第1章 电磁理论基本方程

1、高等电磁理论讲稿高等电磁理论讲稿樊振宏樊振宏2021-12-7考核方式平时成绩: 40%期终考试: 60%办公室: 雷达楼314Email: TEL:君眉，冯恩信编著傅君眉，冯恩信编著. 高等电磁理论高等电磁理论; 西安交通大学出版社西安交通大学出版社; 2000; ISBN： 7560512992教科书教科书 J.-M. Jin. Theory and Computation of Electromagnetic Fields. John Wiley and Sons. 2010. 杨儒贵,张世昌,金建铭,卢才成,等. 高等电磁理论. 高等教育出版社, 2008参

2、考书 C. A. Balanis. Advanced Engineering Electromagnetics. John Wiley & Sons, INC. 1989. J. A. Kong. Electromagnetic Wave Theory. John Wiley and Sons. 1990. R. F. Harrington. Time Harmonic Electromagnetic Fields. McGraw Hill., 1961 & 2001. R. E. Collin. Field Theory of Guides Waves. IEEE Press

3、, 1991. J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley and Sons. 1962. J. A. Stratton. Electromagnetic Theory. New York: Mcgraw-Hill, 1941外文参考书 课程内容课程内容l1.1.电磁理论基本方程电磁理论基本方程l2.2.基本原理和定理基本原理和定理l3.3.基本波函数基本波函数l4.4.波动方程的积分解波动方程的积分解l5.5.格林函数格林函数l6.6.导行电磁波导行电磁波l7.7.微波谐振器微波谐振器l8.8.运动系统电磁场简介运动系统电磁场简介

4、l9.9.瞬态电磁场瞬态电磁场CHAPTER 1 BASIC ELECTROMAGNETIC THEORYCHAPTER 2 ELECTROMAGNETIC RADIATION IN FREE SPACE CHAPTER 3 ELECTROMAGNETIC THEOREMS AND PRINCIPLES CHAPTER 4 TRANSMISSION LINES AND PLANE WAVES CHAPTER 5 FIELDS AND WAVES IN RECTANGULAR COORDINATES CHAPTER 6 FIELDS AND WAVES IN CYLINDRICAL COORDI

5、NATES CHAPTER 7 FIELDS AND WAVES IN SPHERICAL COORDINATES Theory and Computation of Electromagnetic Fields.Chapter 1 presents the basic electromagnetic theory, which includes (1) a brief review of vector analysis,(2) Maxwell s equations in both integral and differential forms, (3) boundary condition

6、s at the interface between different media and at the surface of a perfect conductor,(4) constitutive relations that characterize the electromagnetic properties of a medium (5) the concepts of electromagnetic energy and power, (6) Maxwell s equations for time - harmonic fields. In this chapter the s

7、ymbolic vector method is introduced to facilitate the vector analysis, and Maxwell s equations in integral form have been treated as fundamental postulates to derive Maxwell s equations in differential form and various boundary conditions. Chapter 1 BASIC ELECTROMAGNETIC THEORY/ knsttjutv/各章节介绍各章节介绍

8、l1.1.电磁理论基本方程电磁理论基本方程l2.2.基本原理和定理基本原理和定理l电磁理论基础，给出麦克斯韦方程、波动方程、电电磁理论基础，给出麦克斯韦方程、波动方程、电磁波基本原理和定理磁波基本原理和定理l3.3.基本波函数基本波函数l讨论标量和矢量波函数，平面波、柱面波和球面波讨论标量和矢量波函数，平面波、柱面波和球面波的基本波函数以及导电柱、劈、球等的散射和辐射的基本波函数以及导电柱、劈、球等的散射和辐射l4.4.波动方程的积分解波动方程的积分解l阐述标量和矢量阐述标量和矢量HelmholtzHelmholtz方程的积分解方程的积分解l5.5.格林函数格林函数l讨论标量和并矢格林函数及其

9、解法讨论标量和并矢格林函数及其解法l6.6.导行电磁波导行电磁波l研究电磁波在金属波导、微带、介质波导中的传播研究电磁波在金属波导、微带、介质波导中的传播及特点及特点l7.7.微波谐振器微波谐振器l讨论各种常见谐振腔中的场讨论各种常见谐振腔中的场l8.8.运动系统电磁场简介运动系统电磁场简介l介绍运动电磁场中的各种变换。介绍运动电磁场中的各种变换。l9.9.瞬态电磁场瞬态电磁场l研究非正弦电磁信号的辐射、散射和传输，讨研究非正弦电磁信号的辐射、散射和传输，讨论瞬态电磁场的基本性质和一些典型问题的应论瞬态电磁场的基本性质和一些典型问题的应用用第第1 1章章 电磁理论基本方程电磁理论基本方程l*

10、*1.1 1.1 麦克斯韦方程麦克斯韦方程l 1.2 1.2 物质的电磁特性物质的电磁特性l* *1.3 1.3 边界条件和辐射的条件边界条件和辐射的条件l 1.4 1.4 波动方程波动方程l* *1.5 1.5 辅助位函数及其方程辅助位函数及其方程l#1.6 #1.6 赫兹矢量赫兹矢量l 1.7 1.7 电磁能量和能流电磁能量和能流注：注： “ “* *”表示重点，表示重点，“#”#”表示难点表示难点 第一章第一章 电磁理论基本方程电磁理论基本方程 l电电磁磁现象是一个不可分割的统一体。宏观电磁场遵守现象是一个不可分割的统一体。宏观电磁场遵守经典的经典的MaxwellMaxwell方程。正像

