《高等数学(一)》复习资料-姜作廉

1、课 程 名 称高等数学（一）教材信息名称高等数学（上册）出版社天津大学出版社作者李君湘邱忠文主编版次2007年 8 月第 1 版注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）（一）、单项选择部分1函数xxxf)321()321()(为（）。（a）奇函数；（ b）周期函数；（ c）幂函数；（ d ）偶函数考核知识点 : 函数的性质，参见p4-7 附 1.1.1 （考核知识点解释及答案）：函数的基本特性：有界性：设函数 f (x) 的定义域为 d， 如果有0m， 使得对dx， 都有mxf)(， 则称 f ( x)在 d上有界 。如果对dx，使得m

2、xf)(，则称 f (x) 在 d 上有上界 。单调性：设函数 f (x) 的定义域为 d ，如果对dxx21,，当21xx时，恒有)()(21xfxf，就称上在dxf)(为单调递增函数。 同理，可以定义单调递减函数。 我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。奇偶性：设 f ( x)的定义域为 d，对dx，如果(i)()(xfxf，则称该函数为奇函数；(ii)()(xfxf，则称该函数为偶函数周期性：设函数 f ( x) 的定义域为 d ，如果存在 t0，使得对dx，总有则称 f (x) 为 d上的周期函数， t为 f (x) 的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫

3、做该函数的周期计算过程如下：-11(- )()()=23232323=()()=(23)(23)(23)(23)11=()() =f(x)2323xxxxxxfx答案： （d）偶函数。2函数( )ln(1sin ) (0)f xxx为（）。（a）无穷小量；（ b）无穷大量；（ c）零函数；（ d ）常数函数考核知识点 : 无穷小与无穷大，参见p25-27 附 1.1.2 （考核知识点解释及答案）：当0 xx时，如果函数)(xf的绝对值大于任意预先给定的正数m ，则我们称函数)(xf为当0 xx时的无穷大量，记为)(lim0 xfxx。若0)(lim0 xfxx，则称函数)(xf在该极限过程中为

4、无穷小量简称无穷小。答案： （a）无穷小量。3函数sin0 xyxx在点处（）。（a）可导；（ b）间断；（ c）可微；（ d）连续考核知识点 : 连续与可导性，参见p40-46 附 1.1.3 （考核知识点解释及答案】）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件 . 若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 答案： （b）间断。4若( )ln(2sin),(0)f xxf则（）。（a）-1；（b）0；（c）12；（d）1 考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 p61-63 附 1.1.4 （考核知识点解释及答案）：下述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，

5、要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。基本的求导公式基本初等函数求导公式复合函数的求导法则：若函数)(xgu在点 x 处可导 , 而)(ufy在点)(xgu处可导 , 则复合函数)(xgfy在点 x 处可导, 且其导数为或dxdududydxdy本题计算用到复合函数的求导法则和导数的四则运算法则。导数的四则运算法则：如果函数( )uu x及( )vv x都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且（1）( )( )( )( )u xv xu xv x ；（2）( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v

6、 xu x v xu x v x ；（3）2( )( ) ( )( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x答案： （c）12。5若( ),(0)xf xxef则（）。（a）-2；（b）-1；（c ）1；（d）2 考核知识点 : 二阶导数计算，参见p65-68 附 1.1.5 （考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时， 除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式 , 通过导数的四则运算 , 变量代换等方法 , 间接求出指定的高阶导数（间接法）. 复合函数的求导法则若函数)(xgu在点 x 处可导

7、 , 而)(ufy在点)(xgu处可导 , 则复合函数)(xgfy在点 x 处可导, 且其导数为或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为： 复合函数的导数， 等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 . 这一法则又称为链式法则 . 复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时 , 首先要分清函数的复合层次， 然后从外向里 , 逐层推进求导，不要遗漏 , 也不要重复 . 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量 ( 不管是自变量还是中间变量) 的导数 . 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做 . 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼

8、里， 记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成. 答案： （d）2。6函数21( )lg1cosxf xx为（）。（a）奇函数；（ b）偶函数；（ c ）幂函数；（ d）周期函数考核知识点 : 函数的性质，参见p4-7 附 1.1.6 （考核知识点解释及答案）：奇偶性：设 f ( x)的定义域为 d，对dx，如果(i)()(xfxf，则称该函数为奇函数；(ii)()(xfxf，则称该函数为偶函数周期性：设函数 f ( x) 的定义域为 d ，如果存在 t0，使得对dx，总有则称 f (x) 为 d上的周期函数， t为 f (x) 的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我

