第3章结构构件的承载力计算3

1、广西水利电力职业技术学院教案章节名称：§3.3 拉压变形时的承载力 目的要求：拉（压）杆横截面上的应力分布及计算公式，拉（压）杆的强度条件及其应用，拉（压）杆的变形计算，胡克定律及其应用。教学重点：拉（压）杆横截面上正应力公式的推导过程；材料拉伸、压缩时的力学性能。教学难点及突破难点的办法轴向拉伸与压缩杆强度条件的应用；用切线代圆弧法求解桁架结点位移； 拉压静不定问题的求解突破难点的办法: 以课堂讲授为主，课堂讨论为辅的启发式教学方法；以课堂提问等形式开展平时成绩激励策略，提高学生课堂积极性，注重平时学习过程的良好养成教育。课外作业：教学过程时间分配§3.3 拉压变形时的承

2、载力3.3.1 轴向拉伸和压缩的概念和实例3.3.2 内力的概念和截面法1. 内力的概念2. 截面法3.3.3 轴向拉（压）杆的内力轴力3.3.4 轴向拉压杆横截面上的正应力1 应力的概念2 轴向拉（压）时正应力的计算公式3.3.5 许用应力和拉伸与压缩时的强度条件1. 许用应力2. 拉（压）强度条件3.3.6 轴向拉伸与压缩时的变形和胡克定律1. 纵向变形2. 应变3. 胡克定律4. 材料的弹性模量5. 横向变形3.3.7材料拉（压）时的力学性能1 材料拉伸时的力学性能2 压缩时材料的力学性能510203050§3.3 拉压变形时的承载力直杆，可以是相同的剖面形状，称为等截面直杆，

3、也可以是不同的截面形状，称为变截面直杆。外力，可以是拉力,也可以是压力；可以是两个力,也可以是多个力；可以是集中力,也可以是分布力。例，悬臂吊车的CD拉杆，螺纹夹具的螺杆，螺栓联接件的螺栓，但 不是直杆。3.3.1 轴向拉伸和压缩的概念和实例 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。轴向拉伸与轴向受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力, 力的作用线与杆轴线重合变形特征：沿轴线方向伸长或缩短, 横截面沿轴线平行移动, 伴随横向收缩或膨胀。3.3.2 内力的概念和截面法1. 内力的概念 材料

4、力学中所研究的内力物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶（主矢和主矩）简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。物体在受到外力作用而变形时, 其内部各质点间的相对位置将有变化。与此同时, 各质点间相互作用的力也发生了改变。上述相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量, 就是材料力学中所研究的内力。内力由于已假设物体是均匀连续的可变形固体, 因此在物体内部相邻部分之间相互作用的内力, 实际上是一个连续分布的内力系, 而将分布内力系的合成(力或力偶), 简称为

5、内力。也就是说, 内力是指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。2. 截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。v 截面法的基本步骤： 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。3.3.3 轴向拉（压）杆的内力轴力、由外力作用产生的构件各部分之间的相互作用力称为内力。这个内力是一个构件内两部分间的相互作用力

6、，是假想截开剖面上的分布力，不是集中力这个分布力与外力平衡，本章外力与轴线重合，与之平衡的内力也与轴线重合，这样的内力称为轴力。上图，杆件在F1、F2力作用下，截面上的轴力FN方向离开截面，又称为拉力下图，杆件在F3、F4力作用下，截面上的轴力FN方向指向截面，又称为压力轴力又分为拉力与压力，拉力使杆件发生拉伸变形，压力使杆件发生压缩变形。工程力学规定：轴力的拉力一定是正值，轴力的压力一定是负值对于二力平衡的杆件,不用画截开段,不用列平衡方程,根据外力大小,方向,即知道轴力大小与正负符号对右图所示多个外力作用下的杆件,任一截面轴力等于该截面一侧所有外力代数和,同向相加,反向相减因为内力是由外力