11、牛顿定律是经典力学的公理方程。正像牛顿定律是经典力学的公理一样，一样， MaxwellMaxwell方程是经典电动力学的公理方程是经典电动力学的公理。l MaxwellMaxwell方程有着极其丰富的内容。它不仅概括了电方程有着极其丰富的内容。它不仅概括了电磁现象上已经发现的所有定律，而且还可以通过一系磁现象上已经发现的所有定律，而且还可以通过一系列的逻辑推论导出为实验所证实的新的结果。列的逻辑推论导出为实验所证实的新的结果。lMaxwellMaxwell方程是电磁理论的基本方程，也是方程是电磁理论的基本方程，也是分析、计算分析、计算电磁问题的出发点电磁问题的出发点。l在本章中将讲述在本章中将

12、讲述MaxwellMaxwell方程、媒质的电磁特性、边方程、媒质的电磁特性、边界条件及波动方程和矢量位等电磁理论基本概念。界条件及波动方程和矢量位等电磁理论基本概念。1.1 1.1 麦克斯韦方程麦克斯韦方程MaxwellMaxwell方程是英国科学家方程是英国科学家MaxwellMaxwell根据法拉第、安培根据法拉第、安培等前人关于电磁现象的实验定律创建的电磁学的基本等前人关于电磁现象的实验定律创建的电磁学的基本定律，它反映了定律，它反映了宏观电磁现象宏观电磁现象的普遍规律，是电磁理的普遍规律，是电磁理论的基本方程。论的基本方程。（1 1）基本的）基本的MaxwellMaxwell方程方程

13、 基本的麦克斯韦方程是与时间有关的电磁场量所基本的麦克斯韦方程是与时间有关的电磁场量所满足的方程，是麦克斯韦的瞬时形式，也称为满足的方程，是麦克斯韦的瞬时形式，也称为时域时域MaxwellMaxwell方程方程。时域麦克斯韦方程包括积分形式和微。时域麦克斯韦方程包括积分形式和微分形式。分形式。ddlStDHlJS （1 11 1） ddlSt BElS （1 12 2） ddSVVDS （1 13 3） d0SBS （1 14 4） 式（式（1 11 1）全电流安培环路定律全电流安培环路定律，它，它表示传导电流和位移电流（即变化的表示传导电流和位移电流（即变化的电场）都可以产生磁场电场）都可以

14、产生磁场 式（式（1 12 2）为）为法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律，它表示变化的磁场产生电场，它表示变化的磁场产生电场 。式（式（1 13 3）为）为电场高斯定理电场高斯定理，它表示电荷可以产生电场；，它表示电荷可以产生电场； 式（式（1 14 4）为）为磁场高斯定理磁场高斯定理，也称为磁通连续原理。，也称为磁通连续原理。 式中：式中：E E电场强度（电场强度（/V m） H H磁场强度（磁场强度（/A m） D D电位移矢量或电通密度（电位移矢量或电通密度（2/C m） B B磁感应强度或磁通密度（磁感应强度或磁通密度（2/Wb m） J J电流密度（电流密度（2/A m ） 电荷密

15、度（电荷密度（3/C m ） 这组方程描述了任一这组方程描述了任一空间区域空间区域（体积中或曲面上）的场源与该空间区域的（体积中或曲面上）的场源与该空间区域的边界边界（封闭曲面或闭合曲线）上场的关系。（封闭曲面或闭合曲线）上场的关系。 时域麦克斯韦方程的积分形式时域麦克斯韦方程的积分形式“定律”是law or rule，可以用法律来理解，是只能通过实验证明的一种客观规律；公理是axiom，与定律同属客观规律，但无法用实验证明而只能在一定范围内归纳；/ksim/ “定理”是theorem，可以理解为一种理论，是基于定律和公理推导出的结论，用来简化演绎过程；/rm/“定义”（概念）是definit

16、ion，就是人为的界定，没有为什么；/defnn/ 效应是effect，是受变量影响的结果；principle（原理，原则）既可以表示law or rule，又可以表示theory，应该不是一个正式的科学术语（社科常用，自然科学较少），可能会对翻译造成影响。小常识时域麦克斯韦方程的微分形式是：时域麦克斯韦方程的微分形式是： tDHJ （1 15 5） t BE （1 16 6） 0B （1 17 7） D （1 18 8） 式（式（1 15 5）表示）表示传导电流密度传导电流密度和和位移电流位移电流是磁场的旋度源；是磁场的旋度源；式（式（1 16 6）表示）表示变化的磁场变化的磁场是电场的旋度

17、源；是电场的旋度源；式（式（1 17 7）表示磁场是无散场；）表示磁场是无散场；式（式（1 18 8）表示电荷密度是电场的散度源。）表示电荷密度是电场的散度源。微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。由于微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。由于含有对场量的微分，它只适用于含有对场量的微分，它只适用于媒质物理性质不发生突变媒质物理性质不发生突变的区域的区域。这这4 4个微分方程之间具有一定的关系，并不是完全的独立的。如果加上电流连续个微分方程之间具有一定的关系，并不是完全的独立的。如果加上电流连续性方程性方程t JSVddVt JS（1-9