9、们把最小的正周期叫做该函数的周期答案： （b）偶函数。7函数( )21 (0)xf xx为（）。（a）零函数；（ b）无穷大量；（ c）无穷小量；（ d）常数考核知识点 : 无穷小与无穷大，参见p25-27 附 1.1.7 （考核知识点解释及答案）：当0 xx时，如果函数)(xf的绝对值大于任意预先给定的正数m ，则我们称函数)(xf为当0 xx时的无穷大量，记为)(lim0 xfxx。若0)(lim0 xfxx，则称函数)(xf在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。答案： （c）无穷小量。8函数0yxx在点处（）。（a）间断；（ b）可导；（ c）可微；（ d）连续考核知识点 : 连续与可导性

10、，参见p40-46 附 1.1.8 （考核知识点解释及答案）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件 . 若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 答案： （d）连续。9若sin( ),(0)xf xef则（）。（a）-1；（b）0；（c）1；（d）2 考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 p61-63 附 1.1.9 （考核知识点解释及答案）：初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则。若函数)(xgu在点 x 处可导 , 而)(ufy在点)(xgu处可导 , 则复合函数)(xgfy在点 x 处可导, 且其导数为或dxd

11、ududydxdy复合函数的求导法则可叙述为： 复合函数的导数， 等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 . 在求复合函数的导数时 , 首先要分清函数的复合层次， 然后从外向里 , 逐层推进求导，不要遗漏 ,也不要重复 . 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量( 不管是自变量还是中间变量 ) 的导数 . 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做 . 熟练之后，中间变量可以省略不写， 只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来. 答案： （c）0。10若2( ),(0)xf xef则（）。（a）-2；（b）-1；（c ）1；（d）2 考核知识点

12、 : 二阶导数计算，参见p65-68 附 1.1.10 （考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时， 除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式 , 通过导数的四则运算 , 变量代换等方法 , 间接求出指定的高阶导数（间接法）. 答案： （a）-2。11函数xxxf11lg)(为（）。（a）奇函数；（ b）偶函数；（ c ）指数函数；（ d ）周期函数考核知识点 : 函数的性质，参见p4-7 附 1.1.11 （考核知识点解释及答案）：函数的奇偶性：设 f ( x) 的定义域为 d，对dx，如果(i)()(xfxf，则称该函数为奇函数；(i

13、i)()(xfxf，则称该函数为偶函数函数的周期性：设函数 f (x) 的定义域为 d，如果存在 t0，使得对dx，总有则称 f (x) 为 d上的周期函数， t为 f (x) 的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期答案： （a）奇函数。12函数1( )cos (0)f xxxx为（）。（a）零函数；（ b）无穷大量；（ c）无穷小量；（ d）常数考核知识点 : 无穷小与无穷大，参见p25-27 附 1.1.12 （考核知识点解释及答案）：当0 xx时，如果函数)(xf的绝对值大于任意预先给定的正数m ，则我们称函数)(xf为当0 xx时的无穷大量，记为

14、)(lim0 xfxx。若0)(lim0 xfxx，则称函数)(xf在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。答案： （c）无穷小量。13函数( )tan |f xx 在 x=0 处（）。（a）间断；（ b）可导；（ c）可微；（ d）连续考核知识点 : 连续与可导性，参见p40-46 附 1.1.13 （考核知识点解释及答案）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件 . 若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 答案： （d）连续。14若12( )ln,()12xfxfx则（）。（a）2；（b）-2 ；（c）4；（d）-4 考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 p61

15、-63 附 1.1.14 （考核知识点解释及答案）：基本初等函数的导数公式0(cc为常数）；1()(nnxnxnr但不为零）；()xxee；1(ln)xx；(sin)cosxx；(cos )sinxx；()lnxxaaa；1(log).lnaxxa若函数)(xgu在点 x 处可导 , 而)(ufy在点)(xgu处可导 , 则复合函数)(xgfy在点 x 处可导, 且其导数为或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为： 复合函数的导数， 等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 . 答案： （c）4。15若2( )ln(1),(0)fxxf则（）。（a）-2；（b）-1；（c

16、 ）1；（d）2 考核知识点 : 二阶导数计算，参见p65-68 附 1.1.15 （考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时， 除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式 , 通过导数的四则运算 , 变量代换等方法 , 间接求出指定的高阶导数（间接法）. 导数的四则运算法则：如果函数( )uu x及( )vv x都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且（1）( )( )( )( )u xv xu xv x ；（2）( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x

