江西省南昌市进贤一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

1、理科数学试卷一、单选题 (每小题 5 分，共 60 分).1.131ii（）a. 24ib. 24ic. 12id. 12i【答案】 c 【解析】分析：求131ii，将其分子 、分母同乘以分母的共轭复数1 i，可得(13 )(1)(1)(1)iiii，转化为两个复数相乘可得221331iiii，化简可得242i，即12i详解 ：2213(13 )(1)133133241(1)(1)122iiiiiiiiiiiii12i故选 c点睛：求两个复数相除，可先转化为分式，分子 、分母同乘以分母的共轭复数，转化为复数的乘法运算本题意在考查复数的运算及学生的运算能力2.命题 “2,xxr ex” 的否定是

2、（）a. 2,xxr exb. 0200,xxr exc. 0200,xxr exd. 2,xxr ex【答案】 c 【解析】【分析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可. 【详解】命题 “2,xxr ex” 的否定是0200,xxr ex. 故选： c 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基本题. 3.“1c” 是“ 直线0 xyc与圆22212xy” 相切（）a. 必要不充分条件b. 充分不必要条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 b 【解析】【分析】根据直线与圆相切，求得1c或3c，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，圆22212xy的圆心坐标为(

3、2, 1)，半径为2，当直线0 xyc与圆22212xy相切，可得dr，即122cd，整理得12c，解得1c或3c，所以 “1c” 是 “ 直线0 xyc与圆22212xy” 相切的充分不必要条件.故选 b.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 4.直线yx与曲线yx围成的封闭图形的面积为（）a. 52b. 32c. 23d. 16【答案】 d 【解析】【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可【详解】yx与曲线yx围成的封闭图形的面

4、积3121200211()() |326sxx dxxx故选d的【点睛】 本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属于基础题5.观察下列各式：若112213abab，334447abab，5511ab， ，则77ab等于 ()a. 18b. 29c. 47d. 15【答案】 b 【解析】【分析】找出规律：从第三项开始，每项等于前两项之和，计算得到答案. 【详解】找出规律：从第三项开始，每项等于前两项之和6671118ab7711 1829ab故答案选b 【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力. 6.已知点3,4a，f是抛物线28yx焦点，m是抛物线上的动点，

5、当mamf最小时，m点坐标是()a. 0,0b. 3,26c. 2,4d. 3, 2 6【答案】 c 【解析】由题知点 a 在抛物线内 设 m 到准线的距离为|mk| ， 则|ma| |mf| |ma| |mk| ， 当|ma| |mk| 最小时，m 点坐标是 (2,4) 7.已知椭圆2215xym的离心率105e，则m的值为（）a. 3b. 3 或253c. 15d. 15或5153【答案】 b 【解析】【分析】对m分类讨论，分别求得a2，b2，c2，再根据离心率可求m. 的【详解】当m5 时，a2m，b25，c2m5，e22225ca?m253；当 0m5 时，a25，b2m，c25m，e

6、22225ca?m3；故选b【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，考查了椭圆的离心率的公式，考查了分类讨论思想，属于基础题8.已知函数( )xxaf xe的图像在点(1, (1)f处的切线与直线20 xey平行，则aa. 1 b. ec. ed. -1 【答案】 d 【解析】【分析】求出曲线yfx在点1,1f处切线的斜率k，求出函数yfx的导函数fx，根据两直线平行的条件，令1x， 1fk，求出a；【详解】21xxxxexa exafxee，所以 1afe， 又直线20 xey得斜率为1ke，由两直线平行得：1aee，所以1a故选 d 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考

7、查了运算能力，属于中档题9.函数2lnfxxax ar不存在极值点，则a 的取值范围是（）a. (,0)b. (0,)c. 0,)d. (,0【答案】 d 【解析】函数2lnfxxax ar的定义域为0,函数fx不存在极值点， 即222axafxxxx在0,没有实数根 , 220,0 xaq,故选 d. 10. 已知函数fx满足fxfx，在下列不等关系中，一定成立的（）a. 12effb. 12effc. 21effd. 21eff【答案】 a 【解析】【分析】构造函数xfxg xe，求导后可知0gx，则g x在r上单调递增，由此可得12gg，整理可得结果 . 【详解】令xfxg xe，则2x

8、xxxfx efx efxfxgxee0 xeq，fxfx0gxg x在r上单调递增12gg，即212ffee12eff本题正确选项：a【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小的问题，关键是能够准确构造函数，利用已知不等关系判断出导函数的符号，从而得到所构造函数的单调性. 11. 设1f、2f分别为双曲线2221xyab（0a，0b） 的左、右焦点，p为双曲线右支上任一点若212pfpf的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是（）a. (0,2)b. (1,3c. 2,3)d. 3,【答案】 b 【解析】【分析】根据双曲线的定义，把式子212pfpf中的1pf用含2pf的代数式表示，最后利