18、b）(1-9a)时域麦克斯韦方程的微分形式时域麦克斯韦方程的微分形式两个旋度方程式（两个旋度方程式（1 15 5）、（）、（1 16 6）和（）和（1 19a9a）为独立方程，）为独立方程，另外两个散度方程不是独立的，可以由独立的旋度方程导出。另外两个散度方程不是独立的，可以由独立的旋度方程导出。 对式（对式（1 16 6）取散度，得）取散度，得 t EB 由于由于0E，所以，所以 0tB 因为因为0tB，由此得到式（，由此得到式（1 17 7） 。） 。 对对（1 15 5）取取散散度度，得得 tHJD 由由于于0H，并并将将（1 19 9a a）式式代代入入上上式式，得得 0tD 因因为为

19、0,0ttD，且且在在全全空空间间 t t= =0 0 时时, ,0,0D由由此此得得到到式式（1 18 8） 。 注意注意: :独立方程和非独立的方程是相对的，也可以将（独立方程和非独立的方程是相对的，也可以将（1 15 5）、（）、（1 16 6）和（）和（1 18 8）考虑为独立方程，这样式（考虑为独立方程，这样式（1 17 7）和式（）和式（1 19a9a）就为非独立方程。）就为非独立方程。非独立的散度方程也不是多余的非独立的散度方程也不是多余的，因为根据亥姆霍兹定理（参见，因为根据亥姆霍兹定理（参见2.12.1节），矢量场同节），矢量场同时要由其旋度和散度才能唯一确定。时要由其旋度和

20、散度才能唯一确定。 tDHJ （1 15 5） t BE （1 16 6） 0B （1 17 7） D （1 18 8） （2）广义的麦克斯韦方程）广义的麦克斯韦方程电荷和电流称为电荷和电流称为电型源电型源，电荷产生电场，电荷运动产生电流，电流产生磁场。，电荷产生电场，电荷运动产生电流，电流产生磁场。 和电型源对比可以引入和电型源对比可以引入磁型源磁型源磁荷和磁流，磁荷产生磁场，磁荷运动产生磁流，磁荷和磁流，磁荷产生磁场，磁荷运动产生磁流，磁流产生电场。磁流产生电场。 磁荷密度磁荷密度m和磁流密度和磁流密度mJ 满足满足磁流连续性原理磁流连续性原理 mmt J （1 11010） 将电型源产生

21、的电磁场记为将电型源产生的电磁场记为,eeeeED HB 它们满足麦克斯韦方程：它们满足麦克斯韦方程： eetDHJ （1 11111） eet BE （1 11212） 0eB （1 11313） eD （1 11414） 将磁型源产生的电磁场记为将磁型源产生的电磁场记为,mmmmEDHB 它们满足方程它们满足方程 mmtDH （115） mmmt BEJ （116） mmB （117） 0mD （118） 比较式（比较式（1 11111）（）（1 11414）和（）和（1 115 15 ）（）（1 11818）可见，只要将式（）可见，只要将式（1 11111）（）（1 11414）中的源和

22、场量作如下变换）中的源和场量作如下变换 em HE em BD emEH emDB m mJJ 就可由（就可由（1 11111）（）（1 11414）得到式（）得到式（1 11515）（）（1 11818） ，反之亦然。） ，反之亦然。 式（式（1 11111）（）（1 11414）和（）和（1 115 15 ）（）（1 11818）之间的这种对偶关系称）之间的这种对偶关系称为对偶原理。为对偶原理。 对偶原理对偶原理 电型源电流和电荷是自然界的实际场源，而迄今为止电型源电流和电荷是自然界的实际场源，而迄今为止(?)(?)还未发现自然界有磁还未发现自然界有磁荷和磁流。电磁理论中引入的磁荷和磁流是

23、一种等效源。荷和磁流。电磁理论中引入的磁荷和磁流是一种等效源。磁偶极子天线磁偶极子天线小圆环天线小圆环天线mI ljIS如，如果定义磁偶极子对应的磁流元如，如果定义磁偶极子对应的磁流元mI l与面积为与面积为 S S 的小电流环的关系式是的小电流环的关系式是mI ljk ISjIS（为波阻抗，为波阻抗，k为波数） ，小电流环可以等效成磁偶极子为波数） ，小电流环可以等效成磁偶极子。其场与电偶极子或电流元的场具有对偶关系，因此可从电流元的场利用对偶原其场与电偶极子或电流元的场具有对偶关系，因此可从电流元的场利用对偶原理得到小电流环的场。理得到小电流环的场。 如果空间同时存在电型源和磁型源， 由于

24、如果空间同时存在电型源和磁型源， 由于源与场的关系是线性的源与场的关系是线性的， 空间的总电磁场等于电， 空间的总电磁场等于电型源产生的场与磁型源产生的场的叠加，即型源产生的场与磁型源产生的场的叠加，即: : emEEE emHHH 将电型源和磁型源的场方程式（将电型源和磁型源的场方程式（1 11111）（）（1 11414）和（）和（1 115 15 ）（）（1 11818）叠加，得）叠加，得 tDHJ （119） mt BEJ （120） mB （121） D （122） 这组方程称为广义的时域麦克斯韦方程。注意式（这组方程称为广义的时域麦克斯韦方程。注意式（1 11919）和式（）和式（

