江西省上饶市六校2019-2020学年高三第一次联考理科数学试题(解析版)

1、上饶市 2020 届六校高三第一次联考（上饶市一中、上饶市二中、广信中学、玉山一中、天佑中学、余干中学）理科数学试卷本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分总分：150分时间： 120分钟第卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1.已知集合2|230ax xx，集合|10bx x，则()abre（）.a. (,1)3,)ub. (,13,)uc. (,1)(3,)ud. (1,3)【答案】 a 【解析】【分析】算出集合 a、b 及abi，再求补集即可.【详解】由2230 xx，得13x-，所以|

2、13axx，又|1bx x，所以|13abxx，故()abre|1x x或3x.故选： a.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.2.已知|23zzi（i为虚数单位，z为z的共轭复数） ，则复数 z 在复平面内对应的点在（）.a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】 d 【解析】【分析】设i,(,)zaba br，由|23zzi，得222i=(2)i=3abzab，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设i,(,)zaba br，则222i=(2)i=3abzab，所以22320abab，解得222ab，故22i2z，复数z 在复平面

3、内对应的点为2(, 2)2，在第四象限.故选： d.【点睛】 本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题 .3.某中学 2019 年的高考考生人数是2016 年高考考生人数的1.2 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016 年和 2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.a. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加b. 与 2016 年相比， 2019 年一本达线人数减少c. 与 2016 年相比， 2019 年二本达线人数增加了0.3 倍d. 2016 年与 2019 年艺体达线人数相同【答

4、案】 a 【解析】【分析】设 2016 年高考总人数为x，则 2019年高考人数为1.2x，通过简单的计算逐一验证选项a、b、c、d.【详解】设2016 年高考总人数为x，则 2019 年高考人数为1.2x， 2016年高考不上线人数为0.3x，2019 年不上线人数为1.20.280.3360.3xxx，故 a 正确；2016 年高考一本人数0.3x，2019 年高考一本人数1.20.260.3120.3xxx，故 b 错误；2019年二本达线人数1.20.40.48xx，2016年二本达线人数0.34x，增加了0.480.340.410.34xxx倍，故c错误；2016 年艺体达线人数0.

5、06x，2019 年艺体达线人数1.20.060.072xx，故 d 错误 .故选： a.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.4.在abc中，d在边ac上满足13addcuu u ruuu r，e为bd的中点，则ceuuu r（）.a. 7388babcuu u ruuu rb. 3788babcuu u ruuu rc. 3788babcuu u ruuu rd. 7388babcu uu ruuu r【答案】 b 【解析】【分析】由13addcuuu ruuu r，可得34cdcauu u ru uu r，1()2cecbcdu uu ruuu

6、ruu u r13()24cbcauu u ruu u r，再将cababcuu u ru uu ru uu r代入即可 .【详解】因为13addcuu u ru uu r，所以34cdcauu u ru u u r，故1()2cecbcdu uu ruuu ruu u r13()24cbcau uu ruu u r133()244bcbabcuuu ruu u ruuu r3788babcuu u ruu u r.故选： b.【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.5.已知等差数列na的公差为2，前n项和为ns，1a，2a，3a为某三角形的三边长，且该

7、三角形有一个内角为120，若nmss对任意的*nn恒成立，则实数m（）.a. 6b. 5c. 4d. 3【答案】 c 【解析】【分析】若nmss对任意的*nn恒成立，则ms为ns的最大值，所以由已知，只需求出ns取得最大值时的n 即可.【详解】由已知，1a2a30a，又三角形有一个内角为120，所以22212323aaaa a，22211111(2)(4)(2)(4)aaaaa，解得17a或12a（舍），故2(1)7( 2)82nn nsnnn，当4n时，ns取得最大值，所以4m.故选： c.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.6.设f为抛物线24x

8、y的焦点，a，b，c为抛物线上三点，若0fafbfcu uu ruuu ruuu rr，则|fafbfcu uu ruu u ruuu r（）.a. 9b. 6c. 38d. 316【答案】 c 【解析】【分析】设11(,)a xy，22(,)b xy，33(,)c xy， 由0fafbfcuu u ruuu ruu u rr可 得123316xxx， 利 用 定 义 将|fafbfcuu u ruuu ru uu r用123,x xx表示即可 .【详解】设11(,)a x y，22(,)b xy，33(,)c xy，由0fafbfcuu u ru uu ruuu rr及1(,0)16f，得1

