第14讲格林函数

1、数学物理方程Equations of mathematical physics 姚志远南京航空航天大学航空宇航学院Z 3格林函数1、格林函数及其性质上具有一阶连续偏导数的函数u，我们对于在区域中调和、在0(,)g M M有其中点000(,)x y z考虑定解问题其解记为000111()()d4M MM Muu MuSn rrn0222222+01( , )|4M Muuuuxyzu x yr (3.1)，是上的调和函数。(2.6)由格林第二公式，得到将上式与(2.6)式相减，得到其中，00()()d0uug M Mg M MSnn00()()duuuG M MG M MSnn(3.2)0001

2、()()4M MG M Mg M Mr上由于在称为方程(1.1)狄利克莱问题的格林函数。(3.3)，有0()0G M M 0()duuG M MSn(3.4)趋向无穷大，其阶数和性质1格林函数时，0(,)G M M除 外处处满足方程(1.1)，而当相同。0MM0MM0(,)G M M014M Mr性质2在边界上格林函数0(,)G M M恒等于零。性质3在区域中成立不等式：0010(,)4M MG M Mr性质4格林函数有0(,)G M M在及参变量 之间具有对称型，如果0MM00(,)(,)G M MG MM0,MM性质50(,)d1MG M MSn2.静电源像法设K是以O为球心，半径为R的球

3、面。假设是K内的一点，是相应的对称点，有因此格林函数02OMOMrrR0MM是K上的一点，有P100M PM POMRrrr101(,)4M Mg M Mr100011(,)()4M MM MOMRG M Mrrr(3.6) 注意到因此狄利克莱问题(1.1),(1.7)的解为0222224000011(,)()42cos2cosRG M MRR 2200033222224220000|1cos(cos )42cos2cosRRRGGnRRRR 2203222001()d42cosMRuf MSR (3.8) 同样，可得半空间上的格林函数相应的狄利克莱解为0222222000000111(,)(

4、)4()()()()()()G M Mxxyyzzxxyyzz000222000222000011(,)( , )(4()()()1)d d()()()zu x y zf x yzxxyyzzx yxxyyzz 同样，可得圆上的格林函数相应的狄利克莱解为2220002200001() ( )(,)d22cos()RfuRRR 100011(,)(lnln)2M MM MOMRG M Mrrr(3.13)3.解的验证格林函数当在圆周取值时，验证函数u满足边界条件(3.12)M是调和函数。又(3.13)为普通积分，所以解(3.13)为调和函数。在圆内关于0M0(,)G MM由性质5对于(3.13)

5、0(,)G MM22000022001() ()(,)d22cos( )RfuRRR 22022001()1d22cos( )RRRR由于连续，对于任意给定的存在使得()f所以有成立分积分区间为三部分：22000022001() ()( )(,)( )d22cos( )RffufRRR 0()( )2ff(,),(, ),( , ,) 在这三部分的积分值记为123,I I I于是00123(,)( )ufIII 考虑 在1I上0( ,)( )ffM (,)22220000200202cos( )2cos( )()2(1 cos )4cos ( )2RRRRRRR假设有221020()()8si

6、n ( )2MIRR 类似有223020()()8sin ( )2MIRR 注意：2202200()02cos( )RRR2202220022022001()d2 22cos( )1()d2 22cos( )2RIRRRRR有5.调和函数的基本性质定理3.1（哈那克（Harnack)第一定理） ku如果函数序列中的每个函数在某有限区域中都是调和函数，在必区域上连续，而且在上一致收敛，则它在中也一致收敛，并且极限函数u在区域中也是调和函数。证明：假设是调和函数在上的值。ku使得成立,m nN由极值原理有0, N mnff函数u在区域中也是一致收敛的。kfmnuu在区域中任取一点，以为中心作球在此

7、球上，有0M0M000222030022200000(,)()sin d d42cos cossin sincos()kkuRRuRR K令k 000222030022200000(,)()sin d d42cos cossin sincos()kuRRuRR 所以函数u是调和函数。有定理3.2（哈那克（Harnack)第一定理） ku假设函数序列是上的单调不减函数序列，若它在的某一点收敛，收敛，则它在中处处收敛一个调和函数u，并且这种收敛中任意闭子区域上是一致的。P证明：作以为球心、半径为的球。R假设QPRK是上的任意一点。RK对的任意调和函数u有若0uRK有2203222001( )()d

8、42cosMRu Qu MSR 22222200033322200002cosRRRRR 222200330011()d( )()d44MMRRu MSu Qu MSRRRR有1kkkvuu有222200330011()d( )()d44kMkkMRRv MSv Qv MSRRRR注：( )kuP收敛，那么( )ku Q有2222003300( )( )( )kkkRRvPv QvPRR一致收敛。则收敛于一个调和函数。再利用有限覆盖定理可证明在内处处收敛于调和函数u。( )kuP收敛，那么( )ku Q一致收敛。则收敛于一个调和函数。ku定理3.3C设u为区域 中的非负调和函数，则对任意闭子集，存在仅与有关的正常数，使得maxminuCu(3.23)定理3.4（可去奇点定理）设在点的邻域中除点外是调和函数，在A附近成立lim()0AMMAru M()( , , )u Mu x y z(3.24)AA则总可以重新定义函数u在的值使得在整个的邻域是调和的。A()u MA证明：设是一个以为心、半径为的球，它包含在所考察的邻域内。KAR定义记1wuu10()dKuuG M MSn，则而在球面上为零。有在点的邻域中除点外是调和函数。AwAlim()0AMMArw M作11()()AMw MrR具有如下性质1.在球面上()0w M2.在球壳rR ，在球面内()0w M内是调和函