25、1 12020）等式的右）等式的右侧相差一负号。可以看出，引入磁型源后，广义的时域麦克斯韦方程具有很好的对侧相差一负号。可以看出，引入磁型源后，广义的时域麦克斯韦方程具有很好的对称性。称性。广义的时域麦克斯韦方程广义的时域麦克斯韦方程（3）时谐时谐麦克斯韦方程麦克斯韦方程电磁场量电磁场量,E D H B 是空间和时间的函数， 在随时间变化的电磁场中最有用而又最重要的是空间和时间的函数， 在随时间变化的电磁场中最有用而又最重要的是是随时间按正弦或余弦变化的场随时间按正弦或余弦变化的场 时谐电磁场。时谐电磁场。 例如，在直角坐标中，场量例如，在直角坐标中，场量 ( , )r tE写成写成 ( ,

26、)( , )( , )( , ) =2( ) cos()2( ) cos() 2( ) cos()xxyyzzxxxyyyzzztEtEtEtEtEtEtE rerererererer 对于时谐电磁场，用复数形式表示常常是有利的。上述场量对于时谐电磁场，用复数形式表示常常是有利的。上述场量( , )r tE的复数形式为的复数形式为 ( )=( )( )( ) = ( )( )( )yxzjjjxxyyzzxxyyzzEeEeEeEEEE rerererererer 显显然然，余余弦弦场场量量( , ) tE r与与其其复复数数形形式式( )E r 的的关关系系为为 Re,2j tteE rE

27、r 式式中中 Re 为为取取复复数数的的实实部部。上上式式表表明明， 2E r 为为场场量量,tE r的的复复振振幅幅。 将将时时谐谐电电磁磁场场代代入入广广义义麦麦克克斯斯韦韦方方程程（1 11 19 9）（1 12 22 2） ，得得 jHJD （1 12 23 3） mj EJB （1 12 24 4） mB （1 12 25 5） D （1 12 26 6） 这这组组方方程程称称为为时时谐谐麦麦克克斯斯韦韦方方程程或或麦麦克克斯斯韦韦方方程程的的复复数数形形式式。 时时谐谐场场中中，电电流流和和磁磁流流连连续续性性原原理理的的复复数数形形式式为为: : j J （1 12 27 7）

28、mmj J （1 12 28 8） 同理，余弦场量( , ) tH r与其复数形式( )H r 的关系为 ,Re2j tteH rH r 对时谐电磁场， 复数振幅矢量( )E r 和( )H r 仅为空间坐标的函数， 在不引起混淆的情况下，也简记为E 和H 。 时谐时谐Maxwell方程的意义方程的意义l在时谐麦克斯韦方程中，各物理量均为时谐量复数形式（即复振在时谐麦克斯韦方程中，各物理量均为时谐量复数形式（即复振幅的有效值）。显然，由于时谐麦克斯韦幅的有效值）。显然，由于时谐麦克斯韦少了时间变量少了时间变量，因此求解，因此求解时谐时谐麦克斯韦方程要比求解麦克斯韦方程要比求解时变时变麦克斯韦方

29、程容易得多。麦克斯韦方程容易得多。l在时谐麦克斯韦方程中，场和源具有相同的频率，因此时谐麦克在时谐麦克斯韦方程中，场和源具有相同的频率，因此时谐麦克斯韦方程是斯韦方程是频域的麦克斯韦方程频域的麦克斯韦方程。l如果空间为如果空间为线性媒质线性媒质，任何时变电磁场都可利用傅立叶变换分解，任何时变电磁场都可利用傅立叶变换分解为许多时谐电磁场的为许多时谐电磁场的叠加叠加。因此在分析。因此在分析时变时变电磁场时，可以先将电磁场时，可以先将时变电磁场的源通过时变电磁场的源通过FourierFourier变换分解为变换分解为时谐时谐电磁场源，然后利用电磁场源，然后利用时谐时谐MaxwellMaxwell方程

30、求解各频率的场源产生的时谐电磁场，最后对时方程求解各频率的场源产生的时谐电磁场，最后对时谐电磁场进行谐电磁场进行Fourier Fourier 反变换求出时变电磁场。反变换求出时变电磁场。1.2 物质的电磁特性物质的电磁特性如果将如果将 MaxwellMaxwell 方程的两个旋度方程及电流连续性方程作为独立方程，这方程的两个旋度方程及电流连续性方程作为独立方程，这 3 3 个方程共有个方程共有 5 5个矢量函数个矢量函数,E D H B J 和一个标量函数和一个标量函数，由于一个矢量函数可以分解为，由于一个矢量函数可以分解为 3 3 个标量函数，这个标量函数，这相当于共有相当于共有 1616

31、 个标量函数。所以，这个标量函数。所以，这 3 3 个独立的方程是麦克斯韦方程的非限定形式。个独立的方程是麦克斯韦方程的非限定形式。 要使方程的数目和未知量的个数相等， 还必须利用在电磁场中的媒质的特性的关系。 电磁要使方程的数目和未知量的个数相等， 还必须利用在电磁场中的媒质的特性的关系。 电磁场中描述媒质特性的关系称为组成关系或结构方程。引入结构方程，增加了场中描述媒质特性的关系称为组成关系或结构方程。引入结构方程，增加了 3 3 个矢量方程，个矢量方程，即即 9 9 个标量方程，使个标量方程，使方程的数目和未知量的数目相等方程的数目和未知量的数目相等，场方程就可以求解了。因此，加上结，场

32、方程就可以求解了。因此，加上结构方程，麦克斯韦方程就构成了限定的形式。构方程，麦克斯韦方程就构成了限定的形式。 在自由的空间，组成关系或结构方程最简单，有在自由的空间，组成关系或结构方程最简单，有 0DE （1 12929） 0BH （1 13030） 0J （1 13131） 式中式中0和和0分别称为自由空间的电容率（或介电常数）和导磁率。在国际单位制中分别称为自由空间的电容率（或介电常数）和导磁率。在国际单位制中 90110/36F m 70410/H m 对于均匀、各向同性、线性媒质，在电磁作用下，其物质内部电荷运动导致媒质的极化、磁化和传导 3 种状态，它们分别由极化强度P P 、磁化