9、用基本不等式、双曲线的性质进行求解即可. 详解】由定义知：12122 ,2pfpfapfapf2222122222448apfpfaapfapfpfpf当且仅当2224apfpf，即22pfa时取得等号，22pfcacaaq即3ca，所以3e，又因为双曲线的离心率1e,1,3e. 故选： b 【点睛】考查了考查了求双曲线的离心率的取值范围问题，考查了基本不等式的应用，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力. 12. 已知函数( )lnaf xxxx，32( )5g xxx，若对任意的121,22x x，都有12()()0f xg x成立，则实数a的取值范围是（）a. ,24ln 2b. ,1c

10、. 1124ln 2,ln 224d. 11,ln 224【答案】 a 【解析】分析：由题意转化为maxminfxg x，求出g x的最小值，将其转化为关于a的不等式进行求解详解：根据题意，对任意的12122xx，都有120fxg x即12fxg xmaxminfxg x，恒成立232gxxx，在122x，内先增后减122gg，故1ming x则 1fx，1axlnxx【解得2axx lnx令2h xxx lnx，则12h xxlnxx23hxlnx在区间122，内，0hx，hx递减，10h，故h x递减2242hln242aln，则实数a的取值范围是242ln，故选a点睛：本题考查了不等式恒

11、成立问题求解参数的范围问题，利用导数转化为两个函数的最值问题，求导后进一步转化为关于a的不等式进行求解，当一阶导数不能判定符号时可以利用二阶导数来求解，本题的方法较为重要，需要掌握二、填空题（每小题5 分，共 20分）.13. 函数fx=2lnxx单调递减区间是_【答案】（0，2）【解析】分析：求出函数的导数为21fxx，再解210fxx得2x结合函数的定义域，即可得到单调递减区间是0 2（ ， ）. 详解：函数2lnfxxx的导数为21fxx，令210fxx，得2x结合函数的定义域，得当0 2x （ ，）时，函数为单调减函数因此，函数2lnfxxx的单调递减区间是0 2（ ， ）.故答案为0

12、 2（ ， ）点睛：本题给出含有对数的基本实行函数，求函数的减区间，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属基础题14.12012xx dx_【答案】14【解析】【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来即可【详解】12012xx dx1120012xdxxdx由定积分的几何意义可知1201xdx表示的为单位圆在第一象限内的面积，即12014xdx由微积分基本定理可知1202xdxx101所以1201214xx dx【点睛】本题考查了定积分的求法，定积分几何意义与微积分基本定理的应用，属于基础题15. 已知椭圆

13、22194xy，直线2180 xy，则椭圆上点到这条直线的最短距离是_【答案】13 55【解析】【分析】可将椭圆的标准式转化为参数方程，再由点到直线距离公式求解即可【 详 解 】 由22194xy对 应 参 数 方 程 为 ：3cos2sinxy， 由 点 到 直 线 距 离 公 式 得5sin183cos4sin1855d，当sin1时，min1313555d故答案为13 55【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，属于中档题16. 已知函数( )xxf xe，给出下列结论：(1,)( )f x是的单调递减区间；当1(,)ke时，直线y=k 与 y=f （ x）的图象有两个不

14、同交点；函数 y=f （x）的图象与21yx的图象没有公共点；当(0,)x时，函数1( )( )yf xfx的最小值为2其中正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】【分析】 先求出函数的导数，令导函数小于0，解出即可判断； 根据函数的单调性画出函数的图象，通过图象读出即可； 求出 f（ x）的最大值小于yx2+1 的最小值，从而得到答案；利用对勾函数即可作出判断详解】 解： f（ x）1xxe，令 f（ x） 0，解得： x1，函数 f（ x）在（ 1，+）递减，故 正确； f（x）在（，1）递增，在（ 1，+）递减，f（x）maxf（ 1）1e，x时， f（x）， x+时， f（x） 0，画出

15、函数f（x）的图象，如图示：，【当 k （， 0）时，直线yk 与 yf（x）的图象有1 个不同交点，当 k （0，1e）时，直线yk 与 yf（x）的图象有两个不同交点，故 错误； 函数 f（x）1e，而 yx2+11，函数 yf（x）的图象与yx2+1 的图象没有公共点，故 正确；当0,x时，令 t=10fxe，11yfxtfxt在10e，上单调递减，11yfxefxe，最小值不等于2，故错误 .故答案为 【点睛】 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题三、解答题（ 17 题 10分，其它每题 12 分，共 70 分）.17. （1）已知复数z满足(1)25zizi

16、，求z（2）若, ,x y z均为实数，且2222,2,2236xabybczca，求证：, ,x y z中至少有一个大于 0.【答案】（ 1）5（2）见解析【解析】【分析】（1）设出复数z的代数形式，根据共轭复数的定义求出z，根据复数的乘法、加减法的运算法则，结合复数相等的定义、复数模的公式进行求解即可；（2）运用反证法，结合配方法进行证明即可. 【详解】（ 1）解：设zabi（a、br） ，则zabi由题意得125abiiabii即35abab ii35,1abab解得34ab即34zi，22453z（2）证明：反证法，假设0 x，0y，0z.由题设知：222222236xyzabbcca