17、 ；（3）2( )( ) ( )( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x答案： （a）-2。二、主观部分：（一）、填空部分1. 函数712arcsinxy的定义域是 _. 考核知识点 : 函数的概念，参见p1-6 附 2.1.1 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：设 d 是一个非空的实数集合， 如果存在某种对应规则f，使得对dx， 都有唯一的实数y 与之对应，就称f确定了一个一元函数，通常记为)(xfy，称x为自变量， y 为函数（因变量），d 为定义域，函数值的集合称为值域函数表示的通常方式为

18、公式法， 自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法计算过程如下：21117x答案： 3,4。2.30tanlimxxxx_. 考核知识点 : 洛必达法则求极限 ，参见 p90-95 附 2.1.2 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：如果函数)(xf和)(xg满足以下三个条件 : (1)0)(lim0 xfxx,0)(lim0 xgxx; (2)(xf和)(xg在点0 x的某去心邻域内可导 , 且0)(xg; (3)()(lim0 xgxfxx存在( 或无穷大 ). 则极限)()(lim0 xgxfxx存在(或无穷大 ), 且这种求极限的方法称为洛必达法则. 法则中的0 xx改

19、为x后法则仍成立 . 。答案：13。3. 设函数32( )arctanxf xxe ，则f (x)= _. 考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 p61-63 附 2.1.3 （考核知识点解释及答案）：若函数)(xgu在点 x 处可导 , 而)(ufy在点)(xgu处可导 , 则复合函数)(xgfy在点 x 处可导, 且其导数为或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为： 复合函数的导数， 等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 . 导数的四则运算法则：如果函数( )uu x及( )vv x都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，

20、且（1）( )( )( )( )u xv xu xv x ；（2）( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x ；（3）2( )( ) ( )( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x答案：324231xxx ex。4. 设2(1)sin,yxxdy则_. 考核知识点 : 微分计算，参见 p74-79 附 2.1.4 （考核知识点解释及答案）：微分的定义：设函数)(xfy在某区间内有定义 ,0 x及xx0在这区间内 , 如果函数的增量)()(00 xfxxfy可表示为其中 a是与x无关的常数 , 则称函数)(

21、xfy在点0 x可微, 并且称xa为函数)(xfy在点0 x处相应于自变量改变量x的微分 , 记作dy, 即函数可微的条件：函数)( xfy在点0 x可微的充分必要条件是函数)( xfy在点0 x可导，且当)(xfy在点0 x可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”. 微分公式基本初等函数微分公式上述“基本的微分公式”是各种微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里为了方便我们给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。答案：2(2 sin(1)xxxconx dx。5. 函数23( )(1)1fxx的极值点为 _. 考核知识点 : 函数极值

22、的计算，参见p96-101 附 2.1.5 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：确定极值点和极值的步骤(1) 求出函数的定义域和导数)(xf(2) 求出)(xf的全部驻点和不可导点(3) 利用第一充分条件 , 根据)(xf的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极大值点或极小值点如函数存在二阶导数 , 也可根据第二充分条件判定; (4) 求出函数的极值计算过程如下：22)1(6)(xxxf, 令 f ( x) 0 求得驻点1,0, 1321xxx又)15)(1(6)(22xxxf, 所以06)0(f因此)(xf在0 x处取得极小值极小值为0)0(f因为0) 1() 1(f

23、f所以用定理 3无法判别 而)(xf在1x处的左右邻域内.0)(xf所以)(xf在1x处没有极值同理)(xf在1x处也没有极值答案：0 x。6. 函数xylg1lg的定义域是 _. 考核知识点 : 函数的概念，参见p1-6 附 2.1.6 （考核知识点解释及答案）：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：设 d 是一个非空的实数集合， 如果存在某种对应规则f，使得对dx， 都有唯一的实数y 与之对应，就称f确定了一个一元函数，通常记为)(xfy，称x为自变量， y 为函数（因变量），d 为定义域，函数值的集合称为值域答案：(0,10)。7.10lim(12 )xxx_. 考核知识点 :

24、 求极限 ，参见上册 p33-37 附 2.1.7 （考核知识点解释及答案）：两个重要极限如下 : 0sin1lim1,lim 1xxxxexx。运用第二个重要极限计算该题。答案：2e。8. 设函数21()xxxf eee，则 f (x)=_. 考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 p61-63 附 2.1.8 （考核知识点解释及答案）：复合函数的求导法则若函数)(xgu在点 x 处可导 , 而)(ufy在点)(xgu处可导 , 则复合函数)(xgfy在点 x 处可导, 且其导数为或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为： 复合函数的导数， 等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对