33、强度M M和传导电流密度J J来表示。 极化强度极化强度表示物质内部分子的束缚电荷形成的电偶极子在电场力作用下趋于整齐排列的程度，是物质中单位体积内分子电偶极矩的统计平均值； 磁化强度磁化强度表示物质内部电子的轨道和自旋运动形成的磁偶极子在磁场力作用下趋于整齐排列的程度，是物质中单位体积内分子磁偶极矩的统计平均值。 由于极化和磁化的作用，D D和B B分别为： 0DEP （132） 0()BHM （133） 媒质的组成关系是以实验为基础的。对于线性媒质，P P 和E E 与M M和H H均成正比关系。分别为： 0e PE （134） mMH （135） 结构方程结构方程(本构关系本构关系) 式

34、中式中e和和m分别称为媒质的极化率和磁化率。 将以上两式分别代入 （分别称为媒质的极化率和磁化率。 将以上两式分别代入 （1 13232） 和 （） 和 （1 13333）得得 000(1)ee DEEE 0(1)mBH 令令 01, rer （1 13636） 01, rmr （1 13737） r和和r分别称为媒质的相对电容率（或相对介电常数）和相对导磁率；而分别称为媒质的相对电容率（或相对介电常数）和相对导磁率；而和和分别称为分别称为媒质的电容率（或介电常数）和导磁率。这样，对于各向同性线性媒质，媒质的电容率（或介电常数）和导磁率。这样，对于各向同性线性媒质，D D与与E E及及B B与

35、与H H的关的关系为系为 DE （1 13838） BH （1 13939） 大写希腊字母发音对照表希腊字母发音对照表a ab bg gd d z zA AB BG GD DE EZ Zalphabetagammadeltaepsilonzetan nx xo o s sN NX XO OP PR RS Snu xiomicronpirhosigma q qi ik kl l H HQ QI IK KL LMMetathetaiotakappalambdamut tu uf f y y T TU UF FC Cy yW Wtauupsilonphichipsiomega导导电电媒媒质质中中有有

36、可可自自由由运运动动的的电电荷荷，在在电电场场的的作作用用下下，自自由由电电荷荷运运动动形形成成电电流流。由由实实验验得得到到导导电电媒媒质质中中的的电电流流密密度度与与电电场场强强度度之之间间的的关关系系为为： sJE （1 14 40 0） s称称为为媒媒质质的的导导电电率率，单单位位为为S S/ /m m, , 上上式式称称为为欧欧姆姆定定律律的的微微分分形形式式。电电导导率率表表示示物物质质的的导导电电性性能能， 0s的的媒媒质质不不导导电电，称称为为理理想想介介质质，s 称称为为理理想想导导电电体体。 结构方程结构方程(本构关系本构关系) 续续媒质的介电常数媒质的介电常数和导磁率和导

37、磁率以及电导率以及电导率s代表了媒质的电磁特性， 是媒质代表了媒质的电磁特性， 是媒质的重要参数。不同的媒质其电参数不同，同一种媒质因密度、含杂质量等差别，的重要参数。不同的媒质其电参数不同，同一种媒质因密度、含杂质量等差别，以及频率不同，其电磁参数也可能不同。以及频率不同，其电磁参数也可能不同。对于均匀媒质，在不太宽的频率范围对于均匀媒质，在不太宽的频率范围内，这些电磁参数是常数。如果频率范围很宽，介电常数内，这些电磁参数是常数。如果频率范围很宽，介电常数和导磁率和导磁率就与频率就与频率有关。 例如水的相对介电常数在频率由零升到光频时， 其值从有关。 例如水的相对介电常数在频率由零升到光频时

38、， 其值从 8181 降到降到 1.81.8 左右。左右。这种媒质称为这种媒质称为色散媒质色散媒质。 当频率足够高时，由于存在极化损耗与磁化损耗，媒质的当频率足够高时，由于存在极化损耗与磁化损耗，媒质的介电常数和导磁率变为复数介电常数和导磁率变为复数，即，即j，j，虚部代表媒质存在损耗。，虚部代表媒质存在损耗。 对于色散媒质，极化和磁化的响应不是即时的，对于色散媒质，极化和磁化的响应不是即时的，D D及及B B不仅取决于不仅取决于E E及及H H的的当前当前值，还与值，还与E E及及H H对时间的各阶导数有关，即对时间的各阶导数有关，即 2312323tttEEEDE 2312323tttHH

39、HBH （1 14141） 对于时谐电磁场，以上两式变为对于时谐电磁场，以上两式变为 23123jj DEEEE （1 142a42a） 23123jj BHHHH （1 142b42b） 将以上两式写成（将以上两式写成（1 13838）和（）和（1 13939）的形式，）的形式，介电常数和导磁率成为复数介电常数和导磁率成为复数，其实部和虚，其实部和虚部均和频率有关。部均和频率有关。 复介电常数和复导磁率复介电常数和复导磁率1对于导电媒质，将电导率包含在对于导电媒质，将电导率包含在复介电常数复介电常数中，利用全电流安培定律中，利用全电流安培定律及及sJE代入得代入得 cjjjjss HEEEE