7、引起的,外力离开该截面,使之拉伸变形,产生正轴力静力平衡条件 意义：任一截面轴力等于该截面任一侧所有外力代数和正负号规定：外力Fi方向离开计算截面的为正值，指向计算截面的为负值 1=2=30 N 外力 平衡 内力 分布力 截面 截面法 N=i 3=4=50 N 轴力正负号规定： 外力i方向离开计算截面的外力为正值 外力i方向指向计算截面的外力为负值在计算中，可以计算截面为界，用一张纸遮住该截面任一侧，由露出一侧的所有外力代数和计算轴力。v <补充例题>如何画轴力图 为了形象表示杆件各截面的内力大小和方向，要画“轴力图” 在受力图下方画一直线与杆轴线平行,并由受力图各力作用点(不是计

8、算轴力的截面)画铅垂线交直线分段按比例画各段轴力的大小，正轴力画在直线的上方，负轴力画在轴线的下方。这样，可以一目了然地看出杆件沿轴线各截面，哪一段受拉？哪一段受压？哪一段轴力最大？等等画内力图要求：1. 内力大小，按比例，标数值2. 内力方向，拉上压下，标“ ”号3. 外力作用点，轴力图突变与外力作用点要上下对齐，轴力图要画在受力图正下方已知：F1=90 N，F2=70 N,，F3=30 N 求：FN1，FN2，FN3 FN1=F1F2+F3 =9070+30 =+50 N FN2=F2+F3 =70+30 =40 N FN2=+F3=+30 N无论力矢量的箭头画得长短，力作用点均在图示表示

9、截面的直线上固定端约束力问题：由于用遮纸代数和方法，可以遮住固定端，留外伸段，可以不计算固定端约束力已知：F1=90 N，F2=70 N,，F3=30 N，求：FN1，FN2，FN3解： FN1=F1F2+F3 =9070+30 =+50 N FN2=F2+F3 =70+30 =40 NFN2=+F3=+30 N上例题中，在每一段内的不同截面的轴力相同，例AC段内有无数个截面，各个截面的轴力都相同但两段之间的轴力不同，例AC、CD、DB三段各截面轴力不同，也就是沿轴线方向各段的轴力不同为了形象表示杆件各截面的内力大小和方向，要画“轴力图”在受力图下方画一直线与杆轴线平行,并由受力图各力作用点(

10、不是计算轴力的截面)画铅垂线交直线分段按比例画各段轴力的大小，正轴力画在直线的上方，负轴力画在轴线的下方，如图3-6b这样，可以一目了然地看出杆件沿轴线各截面，哪一段受拉？哪一段受压？哪一段轴力最大？等等v 画内力图要求：内力大小，按比例，标数值内力方向，拉上压下，标“ ”号外力作用点，轴力图突变与外力作用点要上下对齐，轴力图要画在受力图正下方3.3.4 轴向拉压杆横截面上的正应力内力是构件横截面上分布内力系的合力，只求出内力，还不能解决构件的强度问题。例如，两根材料相同、粗细不同的直杆，在相同的拉力作用下，随着拉力的增加，细杆首先被拉断，这说明杆件的强度不仅与内力有关，而且与截面的尺寸有关。

11、为了研究构件的强度问题，必须研究内力在截面上的分布的规律。为此引入应力的概念。内力在截面上的某点处分布集度，称为该点的应力。v 平面假设变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线取一根等截面直杆，未受力之前，在杆的中部表面上画许多与杆轴线平 行的纵线和与杆轴线垂直的横线；然后 在杆的两端施加一对轴向拉力 F，使杆 产生伸长变形，如图 2-1(a)所示。由变 形后的情况可见，纵线仍为平行于轴线 的直线，各横线仍为直线并垂直于轴 线，但产生了平行移动。横线可以看成 是横截面的周线，因此，根据横线的变 形情况去推测杆内部的变形，可以作出如下假 设： 变形前 为平 面的横 截面 ，变形后