25、自变量的导数 .基本初等函数的导数公式0(cc为常数）；1()(nnxnxnr但不为零）；()xxee；1(ln )xx；(sin)cosxx；(cos )sinxx；()lnxxaaa；1(log).lnaxxa答案：2xe。9. 设2ln(1),yxdy则_. 考核知识点 : 微分计算，参见 p74-79 附 2.1.9 （考核知识点解释及答案）：函数)( xfy在点0 x可微的充分必要条件是函数)( xfy在点0 x可导，且当)( xfy在点0 x可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 答案：221xdxx。10. 曲线21xyxe的斜渐近线为 _. 考核知

26、识点 : 求渐近线，参见 p109-111 附 2.1.10 （考核知识点解释及答案）：( )yf x的斜渐近线的计算：如果( )limxf xkx，lim( )xf xkxb ，则斜渐近线就是直线ykxb。答案：3yx。11. 函数xxxy11lg1的定义域是 _ 。考核知识点 : 函数的概念，参见p1-6 附 2.1.11 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：设 d 是一个非空的实数集合， 如果存在某种对应规则f，使得对dx， 都有唯一的实数y 与之对应，就称f确定了一个一元函数，通常记为)(xfy，称x为自变量， y 为函数（因变量），d为定义域，函数值的集合称为值域函数表示的通常方式

27、为公式法， 自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法计算过程如下：0 x且101xx，1x答案：( 1,0)(0,1)。12.30tansinlimsinxxxx_. 考核知识点 : 洛必达法则求极限 ，参见 p90-95 附 2.1.12 （考核知识点解释及答案）：如果函数)(xf和)(xg满足以下三个条件 : (1)0)(lim0 xfxx,0)(lim0 xgxx; (2)(xf和)(xg在点0 x的某去心邻域内可导 , 且0)(xg; (3)()(lim0 xgxfxx存在( 或无穷大 ). 则极限)()(lim0 xgxfxx存在(或无穷大 ), 且这种求极限的方法称为

28、洛必达法则. 法则中的0 xx改为x后法则仍成立 . 答案：12。13. 设23(3)yxdy，则_. 考核知识点 : 微分计算，参见 p74-79 附 2.1.13 （考核知识点解释及答案）：函数)( xfy在点0 x可微的充分必要条件是函数)( xfy在点0 x可导，且当)(xfy在点0 x可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.答案：226 (3)x xdx。14. 设223yxax在点 x=1取得极小值，则a_. 考核知识点 : 极值的确定，参见下册p98-101 附 2.1.14 （考核知识点解释及答案）：确定极值点(1) 求出函数的定义域和导数)(xf(

29、2) 求出)(xf的驻点和不可导点(3) 令( )0fx。如函数存在二阶导数 , 可根据第二充分条件判定。答案：4。15. 曲线3234yxxx的拐点坐标为 _. 考核知识点 : 求拐点，参见 p108-109 附 2.1.15 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：如果( )f x的二阶导数( )fx在0 x的左右两侧变号，则00(,()xf x就是拐点。计算过程如下：答案：(1,2)。（二）、计算题1. 求1cosxye的导数 .考核知识点 : 导数计算，参见 p56-63 附 2.2.1 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：复合函数的求导法则 : 若函数)(xgu在点 x 处可导 ,

30、而)(ufy在点)(xgu处可导 , 则复合函数)(xgfy在点 x 处可导, 且其导数为或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为： 复合函数的导数， 等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时 , 首先要分清函数的复合层次， 然后从外向里 , 逐层推进求导，不要遗漏 , 也不要重复 . 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量 ( 不管是自变量还是中间变量) 的导数 . 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做 . 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里， 记在心上，直接把表示中间变量的

31、部分写出来，整个过程一气呵成. 初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则。基本的求导公式基本初等函数求导公式上述“基本的求导公式” 是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里为了方便我们再次给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。参考答案：2. 求由方程0 xyxyee确定的隐函数( )yy x的导数。考核知识点 : 隐函数求导，参见p69-71 附 2.2.2 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：隐函数的导数：假设由方程0),(yxf所确定的函数为)(xyy，则把它代回方程0),(yxf中，得到恒等式利用复合函数求导法则， 在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导