40、 式中式中 cjs （1 14343） 是将电导率包含在复介电常数中后的等效介电常数。 复介电常数和复导磁率也可写成极坐是将电导率包含在复介电常数中后的等效介电常数。 复介电常数和复导磁率也可写成极坐标形式标形式 jjed jjeq （1 14444） 式中式中d和和q分别称为电损耗角和磁损耗角。并有分别称为电损耗角和磁损耗角。并有 tand tanq （1 14545） tand和和tanq分别称为电损耗角的正切和磁损耗角的正切。电导率引起的损耗角正切为分别称为电损耗角的正切和磁损耗角的正切。电导率引起的损耗角正切为 tansd （1 14646） 复介电常数和复导磁率复介电常数和复导磁率2

41、当媒质的介电常数当媒质的介电常数和导磁率和导磁率或者或者e和和m不随不随E E 及及H H 改变时，称为线性媒质，否则称改变时，称为线性媒质，否则称为非线性媒质。对于非线性媒质为非线性媒质。对于非线性媒质 2(1)(2)(3)0eeePEE EEE （1 147a47a） 2(1)(2)(3)mmmMHH HHH （1 147b47b） 研究非线性媒质的电磁场属于非线性电磁学及发非线性光学的范围研究非线性媒质的电磁场属于非线性电磁学及发非线性光学的范围 媒质分为均匀媒质和不均匀媒质。均匀媒质的电磁参数和空间坐标无关，媒质分为均匀媒质和不均匀媒质。均匀媒质的电磁参数和空间坐标无关，不均匀媒质的电

42、磁参数是空间坐标的函数。不均匀媒质的电磁参数是空间坐标的函数。有有一一些些媒媒质质的的电电磁磁参参数数与与电电磁磁场场的的方方向向有有关关，这这种种媒媒质质称称为为各各向向异异性性媒媒质质。各各向向异异性性媒媒质质的的组组成成关关系系可可以以表表示示为为矩矩阵阵的的形形式式，即即 DE （1 14 48 8a a） BH （1 14 48 8b b） sJE （1 14 48 8c c） 式式中中 xxxyxzyxyyyzzxyzzz xxxyxzyxyyyzzxyzzz xxxyxzyxyyyzzxyzzzssssssssss（1 14 48 8d d） 晶晶体体就就是是一一种种各各向向异异

43、性性媒媒质质，恒恒定定磁磁场场中中的的等等离离子子体体也也具具有有电电各各向向异异性性。恒恒定定磁磁场场中中的的铁铁氧氧体体是是磁磁各各向向异异性性媒媒质质。而而用用s描描述述的的各各向向异异性性媒媒质质不不多多见见。 还还有有一一些些媒媒质质，电电磁磁特特性性方方程程可可以以表表示示为为 zDEH （1 14 49 9） zBEH （1 15 50 0） 这这些些关关系系表表明明，媒媒质质的的极极化化与与磁磁化化存存在在一一定定的的耦耦合合关关系系，这这种种媒媒质质称称为为双双各各向向异异性性媒媒质质。当当以以上上 4 4 个个电电磁磁张张量量参参数数均均退退化化为为标标量量时时，称称为为双

44、双各各向向同同性性媒媒质质。一一般般运运动动媒媒质质中中具具有有这这种种电电磁磁耦耦合合关关系系。 媒媒质质的的电电磁磁参参数数与与频频率率、坐坐标标变变量量、方方向向无无关关，均均为为标标量量常常数数的的媒媒质质称称为为简简单单媒媒质质。 理想介质理想介质 理想导体理想导体 色散媒质色散媒质 有损耗的媒质有损耗的媒质 导电媒质导电媒质 线性媒质线性媒质不均匀媒质不均匀媒质 均匀媒质均匀媒质 非线性媒质非线性媒质 各向异性媒质各向异性媒质 双各向异性媒质双各向异性媒质 双各向同性媒质双各向同性媒质 简单媒质简单媒质媒质分类媒质分类1.3 1.3 边界条件和辐射条件边界条件和辐射条件l边界条件边

45、界条件l边界条件就是在媒质的边界面上电磁场所满足的方程。边界条件就是在媒质的边界面上电磁场所满足的方程。l麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒质的物理性质处处连续的空间区域，麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒质的物理性质处处连续的空间区域，但实际遇到的媒质总是有界的，在边界上其物理性质要发生突变，导致边但实际遇到的媒质总是有界的，在边界上其物理性质要发生突变，导致边界面处矢量场也发生突变。所以，在边界面上麦克斯韦方程的微分形式已界面处矢量场也发生突变。所以，在边界面上麦克斯韦方程的微分形式已失去意义。失去意义。l边界面两边的矢量场的关系要由边界面两边的矢量场的关系要由麦克斯韦方程的积分形式麦克斯韦方

46、程的积分形式导出的边界条件导出的边界条件确定。确定。ddlStDHlJS （1 11 1） ddmlSt BElJS （1 12 2） ddSVVDS （1 13 3） ddmSVVBS （1 14 4） 两种不同媒质的边界两种不同媒质的边界条件条件l对于如图对于如图1-11-1所示的两种不同媒质的边界，由广义麦克斯韦方所示的两种不同媒质的边界，由广义麦克斯韦方程的积分形式可得到边界面两侧电磁场的关系为：程的积分形式可得到边界面两侧电磁场的关系为： ne 11, 22, 22,EH 11,E H 图图 1 11 1 边界条件边界条件 等式左边等式左边ne 的表示边界面的法向单位矢量，前两的表示

