材料力学讲稿

1、会计学1材料力学讲稿材料力学讲稿吊车火车轴车刀第2页/共91页v单跨静定梁支座反力和位移条件BA简支梁yA=0,yB=0BA外伸梁yA=0,yB=0BA悬臂梁yA=0,A=0v思路弯曲内力弯曲应力弯曲变形弯曲强度弯曲刚度截面的几何特性第3页/共91页Q称为剪力，M称为弯矩。剪力符号：使脱离体有顺时针方向的趋势为正。弯矩符号：使脱离体的弯曲变形凹向上为正 一般情况下，须先计算梁的支座反力，在从待求内力截面出切开，取脱离体，利用平衡关系求解内力。BAPRBRAPRARB左上右下左下右上左顺右逆左逆右顺用内力截面法求梁的剪力和弯矩。aY=0,-Q+RA=0Q=RAm1=0,M-RAa=0M=RAa1

2、-1第4页/共91页 第5页/共91页aaPaCAB1122Pa第6页/共91页示例2：外伸梁如右图，求j截面1-1、截面2-2和截面3-3的剪力和弯矩。1、求支反力2、求内力第7页/共91页剪力剪力:所求截面一侧所有力的所求截面一侧所有力的代数和代数和弯矩弯矩:所求截面一侧所有力对所求截面一侧所有力对所求截面形心力矩的代数和所求截面形心力矩的代数和第8页/共91页剪力方程：Q(x)=-P (0 xl)示例1：悬臂梁受集中力注意：弯矩图画在凸侧、受拉侧，该侧配纵向受力钢筋。弯矩方程：M(x)=-Px (0 xl)第9页/共91页示例2：悬臂梁受均布荷载第10页/共91页示例3：简支梁受均布荷载

3、第11页/共91页示例4：简支梁受集中力第12页/共91页讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约 束力)作用处剪力图有突变， 这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。第13页/共91页示例4：简支梁受集中力偶第14页/共91页 例例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：解：1. 求支座约束力得和由00ABMMqlFqlFBA81 ,83 可利用平衡方程 对

4、所求约束力进行校核。 0yF(a) xBAl/2l/2CqFAFB第15页/共91页2. 建立剪力方程和弯矩方程 AC段： CB段： qxqlxF83)(S22183)(qxqlxxMqlxF81)(S)2(lxl)20(lx )20(lx )(81)(xlqlxM)2(lxl(a) xBAl/2l/2CqFAFB第16页/共91页3求控制截面内力，绘FS , M图 FS图：AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可qlFA83S右qlFC81S左CB段内 剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。 qlFB81S左(a) xBAl/

5、2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql第17页/共91页M图：AC段内 弯矩方程是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。 0AM2161qlMC)0)(0d)(d1SxFxxM211289)83(qllMlx83(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2第18页/共91页0,()( )0( )YQQdQq x dxdQq xdx BAq(x)QMQ+dQM+dMdx210,() ()( )()02xmMMdMQdQ dxq x dxdMQdx22( )d

6、Mq xdx 1. 剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点的荷载集度；2. 弯矩图上某点的切线斜率等于剪力图上相应点的剪力值。dxx第19页/共91页1、q(x)=0,Q为常数，M为一次函数+-Q0Q0q5，剪切变形远比弯曲变形小,剪切变形可以忽略对短粗杆（l/h)5，剪切变形不能忽略。对细长杆v最大正应力计算在总荷载不变的情况下，弯矩随跨度成线性增加，而剪力不随跨度增加。式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯截面模量，其单位为m3。中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；hbzyo第45页/共91页zIMymaxc,maxc,464zdI zIMymax, tm

7、axt,中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。312zbhI 622bhhIWzz矩形截面332zdW 圆形截面zoyyzdAd第46页/共91页 例题例题 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力。max375 kN m4FlM由型钢规格表查得56a号工字钢截面3cm2342zW4cm65586zIMPa160m102342mN10375363maxmaxzWM危险截面上点a 处的正应力为MPa148m1065586m021.