17、2222121213aabbcc222(1)(1)(1)(3)abc因为2(1)0a，2(1)0b，2(1)0c，30，则0 xyz，由假设知0 xyz，与0 xyz不符，所以, ,x y z中至少有一个大于零.得证 .【点睛】本题考查了复数的乘法、加减法的运算，考查了复数相等的定义，考查了反证法，考查了数学运算能力 . 18. 设函数f(x) alnxbx2(x0) ，若函数f(x) 在x1 处与直线y相切(1) 求实数 a， b 的值；(2) 求函数 f(x)在上的最大值【答案】（ 1）112ab.（ 2）f(x)max12.【解析】【分析】（1）对f(x)进行求导fx 欲求出切线方程，只

18、需求出其斜率即可，故先利用导数求出在1x处的导数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，列出关于a，b 的方程求解即可；（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值. 【详解】 (1)f(x)2bx，函数f(x) 在x 1处与直线y相切，(1)211(1)2fabfb解得(2) 由(1) 知，f(x) lnxx2，f(x) x，当 xe时，令f(x)0 ，得x1，令f(x)0，得 1xe，f(x) 在，1) 上是增加的，在(1 ，e 上是减少的，f(x)maxf(1) 点睛：本题主要考查函数单调性的应用，利用导数研究曲线上某点的切线方程，

19、导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想. 19.已知命题21,1xpxmx：恒成立；命题q：方程22122xymm表示双曲线1若命题p为真命题，求实数m的取值范围；2若命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数m的取值范围【答案】 (2) 4m;(2) 2m，或24m. 【解析】试题分析 ： （ 1）当命题p 为真命题时，转化为求2( )1xf xx在(1,)上的最小值，继而求出m 的范围；（2）先求出当命题q 为真命题时m 的范围，再由已知条件得出p,q 一个为真命题，一个为假命题，再分两种情况分别求出m 的范围，最后取并集即可求出m

20、的范围试题解析： （1）22111fx12111xxxxxx，1,x，11241xx，故命题p为真命题时，4m（2）若命题q为真命题，则220mm，所以22m，因为命题pq为真命题，则,p q至少有一个真命题，pq为假命题，则,p q至少有一个假命题，所以,p q一个为真命题，一个为假命题. 当命题p为真命题，命题q为假命题时，422mmm或，则2m，或24m；当命题p为假命题，命题q为真命题时，422mm， 舍去综上，2m，或24m. 20. 在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为2cos2sin2xy(为参数 ) ，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求c的极

21、坐标方程；(2) 若直线12,l l的极坐标方程分别为6r，2=3r， 设直线12,ll与曲线c的交点为o，m，n，求omnv的面积 . 【答案】 (1)4sin；(2)2 3. 【解析】试题分析： 1 由题意可得c 的普通方程2224xy极坐标方程为4sin. 2 由题意可得2mom2 3nonomn 为直角三角形，则12 32omnsomon.试题解析：1）由参数方程222xcosysin，得普通方程2224xy所以极坐标方程222240cossinsin，即4sin.2）直线1:r6l与曲线c的交点为,o m，得426momsin又直线22:r3l与曲线c的交点为,o n，得242 33

22、nonsin且2mon，所以1122 32 322omnsom on.21. 已知椭圆c：222210 xyabab的离心率为22，且与抛物线2yx 交于m，n两点，omn（o为坐标原点）的面积为2 2（1）求椭圆c的方程；（ 2）如图，点a为椭圆上一动点（非长轴端点）1f，2f为左、右焦点，2af的延长线与椭圆交于b点，ao的延长线与椭圆交于c点，求abc面积的最大值【答案】（ 1）22184xy（2）4 2【解析】【分析】(1)由题意求得a,b,c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最

23、大值.【详解】（ 1）椭圆2222:1(0)xycabab与抛物线2yx交于m，n两点，可设( ,)m xx，( ,)n xx，omn的面积为2 2，22xx，解得2x，(2,2)m，(2,2)n，由已知得2222222421caababc，解得2 2a，2b，2c，椭圆c的方程为22184xy.（2）当直线ab的斜率不存在时，不妨取(2,2)a，(2,2)b，( 2,2)c，故12244 22abc；当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为(2)yk x，11,a x y，22,b xy，联立方程22(2)184yk xxy，化简得2222218880kxk xk，则2222644 218

24、83210kkkk，2122821kxxk，21228821kxxk，221212|14abkxxxx222222888142121kkkkk2214 221kk，点o到直线20kxyk的距离22|2 |2 |11kkdkk，因为o是线段ac的中点，所以点c到直线ab的距离为24 |21kdk，1| 22abcsabd222114|4 22211kkkk222218221kkk22222222211211kkkkkkk222211441kkkk,，又221kk，所以等号不成立.222218 24 221abckksk，综上，abc面积的最大值为4 2.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22. 已知函数( )ln1()f xaxxar（1）讨论( )f x 的单调性并指出相应单调区间；（2）若21( )1(2g xxxxf，设121