47、边界面的法向单位矢量，前两式表示边界面两侧电磁场的式表示边界面两侧电磁场的法向分量法向分量的关系，后的关系，后两式边界面两侧电磁场的两式边界面两侧电磁场的切向分量切向分量的关系；的关系； 等式右边为边界面上电型源或磁型源的面密度。等式右边为边界面上电型源或磁型源的面密度。实际的媒质边界不存在磁型源，磁型源的面密度实际的媒质边界不存在磁型源，磁型源的面密度只有只有数学上数学上的意义。的意义。 对于两种媒质均为理想介质的情况，边界条件简化为：对于两种媒质均为理想介质的情况，边界条件简化为： 120(1 55)neDD 120(1 56)neBB 120(1 57)neEE 120(1 58)neH

48、H 以上以上 4 4 式的右边都为零，表示各场分量在边界面上是连续的。对于时变电磁场，式的右边都为零，表示各场分量在边界面上是连续的。对于时变电磁场，4 4 个边界条件个边界条件并不是完全独立的，一般将两个切向分量的边界条件作为独立的边界条件。并不是完全独立的，一般将两个切向分量的边界条件作为独立的边界条件。 对于有一种媒质为理想导电体的情况，边界条件简化为：对于有一种媒质为理想导电体的情况，边界条件简化为： (1 59)nse D 0(1 60)ne B 0(1 61)neE (1 62)nseHJ 媒质的边界媒质的边界条件特殊情况（条件特殊情况（1 1）对于有一种媒质为理想导磁体的情况，边

49、界条件简化为：对于有一种媒质为理想导磁体的情况，边界条件简化为： 0(1 63)ne D (1 64)mnse B (1 65)mns eEJ 0(1 66)neH 对于一般非理想导电体的情况，导电面上电型源或磁型源的面密度为零，边界条件简化为：对于一般非理想导电体的情况，导电面上电型源或磁型源的面密度为零，边界条件简化为： 120(1 67)neDD 120(1 68)neBB 120(1 69)neEE 120(1 70)neHH 媒质的边界媒质的边界条件特殊情况（条件特殊情况（1 1）电磁场中边值问题的求解场区有两类：电磁场中边值问题的求解场区有两类： 一类是一类是闭区域闭区域的边值问题

50、，这类问题的基本方程是麦克斯韦方程、结构方程和边界条件；的边值问题，这类问题的基本方程是麦克斯韦方程、结构方程和边界条件；一类是一类是开区域开区域的边值问题，这类问题除涉及上述基本方程外，还要涉及场的辐射条件。的边值问题，这类问题除涉及上述基本方程外，还要涉及场的辐射条件。 若所有的场源均在有限空间之中，则在无限远的场必须满足辐射条件若所有的场源均在有限空间之中，则在无限远的场必须满足辐射条件: : 若此空间是有损耗的，则无限处的场的任一横向分量若此空间是有损耗的，则无限处的场的任一横向分量 满足满足 0(1 71)r 若此空间是无损耗若此空间是无损耗的，则无限远处的场满足的，则无限远处的场满

51、足 SommerfeldSommerfeld 辐射条件：即场的任一横向分量辐射条件：即场的任一横向分量 满足满足 lim0(1 72)rrjkr 式中：式中：r 是从源点到场点的距离；是从源点到场点的距离；k是媒质的传播常数。是媒质的传播常数。 SommerfeldSommerfeld 辐射条件的物理意义是远离场源的场有一向外延迟的相位，且其幅度下降至少比辐射条件的物理意义是远离场源的场有一向外延迟的相位，且其幅度下降至少比1r要快。要快。 （2 2）辐射条件）辐射条件1 14 4 波动方程波动方程麦克斯韦方程是一组联立的一阶矢量偏微分方程，由这组矢量偏微分方程可导出电磁波的波麦克斯韦方程是一

52、组联立的一阶矢量偏微分方程，由这组矢量偏微分方程可导出电磁波的波动方程。波动方程是定量描述电磁波运动的数学方程，它揭示了电磁波的传播规律。由麦克动方程。波动方程是定量描述电磁波运动的数学方程，它揭示了电磁波的传播规律。由麦克斯韦方程斯韦方程可可导出电磁波的波动方程。导出电磁波的波动方程。 在均匀线性各向同性媒质中，对广义麦克斯韦方程组中的两个旋度方程在均匀线性各向同性媒质中，对广义麦克斯韦方程组中的两个旋度方程 tDHJ mt BEJ 两边取旋度，并利用物质结构方程式（两边取旋度，并利用物质结构方程式（1 1- -3838）和式（）和式（1 1- -3939） ，得） ，得 22(1 73 )

53、matt HJHJ 22(1 73 )mbtt EJEJ 利用矢量恒等式利用矢量恒等式2 AAA ，以及麦克斯韦方程组中的两个散度方程，方程式，以及麦克斯韦方程组中的两个散度方程，方程式变为变为非齐次非齐次矢量矢量波动方程波动方程 2221(1 74 )mmattHJHJ 2221(1 74 )mbttEJEJ DEBH （138） （139）非齐次矢量波动方程的右边非齐次项比较复杂，因此直接求解这非齐次矢量波动方程的右边非齐次项比较复杂，因此直接求解这 对方程很困难。但在无源区，这对方程变为齐次矢量波动方程对方程很困难。但在无源区，这对方程变为齐次矢量波动方程 2222220(1 75 )0

