概率论复习题

1、第一章1. 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。解：设Ai=取到第i个箱子，i=1,2，Bj=第j次取到一等品，j=1,2（1）由全概率公式（2）所求概率为，其中故：2. 某段时间t0,t0+t内，t>0，证券交易所来了k个股民的概率为，k=0,1,2， >0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p，且各股民是否购买这种股票相互独立

2、。（1）求此段时间内，交易所共有r个股民购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内有r个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m个股民的概率。解：设Ak=交易所来了k个股民，k=0,1,2,，B=有r个股民购买长虹股票。（1）由于，故由全概率公式可得（2）由Bayes公式得所求概率为显然，3. 设一射手每次命中目标的概率为p，现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手共射击了10次的概率为（A）（B）（C）（D）解：B4. 设有三个事件A,B,C，其中P(B)>0,P(C)>0，且事件B与事件C相互独立，证明：分析：利用关系式证明：由于事件B和事件C相互独立，故事件B

3、和事件相互独立，又因为 所以 从而有 第二章1. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂生产了台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立，试求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率；（3）其中至少有两件不能出厂的概率。解：设A=一台仪器能出厂，B=一台仪器能直接出厂，C=一台仪器经调试能出厂，则，且B与显然互不相容。于是令X表示n台仪器中能出厂的台数，则有XB(n,0.94)。故（1）（2）（3）由于至少有两件不能出厂等价于至多有n-2件能出厂，故2. 假设随

4、机变量X的绝对值不大于1， 在事件出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求：（1） X的分布函数；（2） X的取负值的概率p解： 由条件知，当时 又 于是，当时 当 ，时，故 （2） 3. 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2个小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数解： 由题意得，于是 又X 的分布函数是参数的的指数分布，即其分布函数为 因此，当时，即 = 1；当时，即 故4. 设随机变量X 的概率密度为 是X 的分布函数，试求随机变量 的分布函数

5、解： 的分布函数为 注意到为分布函数，于是有，因此， 当时，； 当时，； 当时，由于为单调增加函数，从而存在反函数，故 （表示F 的反函数） 即 的分布函数为： 第三章1. 设（X，Y）的联合密度为 0，其他试求：（1）常数C； （2）P（X=Y）； （3）P（X Y ）。解：（1） 由 得 C = 4 。（2） 由于x=y 为平面上的一条直线，而二维连续型随机变量在平面上任何一条曲线上取得的概率均为零，故 P（X = Y）= 0；（3） P (X Y ) = = = = 2. 设连续型随机变量X，Y相互独立且服从同一分布，证明 P (X Y)=.证明： 不妨设X，Y的密度函数为 ，于是由X与

6、Y 相互独立得（X，Y）的联合密度为 于是 P (X Y) = 由于被积函数关于对称，故 但 其中表示整个平面，所以 即P (X Y)=.3. 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，现在从10件产品中无放回地抽取3件，令X表示其中一等品数，Y表示其中二等品数，试求：（1） （X，Y）的联合分布律（2） （X，Y）关于X和Y的边缘分布律（3） X和Y是否相互独立？（4） 在X=1 的条件下Y 的条件分布。分析： 由题意知X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3。因此用古典概型分别计算它们的概率即可解： （1）因为当 而当 分别将代入计算可得（X，Y）的联合分布律如下表

7、YX01232Y010000Y00 （2）由联合分布律易得两个边缘分布律为 XY0120123XXXXX （3）因为P（X=1，Y=0）=0，但 P（X=1）=，P（Y=0）=， 故P（X=1，Y=0）P（X=1）P（Y=0）。 所以X与Y 不相互独立（4） 因为P（Y= j | X=1）= = 而于是在X=1的条件下Y的条件分布为121/43/44. 设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D=（X，Y）| 0<x<1,|y|<x，试求（X，Y）关于X 和关于Y的边缘密度和条件密度分析： 求边缘密度时，首先确定随机变量的取值范围，X（或Y）的取值范围是二维随机变