8、02m56. 0mN10375483maxzaaIyM第47页/共91页maxmaxmax ,zzzMWIWy称为抗弯截面模量。v拉压性质相同的材料示例3-1：简支梁受均布荷载。=10MPa。校核强度。210mm140mmzy22max112 4488MqlkNm 2223110.14 0.21660.103 10zWbhm3maxmax24 103.88 0.103 10zMMPaW许可荷载62 10 100.103 1010.3zMWkNm2288 10.3 5.15/4MqkN ml第48页/共91页0,17( )0,19( )BABmRkNYRkN示例3-2：简支梁受集中荷载。=170

9、MPa。选择工字钢型号。BA15kNC2m21kNRARB2m2mD作弯矩图max38MkNm333max638 100.223 10 170 10zMWm选择截面34kNm38kNm选择20a，Wz=237cm3。如果选择的Wz略小，则要校核应力值。若工作应力不大于许用应力5%，在工程上是允许的。如选择槽钢，则为两个16。Wz=2117=234cm3。第49页/共91页maxmaxmaxtttzMyImaxmaxmaxccczMyI抗弯强度条件最大拉应力最大压应力计算步骤1. 作弯矩图，求最大弯矩；2. 计算惯性矩或截面抗弯模量；3. 强度计算。示例3-3：悬臂梁受均布荷载。截面为圆环，D=

10、90mm，d=60mm, =140MPa。求许可荷载。ql2/234maxmax342(1),323 (1)3.99/32zzDWMWDqkN m 第50页/共91页MPa84Pa10841040010210)1669 CCE 解：kN4 .47N104 .471014125. 025. 025. 0)(36 FFWFWMFalFMzzCCBC C16号工字钢号工字钢FABa2/ llz三、梁的弯曲强度计算 例例3 4 已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ,求F并校核梁正应力强度。6

11、10400 c 第51页/共91页MPa126Pa1012610141108 .17mkN8 .1741)2663maxmaxmax zWMFLM三、梁的弯曲强度计算第52页/共91页示例3-5：外伸梁受集中荷载。校核强度。t=30MPa， c=30MPa。Iz=0.57310-5m4，y1=0.072m，y2=0.038m。BA24kNC0.2m9kNRARB0.3m0.3mD2.7kNm1.8kNmzyy2y10,9( )0,24( )BABmRkNYRkN作弯矩图v拉压性质不相同的材料maxmaxmaxtttzMyImaxmaxmaxccczMyI抗弯强度条件最大拉应力最大压应力第53页

12、/共91页3max152.7 100.07233.90.573 10CcczMyMPaI3252.7 100.03817.90.573 10CtCtzMyMPaIBA24kNC0.2m9kNRARB0.3m0.3mD2.7kNm1.8kNmzyy2y1C截面B截面强度校核3151.8 100.07222.50.573 10CtBtzMyMPaI第54页/共91页zMyIdxyzM+dMMQQ+dyzhbyzMdMdyI222*()hyhhzzyyzzbdxdbdydMdMybdyybdyIISdMbIdx *2*2,()24zzzS QbIb hSy切应力分布公式maxmax32Qbh最大切应

13、力在中性轴位置第55页/共91页*,zzzS QbIS阴影部分的静矩1、工字型、maxb2、圆形zyBAmax4,3QAA圆截面面积b4、薄壁圆环max2,QAA截面面积3、薄壁箱型与工字型相似第56页/共91页max对等直梁，上式可改写为： 与正应力强度条件应用相似，利用切应力强度条件，也可以对梁进行切应力强度校核、设计截面尺寸和确定许用荷载。四、梁的切应力v切应力强度条件 *maxmaxzzSQbI第57页/共91页例3-5 T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知y=100MPa，L=50MPa，=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1) C左侧截面E点的正应力、