9、11(,)16xy221(,)16xy331(,)(0,0)16xy，故123316xxx，所以123111|161616fafbfcxxxuu u ruu u ruu u r38.故选： c.【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.7.执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则p的取值范围是（）.a. 3 7,4 8b. 59,6 10c. 7 15,8 16d. 15 31,16 32【答案】 c 【解析】【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.【详解】第一次循环：1,22sn；第二次循环：2113,3224

10、sn；第三次循环：231117,42228sn；第四次循环：234111115,5222216sn；此时满足输出结果，故715816p.故选： c.【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.8.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.a. 432b. 576c. 696d. 960【答案】 b 【解析】【分析】先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3 人排好，共有

11、33a种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22a种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34a种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224c a种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33a22a34(a1224)576c a种.故选： b【点睛】本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.9.已知正项等比数列na满足76523aaa，若存在两项ma，na，使得219mnaaa，则19mn的最小值为（）.a. 16b. 283c. 5d. 4【答案】 d 【解析】【分

12、析】由76523aaa，可得3q，由219mnaaa，可得4mn，再利用“ 1”的妙用即可求出所求式子的最小值 .【详解】设等比数列公比为(0)q q，由已知，525523aaqaq，即223qq，解得3q或1q（舍），又219mnaaa，所以211111339mnaaa，即2233m n，故4mn，所以1914mn1919()()(10)4nmmnmnmn1(102 9)44，当且仅当1,3mn时，等号成立 .故选： d.【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.10. 函数| |1( )e sin 28xf xx的部分图象大致是（）a. b.

13、c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】fxfx，函数是奇函数，排除d，0,2x时，0fx，,2x时，0fx，排除b，当0,2x时，sin20,1x，211 1,88 8xee0,10,2x时，0,1fx，排除a，c符合条件，故选c.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.11. 如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)xycabab的右焦点为f，双曲线c的右支上一点a，它关于原点o的对称点为b，满足120afb，且| 2|bf

14、af，则双曲线c的离心率是（）.a. 33b. 72c. 3d. 7【答案】 c 【解析】【分析】易得|2afa，| 4bfa，又1()2fofbfauu u ruu u ru uu r，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线c 的左焦点为e，易得aebf为平行四边形，所以| | 2bfafbfbea，又|2|bfaf，故| 2afa，| 4bfa，1()2fofbfauuu ru uu ruu u r，所以2221(41624 )4caaaa，即223ca，故离心率为3e.故选： c.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立, ,a b c的方程或不等关系，是一道中档题.12. 设函

15、数( )f x 的定义域为r，满足(2)2( )f xf x，且当2(0,x时，( )(2)f xx x.若对任意(,xm，都有40( )9f x，则m的取值范围是（）.a. 9,4b. 19,3c. (,7d. 23,3【答案】 b 【解析】【分析】求出( )f x 在(2 ,22xnn的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.【详解】当(2 ,22xnn时，2(0,2xn，( )2(2 )2 (2 )(22)nnf xfxnxnxn，max( )2nf x，又40489，所以m至少小于7，此时3( )2 (6)(8)f xxx，令40( )9f x，得3402 (6)(8)9xx，解得

16、193x或233x，结合图象，故193m.故选： b.【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知实数x，y满足约束条件0401xyxyy，则32xyz的最大值是 _.【答案】14【解析】【分析】令3xyt，所求问题的最大值为max2t,只需求出maxt即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.【详解】作出可行域，如图令3xyt，则3yxt，显然当直线经过(1,1)b时，t最大，且max2t，故32xyz的最大值为2124.故答案为：14.【点睛】本题考查线性规划中非线性目

17、标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题 .14.已知函数( )yf x的图象在点(3,(3)mf处的切线方程是123yx，则(3)(3)ff的值等于_.【答案】103【解析】【分析】利用导数的几何意义即可解决.【详解】由已知，1(3)3f，1(3)3233f，故(3)(3)ff103.故答案：103.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题.15. 定义在封闭平面区域d内任意两点的距离的最大值称为平面区域d的“直径” .已知锐角三角形的三个点a，b，c，在半径为3的圆上，且3bac，分别以abcv各边为直径向外作三个

