增大而增大。Tn2 cost|ts|2sn1 cosiTpn2 cos t| t p |2n1 cosi（2）当 ic 时sin cn2。由该式可见， 当 ic 时，会出现 sin in2因为全反射临界角满足n1n1的现象，这显然是不合理的。此时折射定律n1 sin in2 sint

16、不再成立。但是为了能够将菲涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式sintn1 sin i 。n2由于t 在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。而 i 始终是实参量， 为此应将cos t 写成如下的虚数形式：cost1sin 2ti sin 2t1i( n1 sini ) 2 1n2有关 cos2 取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说明。 将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数cosrscosiisin 2in2rs )sin 2| rs | exp(iiiin2n2cosiisin 2in2| rp | exp(irp )rssin 2n2n2cosiii并且有|

17、 rs | | r p |1tan rsn2 tanr psin2i n222cos i式中， nn2/ n ，是二介质的相对折射率；| rs |、| rp|为反射光与入射光的 s 分量、 p 分1量光场振幅大小之比。rs 、 rp 为全反射时，反射光中的s 分量、 p 分量光场相对入射光的相位变化。 由上式可见， 发生全反射时， 反射光强等于入射光强，而反射光的相位变化较复杂。他们之间的相位差由下式决定：cos i sin 2i n2rsrp2arctansin 2i因此，在 n 一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状态。比如菲涅耳棱镜的原理。当光由光密介质射

18、向光疏介质，并在界面上发生全反射时，投射光强为零。 这就有一个问题：此时在光疏介质中有无光场呢？当把 ts、t p 的 Fresnel 公式推广到复数域进行计算，将会发现 t s、t p 都不等于零，亦即光疏媒质内有折射光波。 在发生全反射时， 光波场将透入到第二个介质很薄的一层 （约为光波波长）范围内，这个波叫倏逝波。现假设介质界面为xOy 平面，入射面为xOz 平面，则在一般情况下可将透射波场表示为EtE0 texpi (t tkt r )E0t expi ( t tkt xsin t kt zcos t )上式可改写为EEexpi(ttktxsintikz( n1 sini) 21)t0 ttn2EEexpkz( n1 sin)21exp i (tkx n1 sin)t0 ttnittn2i2这是一个沿着 z 方向振幅衰减，沿着界面x 方向传播的非均匀波