14、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。CABm1kN1kN/m1m1m140401010yczE1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_kN75. 1kN25. 0)1 CAFF，求支座反力：求支座反力：解：解： mkN25. 0mkN5 . 0kN1kN75. 0,BCCSCSMMFF，右右左左2）作）作FS、M图如图所示图如图所示四、梁的切应力四、梁的切应力第58页/共91页MPa1 . 21010102 .18)105 .12400(1075. 0)(MPa6 .2010102 .18105 . 7105 . 0)315493*,12433 bISFIyM

15、zzCSEzECE左左拉拉 yzcCCyLzcCCLyzcBByLzcBBLMPa2 .89I)y05. 0(MMPa0 .48IyMMPa0 .24IyMMPa6 .44I)y05. 0(M)4 正应力强度校核：正应力强度校核：MPa9 . 21010102 .18102/)50(1010)5154923*maxmaxmax czzS，ybISF应力强度校核：应力强度校核：切该梁满足强度要求该梁满足强度要求四、梁的切应力四、梁的切应力第59页/共91页1、改变荷载的位置和作用方式BAPl/2Pl/4l/2BAPl/43Pl/163l/4BAPl/4Pl/8l/4BAl第60页/共91页211

16、6Wbh矩形截面方形截面圆形截面3332Wd3216Wa按面积相等，有12WhWa231.18WW面积分布离中性轴越远，Wz越大。故工字形截面为最好。2、改变支座的位置l/5l/5BAl/2l/23、增加支座0.0470.0080.008第61页/共91页第62页/共91页dytgdx1. 刚度计算2. 静不定梁的计算3. 动力荷载的计算v位移和转角Pyy称为挠度y=y(x)称为挠度方程称为转角 = (x)称为转角方程BAhmgdBAmgsddPmgs第63页/共91页1zMEI 2 3/21(1)yyyzMyEI 曲率与挠曲线的关系为于是yxMM0y”0yxMM0挠曲线近似微分方程为zMyE

17、I v挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程v积分法积分法( )( )zzzEI yEIM x dxCEI yM x dxdxCxD C、D为积分待定常数，由梁的位移支座条件确定曲率符号始终与弯矩符号相反第64页/共91页( )M xPx ( )zEI yM xPx 221216zzzEI yEIPxdxPxCEI yPxdxdxPxCxD 示例1：悬臂梁受集中力弯矩方程挠曲线方程231,0,21,0,3xlCPlxl yDPl 由位移边界条件23maxmax0,23zzPlPlxyEIEI最大转角和位移为第65页/共91页211( )22M xqlxqx211( )22zEI yM xqxql

18、x 2322431111()22641111()222412zzzEI yEIqxqlx dxqxqlxCEI yqxqlx dxdxqxqlxCxD 示例2：简支梁受均布荷载弯矩方程挠曲线方程40,0,01,0,24xyCxl yDql由位移边界条件34maxmax50,;,242384zzqllqlxxyEIEI最大转角和位移为第66页/共91页PlaRPlbRBA,)0( ,)(:axPxlbxMAC)(),()(:lxaaxPPxlbxMCB示例3：简支梁受集中荷载弯矩方程Pab支反力RARBRARAP代入方程)(xMyEI 第67页/共91页E2maxmax,2zzmlmlyEIEI

19、ymaxmaxmmaxmax3zmlEImv基本原理物理线性几何线性dydx故梁的变形有1212()()()f PPf Pf Pymaxmax32max43max2416538448zzzzqlPlEIEIqlPlyEIEIl/2第68页/共91页425768lzqlyEIBAl/2BAlymax425768lzqlyEIBAl/220ly yl/2v刚性位移34222227,482384ABABBzzqllqlyyEIEIAA13141,68AzAzqlEIqlyEIl/2A2l/2yAyA1yA2B2yB21212,AAAAAAyyy第69页/共91页3BzPalEIBAaPlCByC1y

20、C2BAPlBpaBCaPyC2323CzPayEI1222333CCCBCzzyyyayPlaPaEIEI第70页/共91页 示例4： 用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度 vB 、 vC 。vPaEIPa aEIB323 22 2()()BPaEIPa aEI22 22()342PaEI顺时针第71页/共91页vvaPaEICBB33 EIPa233第72页/共91页一、梁的刚度条件 maxmaxmax/)/(,lflfff或许用挠度和许用转角由各行业规范查得。 示例5：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， f = l500，E=200GPa，=10