18、半圆，这三个半圆和abcv构成平面区域d，则平面区域d的“直径”的最大值是_.【答案】92【解析】分析】先找到平面区域d内任意两点的最大值为33sin3sin2bc，再利用三角恒等变换化简即可得到最大值 .【详解】由已知及正弦定理，得22 3sinsinsinacabbcrbca，所以3bc，2 3sin,2 3 sinacb abc，取 ab 中点 e，ac 中点 f，bc 中点 g，如图所示的【显然平面区域任意两点距离最大值为33sin3sin2bc，而3323sin3sin3sinsin()223bcbb3333(sincos)222bb393sin()262b，当且仅当3b时，等号成立

19、 . 故答案为：92.【点睛】本题考查正弦定理在平面几何中的应用问题，涉及到距离的最值问题，在处理这类问题时，一定要数形结合，本题属于中档题.16. 已知三棱锥pabc中，abbc，2 3papbab，2bc，且二面角pabc-的大小为135，则三棱锥pabc外接球的表面积为_.【答案】32【解析】【分析】设pab的中心为t，ab 的中点为n，ac 中点为 m，分别过 m，t做平面 abc，平面 pab的垂线，则垂线的交点为球心o，将,ot ommt的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半径 .【详解】设pab的中心为t，ab 的中点为n，ac 中点为 m，分别过m，t 做平

20、面 abc，平面 pab的垂线，则垂线的交点为球心o，如图所示因为2 3papbab，2bc，所以1tn，22nm，14ac，又二面角pabc-的大小为135，则135tnmo，45tomo，所以22252cos2tmtnmnmntntnm，设外接球半径为r，则2272omr，224otr，在otm中，由余弦定理，得2222costmtomomo totom，即2222574(27)(4)22rrrr，解得28r，故三棱锥pabc外接球的表面积2432sr.故答案为：32.【点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题

21、.三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共70分）（一）必考题（共60 分）17. 在abcv中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且cos23cos10cc.（1）求角c的大小；（2）若3ba，abcv的面积为3sinsinab，求sin a及c的值 .【答案】（ 1）3c（2）21sin14a；3c【解析】【分析】（1）由2cos22cos1cc代入cos23cos10cc中计算即可；（2）由余弦定理可得7ca，所以1sinsin7ac，由1sin3sinsin2abcsabcab，变形即可得到答案 .【详解】（ 1）因为cos23cos10cc，可得：22cos3c

22、os20cc，1cos2c，或cos2c（舍），0c，3c.（2）由余弦定理2222222cos327cababcaaa，得7ca所以sin7 sinca，故121sinsin147ac，又1sin3sinsin2abcsabcab，3c所以24sinsinsinabcabc，所以3c.【点睛】本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.18. 如图，空间几何体abcde中，acdv是边长为 2 的等边三角形，6ebec，2 3bc，90acb，平面acd平面abc，且平面ebc平面abc，h为ab中点 .（1）证明：dh /平面bce；（2）求二面角eab

23、c平面角的余弦值.【答案】（ 1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）分别取ac，bc的中点p，q，连接dp，eq，pq，ph，dh，要证明dh /平面bce，只需证明面bce面dph即可 .（2）以点p为原点，以pa为x轴，以ph为y轴，以pd为 z 轴，建立空间直角坐标系，分别计算面eab的法向量mr， 面abc的法向量可取nr， 并判断二面角为锐角，再利用cos| |m nmnrrrr计算即可 .【详解】（ 1）证明：分别取ac，bc的中点p，q，连接dp，eq，pq，ph，dh.由平面acd平面abc，且交于ac，dp平面acd，dpac有dp平面abc，由平面ebc平面abc，

24、且交于bc，eq平面bce，eqbc有eq平面abc，所以dpeq，又eq平面ebc，dp平面ebc，所以dp平面ebc，由appc，ahhb有，phbc，又bc平面ebc，ph平面ebc，所以ph平面ebc，由dp平面ebc，ph平面ebc，dpphp，所以平面bce平面dph，所以dh平面bce（2）以点p为原点，以pa为x轴，以ph为y轴，以pd为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系由eq面abc，所以面abc的法向量可取(0,0,1)nr，点(1,0,0)a，点( 1,2 3,0)b，点( 1,3,3)e，( 2,23,0)abu uu r，(0,3,3)beu uu r，设面eab的

25、法向量( , , )mx y zr，所以22 30330 xyyz，取(3,1,1)mr，二面角 eacb 的平面角为，则为锐角 .所以15cos| |55m nmnrrrr【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.19. 已知某种细菌适宜生长温度为1227，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位： 个）随温度x（单位：）变化的规律，收集数据如下：温度x/14161820222426繁殖数量y/个2530385066120218对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：xyk721iixx721iikk7