8、量（X，Y）的取值范围在X轴（或Y轴）上的投影，在取值范围外，密度函数的值为0解： 易知D的面积为1，故 (x,y) 的联合密度函数为： 1， 0，其他 因X的取值范围为（0，1），于是当 0<x<1 时， 又Y 的取值范围为（-1，1），于是当 时 故： 因为在Y=y 的条件下，当 时 ，X 的条件下分布不存在；当 时， 故 X的条件密度函数为 同理可得： 5. 某种商品一周的需求量X是一个随机变量，其概率密度为 假设各周的需求量相互独立，以 表示k周的总需求量（1） 求的概率密度（2） 求接连三周中的周最大需求量的概率密度。分析： 若以表示第周的需求量 则相互独立且同分布， ，

9、从而问题归结为求随机变量的函数的分布解： 利用卷积公式 设表示第周的需求量 表示三周中的周最大需求量，于是 ，且与同分布（1） 由卷积公式，的密度为 （2） 因为的分布函数为 故 的密度函数为 6. 设随机变量与相互独立，的密度函数为，的分布律为试求的密度函数分析： 这是一个求两个随机变量的和函数的分布问题，两个随机变量中一个为离散型，另一个为连续型， 从而写不出“联合密度”，因此在分布函数的求法，也就是概率的计算方法上有所不同解： 因为的分布函数为 因此，的密度函数为： 第四章1. 设学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，设在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为2/5，求途中遇到红灯次数

10、的数学期望与方差。解：设X表示途中遇到红灯的次数，则XB(3,2/5)，所以E(X)=np=3×2/56/5D(X)=np(1-p)=3×2/5×3/5=18/252. 设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布，且X的分布律为X01p1/21/2求Z=min(X,Y)的数学期望与方差。解：因X与Y独立同分布，所以（X，Y）的联合分布律为：YX0101/41/411/41/4由此得Z=min(X,Y)的分布律为：Z=min(X,Y)01p3/41/4因此 E(Z)=0*3/4+1*1/4=1/4 E(Z2)=02*3/4+12*1/4=1/4 D(Z)=E(Z2)

11、-E(Z)2=1/4-1/16=3/163. 设随机变量X的概率密度为 ax, 0<x<2 f(x)= cx+b 0 其他 又已知E(X)=2，D(X)=2/3，求：（1） a,b,c的值（2） 随机变量Y=eX的数学期望与方差解：（1）因为f(x)为概率密度函数，故即有：2a+2b+6c=1又故有 4a+9b+28c=3因D(X)=2/3，于是即于是有 6a+28b+90c=7联立（1）、（2）、（3）解得a=1/4、b=1、c= - 1/4（2）由（1）知 x/4 0<x<2f(x)= 0 其他于是故 4. 设XN(,2)，YN(,2)，且设X，Y相互独立，求Z1X

12、+Y，Z2=X-Y的相关系数（其中是不为0的常数）解：Cov(Z1,Z2)=Cov(X+Y, X-Y) =2Cov(X,X) -Cov(X,Y)+Cov(Y, X)-2Cov(Y,Y) =2D(X)-2D(Y) =(2-2)2又X，Y相互独立，所以D(Z1)=D(X+Y)= 2D(X)+2D(Y)= (2+2)2D(Z2)=D(X-Y)= 2D(X)+2D(Y)= (2+2)2故5. 卡车装运水泥，设每袋水泥重量X（以公斤计）服从N(50,2.52)，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。解：设最多装n袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05，n袋水泥的总重量为Y，

13、Xi表示第i袋水泥的重量，i=1,2.n，则X1，X2，.Xn独立同服从N(50,2.52)，且Y=X1+X2+.+Xn，于是E(Y)=E(X1)+ E(X2)+.+ E(Xn)=50nD(Y)= D(X1)+ D(X2)+.+ D(Xn)= 2.52n即 YN(50n，2.52n)，查表得 故最多装39袋水泥。6.第五章1. 现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。解：设X表示所取的6000粒种子中良种的粒数，由题意可知XB(6000,1/6)，因此E(

14、X)=np=1000，D(X)=np(1-p)=5000/6，要估计的概率为。（1）由切比雪夫不等式知，（2）由德莫弗拉普拉斯中心极限定理知：2. 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。（1） 求这天的收入至少400（元）的概率；（2） 求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只的概率。解：设Xk（k=1,2,.300）表示售出的第k只蛋糕的价格，则X1、X2、.X300相互独立，且服从同一分布，其分布律为Xk11.21.5pk0.30.20.5故 E(Xk)=1*0.3+1.2*0.2+1.5*0.5=1.29，D(Xk)=(1-1.29)2*0.3+(1.2