32、数dxdy，这就是隐函数求导法 . 导数的四则运算法则：如果函数( )uu x及( )vv x都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且（1）( )( )( )( )u xv xu xv x ；（2）( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x ；（3）2( )( ) ( )( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x参考答案：对原方程 , 两边关于 x 求导, 其中 y=y(x), 有xyeyyex。3. 求(ln)xyx的导数 .考核知识点 : 导数计算，参见 p56

33、-63 附 2.2.3 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：对数求导法：形如)()(xvxuy的函数称为幂指函数 . 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 基本初等函数的导数公式0(cc为常数）；1()(nnxnxnr但不为零）；()xxee；1(ln)xx；(sin)cosxx；(cos )sinxx；()lnxxaaa；1(log).lnaxxa参考答案：4. 求由方程yxxy确定的隐函数( )yy x的导数。考核知识点 : 隐函数求导，参见p69-71

34、 附 2.2.4 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：隐函数的导数：假设由方程0),(yxf所确定的函数为)(xyy，则把它代回方程0),(yxf中，得到恒等式利用复合函数求导法则， 在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数dxdy，这就是隐函数求导法 . 对数求导法：形如)()(xvxuy的函数称为幂指函数 . 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 参考答案：原方程化为lnlnyxxyee, 两边对 x 求导, 其中 y=y(x), 有5. 求cosa

35、rctan(sin2)xyxe的导数。考核知识点 : 复合函数的求导 ，参见 p56-63 附 2.2.5 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：复合函数的求导法则：若函数)(xgu在点 x 处可导 , 而)(ufy在点)(xgu处可导 , 则复合函数)(xgfy在点 x 处可导, 且其导数为或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为： 复合函数的导数， 等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .参考答案：6. 求由方程xyxye确定的隐函数( )yy x的导数。考核知识点 : 隐函数求导，参见p69-71 附 2.2.6 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：隐函数的导

36、数：假设由方程0),(yxf所确定的函数为)(xyy，则把它代回方程0),(yxf中，得到恒等式利用复合函数求导法则， 在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数dxdy，这就是隐函数求导法 . 参考答案：7. 求32)2)(12()(xxxf的极值。考核知识点 : 求极值 ，参见 p96-101 附 2.2.7 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：确定极值点和极值的步骤(1) 求出函数的定义域和导数)(xf(2) 求出)(xf的全部驻点和不可导点(3) 利用第一充分条件 , 根据)(xf的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极大值点或极小值点如函数存在二阶导数 ,

37、也可根据第二充分条件判定; (4) 求出函数的极值参考答案：由023)1(10)(3xxxf得到1x为驻点；又34)2(52910)(xxxf，所以031013910)1(f所以)(xf在1x处取得极大值，且极大值为3)1(f。又)(xf在2x处不可导，在2x的充分小邻域内 , 当2x时，0)(xf；当2x时，0)(xf，由极值的第一充分条件知)(xf在2x处取得极小值，且极小值为f （2）=0，所以 f（x）在 x=1 处取得极大值 3，在 x=2处取得极小值 0。不存在极大值极小值8. 设函数2( )1f xxax，其中 a0，求 f(x) 的单调区间 。考核知识点 : 函数单调性判定 ，

38、参见 p96-98 附 2.2.8 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：函数单调性判定定理设函数)(xf在闭区间,ba上连续，在开区间),(ba内可导，则（1） 如果在),(ba内0)(xf，则)(xf在,ba上单调增加 . （2） 如果在),(ba内0)(xf，则)(xf在,ba上单调减少 . 若将定理的条件换成开区间或无穷区间, 判定定理的结论仍然成立 . 若函数)(xf在区间 i 上可导，且使0)(xf的点 x 仅有有限个，则)(xf在区间 i 上为严格递增（减）函数的充要条件为：对一切ix有.0)()(xf利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间， 用导数为零的点及不可导点

39、，将定义域划分成若干个区间， 然后在每个区间上判断函数的单调性； 如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些. 参考答案： 当 a1 时，有211xax，此时 f/(x)0 ，函数 f(x) 在区间),(上是单调递减函数。 当 0a1时，解不等式 f/(x)0 得21axa，f(x) 在区间2,)1aa上是单调递增函数。. 9. 求函数,(03)x223f(x)=(x -2x)的最大值和最小值。考核知识点 : 求函数的 最大最小值 ，参见 p102-105 附 2.2.9 （考核知识点解释及答案【解答过程】）：求函数()axbf(x)的最大最小值的步骤：（1）求函数的所有驻点，不可导点；（2）比较f(a),f(b)和驻点的函数值以及不可导点的函数值，取其中的 最大值和最小值即可 . 参考答案：10. 求