21、0MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。ymaxl/2第73页/共91页解：由刚度条件500483maxlfEIPlf得PEIl485002所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以满足强度条件。PlWz460MPa 711.kN第74页/共91页 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。1、增大梁的抗弯刚度、增大梁的抗

22、弯刚度EI2、减小跨度或增加支承、减小跨度或增加支承3、改变加载方式和支座位置、改变加载方式和支座位置二、提高弯曲刚度的措施第75页/共91页第76页/共91页刚体平衡稳定性稳定的平衡不稳定的平衡随遇平衡P较小FP较大FPCRFPCR-临界压力压杆稳定性：压杆保持其直线平衡状态的能力第77页/共91页拱失稳梁弯曲失稳储油罐aa象腿现象第78页/共91页22CREIPlPCRyxPCRyM(x)( )CRM xP y20,CRCREIyP yPyk ykEI 其中sincosyAkxBkx弯矩方程挠曲线方程0,0,0,0,sin0,2,xyBxl yAklkln 通解临界力挠曲线sinxyAl第

23、79页/共91页22()CREIPl长度系数，与压杆的支座条件有关=1，两端铰支；=2，一端固定，一端自由；ll=0.5，两端固定；l/4l/4=0.7，一端固定，一端铰支；0.7l=1，一端固定，一端定向支座；l/2l/2第80页/共91页1、关于惯性矩xzyyzhbxz3112yIhbxy3112zIbh2、关于支座第81页/共91页22()CRCRPEIAlA,IiAli称为惯性半径，或回转半径称为长细比，或柔度压杆的长细比与杆长、支座条件、截面面积分布有关。22CRECR22CRpppEEppv欧拉公式的应用范围第82页/共91页示例1：计算临界力lxyxzybalyzbazl=4m,

24、a=0.12m,b=0.2m,E=210GPa,p=200MPa。222591()CREIPkNl311212122 4138.60.2yyyyabbiabli 96210 10102200 10ppE在xz平面内在xy平面内yz，压杆在xz平面内失稳yp，可用欧拉公式311212120.5 457.60.12zzzzbaaiabli第83页/共91页CRabCRppp，细长压杆00.0，中长压杆1、概念划分2、经验公式CRpC0C，细长压杆0.5CSEC，非细长压杆211CRab00ab第84页/共91页crstststNAnn称为稳定安全系数稳定条件稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例

25、如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为1.41.7，而稳定安全系数规定为1.52.2，甚至更大。 折减系数或稳定系数： 是的函数，即 = () ，其值在01之间。 st AN安全条件稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。第85页/共91页示例2：校核一桁架中优质钢压杆的稳定性。306,280,210,703,45,41.6,9spstMPaMPa EGPalmm dmm PkN n96210 1086280 10ppE4264444 70362.545ddidli仅考虑桁架平面内的失稳y.0，属中长压杆301crabMPa26.233

26、.4crstPMPaMPaAn稳定条件满足第86页/共91页示例3：AB:d1=40mm,BC:d2=25mm, E=200Gpa,=160Mpa,P=200Mpa,规定的稳定安全系数nst=4,求此结构的许可载荷。ABC300PPN2N11200)(2)(321拉，压PNPN22ANBC025. 04122PBCP39.3kN1、对BC(拉)第87页/共91页1002PpE2、对AB(压)pil12004. 0412 . 11kNlEIPcr3 .172)(22stcrnNPn143PPncr用欧拉公式综上：P24.9kNP24.9kNABC300P1200第88页/共91页1、合理选用截面2、改变支座固定端最好il不增加A,使I和i增大尽量使压杆在各纵向平面内具有相等的第89页/共91页3、增加支座PCRPCRl/2l/222224( /2)CREIEIPll4、合理选用材料P，S， 对大柔度杆无效22crE 对中小柔度杆第90页/共91页5、改结构 压杆变为拉杆，消