26、1iiixxyy71iiixxkk20784.11123.8159020.5其中lniiky，7117iikk.（1）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断ybxa与dxyce哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（ 1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1） ；（3）当温度为27时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据,(1,2,3, )iiu vin，其回归直线vua的斜率和截距的最小二成估计分的别为121niiiniiuuvvuu，avu，参考数据：5.5245e.【答案】（

27、1）作图见解析；dxyce更适合（ 2）0.10.2xyee（3）预报值为245【解析】【分析】（1）由散点图即可得到答案；（2）把dxyce两边取自然对数，得lnlnydxc，由712iiiixxkkdxx计算得到， 再将( , )x k代入lnlnydxc可得ln c，最终求得ln0.20.1yx，即0.10.2xyee；（3）将27x代入0.10.2xyee中计算即可 .【详解】解： （1）绘出y关于x的散点图，如图所示：由散点图可知，dxyce更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（2）把dxyce两边取自然对数，得lnlnydxc，即lnkdxc，由27120.50.1

28、830.2112iiiixxkkdxxln4.10.2200.1c.ln0.20.1yx，则y关于x的回归方程为0.10.2xyee；（3）当27x时，计算可得0.15.45.5245yeee；即温度为27时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.【点睛】本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.20. 已知椭圆2222:1(0)xycabab的左焦点坐标为(3,0) ，a，b分别是椭圆的左，右顶点，p是椭圆上异于a，b的一点，且pa，pb所在直线斜率之积为14.（1）求椭圆c的方程；（2）过点(0,1)q作两条直线，分别交椭圆c于m，n两点（异于q点

29、） .当直线 qm ，qn的斜率之和为定值(0)t t时，直线mn是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.【答案】（ 1）2214xy（2）直线mn过定点2, 1t【解析】【分析】（1）14papbkk2214ba，再由223ab，解方程组即可；（2）设11,mx y，22,n xy，由qmqnkkt，得1212122(1)kxxmxxtx x，由直线 mn 的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.【详解】（ 1）由题意知：3c，又2214papbbkka，且222abc解得2a，1b，椭圆方程为2214xy，（2）当直线mn的斜率存在时，设其方程为ykxm ，设11

30、,mx y，22,n xy，由2244ykxmxy，得222148440kxkmxm.则122814kmxxk，21224414mx xk（ *）由qmqnkkt，得121211kxmkxmtxx，整理可得1212122(1)kxxmxxtx x（* ）代入得22222448442(1)141414mkmmkmtkkk，整理可得(1)(2)0mktmt，又1m21kmt，21kykxt，即21ykxt，直线过点2, 1t当直线mn的斜率不存在时，设直线mn的方程为0 xx，01,a xy，02,b xy，其中21yy，120yy，由qmqnkkt，得121200001122yyyytxxxx，

31、所以02xt当直线mn的斜率不存在时，直线mn也过定点2, 1t综上所述，直线mn过定点2, 1t.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.21. 已知函数( )ln1g xxmx.（1）讨论( )g x的单调性；（2）若函数( )( )f xxg x在(0,)上存在两个极值点1x，2x，且12xx ，证明12lnln2xx.【答案】（1）若0m，则( )g x在定义域内递增；若0m，则( )g x在10,m上单调递增，在1,m上单调递减（ 2）证明见解析【解析】【分析】（1）1(

32、 )mxg xx，分0m，0m讨论即可；（2）由题可得到121212121212lnlnlnlnlnln2xxxxxxmxxxxxx，故只需证121212lnln2xxxxxx，12xx，即1121221ln21xxxxxx，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.【详解】由已知，1( )mxg xx，若0m，则( )g x在定义域内递增；若0m，则( )g x在10,m上单调递增，在1,m上单调递减 . （2）由题意2( )lnf xxxmxx，0 x对( )f x 求导可得( )ln2,0fxxmx x从而1x，2x是( )fx的两个变号零点，因此121212121212lnlnlnlnlnln2xxxxxxmxxxxxx下证：121212lnln2xxxxxx，12xx即证1121221ln21xxxxxx令12xtx，即证：( )(1)ln22h tttt，(0,1)t对( )h t求导可得1( )ln1h ttt，(0,1)t，21( )thtt，因为01t故( )0h t，所以( )h t在(0,1)上单调递减，而(1)0h，从而( )0h t所以( )h t在(0,1)单调递增，所以( )(1)0h th，即( )0h t于是12lnln2xx【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，