54、(1 75 )atbtHHEE 或 22220(1 76 )0(1 76 )atbtHHEE 非齐次矢量波动方程非齐次矢量波动方程用于求解用于求解有源有源区域内的场，可用于计算天线、波区域内的场，可用于计算天线、波导、谐振腔等导、谐振腔等有激励的系统有激励的系统中电磁波的传播特性或辐射特性；中电磁波的传播特性或辐射特性； 齐次矢量波动方程齐次矢量波动方程用于求解用于求解无源无源区域内的场，可用于计算波导、自由区域内的场，可用于计算波导、自由空间中电磁波的传输特性或传播特性。空间中电磁波的传输特性或传播特性。 由于波动方程只表征了单一场量（由于波动方程只表征了单一场量（E和和H）的时空变化关系，

55、未描述）的时空变化关系，未描述不同场量不同场量E和和H之间的关系，因此，之间的关系，因此，虽然满足麦克斯韦方程的场量必然虽然满足麦克斯韦方程的场量必然满足波动方程，但相反情况不一定成立满足波动方程，但相反情况不一定成立，所以，由波动方程求出场量后，所以，由波动方程求出场量后，还需验证是否满足麦克斯韦方程。还需验证是否满足麦克斯韦方程。 一般方法是由波动方程求出电场强度或磁场强度后，再由一般方法是由波动方程求出电场强度或磁场强度后，再由Maxwell方方程求另一场量，这样的解必然同时满足两种方程。程求另一场量，这样的解必然同时满足两种方程。对于均匀线性各向同性媒质中的对于均匀线性各向同性媒质中的

56、时谐场时谐场，非齐次波动方程变为，非齐次波动方程变为 22221(1 77 )1(1 77 )mmmkjakjbHHJJEEJJ或或22(1 78 )(1 78 )mmkjakjb HHJJEEJJ 齐次波动方程变为齐次波动方程变为 22220(1 79 )0(1 79 )kakbHHEE 或或 220(1 80 )0(1 80 )kakbHHEE k 称为波数。方程式（称为波数。方程式（1 1- -7777）和（）和（1 1- -7979）分别称为非齐次和齐次矢量亥姆）分别称为非齐次和齐次矢量亥姆霍兹方程。霍兹方程。 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设f表示矢量场的任一直角坐标分量，则方程

57、（表示矢量场的任一直角坐标分量，则方程（1 1- -7979）可）可分解为齐次标量亥姆霍兹方程分解为齐次标量亥姆霍兹方程 220(1 81)kff 有限元方法对方程式（对方程式（1 1- -8080）两边取散度，可直接得到矢量场的散度为零，也就是）两边取散度，可直接得到矢量场的散度为零，也就是说，方程式（说，方程式（1 1- -8080）中隐含）中隐含 0H 0E 这是无源区的矢量场解必须满足的。这是无源区的矢量场解必须满足的。 但对方程式（但对方程式（1 1- -7979）两边取散度，不一定满足上式，也就是说，齐次矢量）两边取散度，不一定满足上式，也就是说，齐次矢量亥姆霍兹方程的解不能保证满

58、足上式。 因此， 齐次矢量亥姆霍兹方程的解是否亥姆霍兹方程的解不能保证满足上式。 因此， 齐次矢量亥姆霍兹方程的解是否正确，要代入上式加以验证。正确，要代入上式加以验证。 220(1 80 )0(1 80 )kakbHHHE22220(1 79 )0(1 79 )kakbHHEE该齐次标量亥姆霍兹方程的求解将在第该齐次标量亥姆霍兹方程的求解将在第3章介绍。求出齐次标量亥姆霍兹章介绍。求出齐次标量亥姆霍兹方程的解后，就可构成齐次矢量亥姆霍兹方程的解。方程的解后，就可构成齐次矢量亥姆霍兹方程的解。需要指出，方程式（需要指出，方程式（1-79）与式（）与式（1-80）并不完全等效。）并不完全等效。1

59、 15 5 辅助位函数及其方程辅助位函数及其方程l由于在有源区非齐次矢量波动方程或非齐次矢由于在有源区非齐次矢量波动方程或非齐次矢量亥姆霍兹方程中的场源分布形式十分复杂，量亥姆霍兹方程中的场源分布形式十分复杂，直接求解比较困难。为了求解有源区的场，可直接求解比较困难。为了求解有源区的场，可仿照静态场引入矢量和标量位函数求解。仿照静态场引入矢量和标量位函数求解。l本节介绍利用辅助位函数求解电磁场的方法。本节介绍利用辅助位函数求解电磁场的方法。（1 1）矢量磁位和标量电位）矢量磁位和标量电位在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源，由于在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源，由于0B，引入矢量磁

60、位，引入矢量磁位A满足满足 BA (1 82) 将上式代入法拉第电磁感应定律，得将上式代入法拉第电磁感应定律，得 0tAE 由于标量函数梯度的旋度为零，引入标量位由于标量函数梯度的旋度为零，引入标量位F，满足，满足 t FAE 由上式得由上式得 t FAE (1 83) 由此可见，只要求出辅助位由此可见，只要求出辅助位A及及F，就可由式，就可由式(1(1- -82)82)及式及式(1(1- -83)83)求出电求出电场与场与磁场。磁场。 将式（将式（1-82）、式（）、式（1-83）代入麦克斯韦方程，并经整理后得）代入麦克斯韦方程，并经整理后得222222(1 85 )(1 85 )attbtttF FF F