12、仍为平面。这个假设称为平截面假设或平面假设 (plane assumption)。 由平面假可知，两个横截面间所有纵向“纤维”的伸长是相同的，而这些“纤维”的原长相同，于是可推知它们的线应变相同，这就是变形的几何关系。 从平面假设可以判断：（1） 所有纵向纤维伸长相等（2） 因材料均匀，故各纤维受力相等（3） 内力均匀分布，各点正应力相等，为常量1 应力的概念设在某一受力构件的截面上，围绕点取为面积，上的内力的合力为，这样，在上内力的平均集度定义为： 一般情况下，截面上的内力并不是均匀分布的，因此平均应力随所取的大小而不同，当时，上式的极限值，即为点的分布内力集度，称为点处的总应力。是一矢量，

13、通常把应力分解成垂直于截面的分量和相切与截面的分量。由图中的关系可知。称为正应力，称为剪应力。在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，以Pa（帕）表示，1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这一单位甚小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）。 1kPa=103Pa,1Mpa=106Pa,1Gpa=109Pa。2 轴向拉（压）时正应力的计算公式1横截面上的正应力为观察杆的拉伸变形现象，在杆表面上作出 纵、横线。当杆端加上一对轴向拉力后，杆上所有纵向线伸长相等，横线与纵线保持垂直且仍为直线。由此作出变形的平面假设：杆件的横截面，变形后仍为垂直于杆轴的平面。于是杆件任意两个横截面间的所有纤维，

14、变形后的伸长相等。又因材料为连续均匀的，所以杆件横截面上内力均布，且其方向垂直于横截面 ，即横截面上只有正应力。于是横截面上的正应力为 =N/A （3.9） 式中N为横截面上的轴力，A为横截面面积；的符号规定与轴力的符号一致，即拉应力为正，压应力为负。<例3.5>在例3.4所示的钢杆中，已知圆钢杆的直径分布为、，试求各段横截面上由载荷引起的正应力，<解>1) 求内力，例3.4中已求1-1、2-2、3-3各截面上的轴力为2) 求应力。由公式（3.9），即可分别计算出1-1、2-2、3-3各截面上的应力3.3.5 许用应力和拉伸与压缩时的强度条件1. 许用应力机械设计或工程

15、结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。许用应力是机械设计和工程结构设计中的基本数据。在实际应用中，许用应力值一般由国家工程主管部门根据安全和经济的原则，按材料的强度、载荷、环境情况、加工质量、计算精确度和零件或构件的重要性等加以规定。v 对于任一种材料制成的构件，工作时允许承受的最大应力称为材料的许用应力，用s表示 。2. 拉（压）强度条件为了使构件不发生拉(压)破坏，保证构件安全工作的条件是：最大工作应

16、力不超过材料的许用应力。这一条件称为强度条件。max=Nmax/Av 根据强度条件，可以解决三类强度计算问题:1、 强度校核：已知外载荷、杆件的各部分尺寸以及材料的许用应力，检验危险截面的应力是否满足强度条件。 计算步骤一般是：确定危险截面，计算其工作应力，检验是否满足强度条件，max=Nmax/A2、 截面尺寸设计已知外载荷及材料的许用应力值，根据强度条件设计杆件横截面尺寸。 即满足 A3、 确定许用载荷已知杆件的横截面尺寸以及材料的许用应力值，确定杆件或整个结构所能承受的最大载荷。既确定杆件最大许用轴力 然后确定许可载荷。 <例3.6> <例3.7> 3.3.6 轴

17、向拉伸与压缩时的变形和胡克定律在轴向拉力（或压力）作用下，杆件产生轴向伸长（或缩短）的变形，称为纵向变形。此外，由实验可知，当杆件产生纵向伸长时，杆件的横向尺寸还会产生缩小；当杆件产生纵向缩短时，杆件的横向尺寸会增大。横向尺寸的变化称为横向变形。下面讨论纵向变形和纵向应变。1. 纵向变形v 绝对变形 杆件长度的伸长（缩短）量称为绝对变形。以所示杆为例，设杆件原长为l ，受轴向外力P作用后，长度改变为l 1，则杆的长度改变量为l反映了杆的总的纵向变形量，称为杆的纵向变形。拉伸时l>0，压缩时l <0。2. 应变v 相对变形 单位长度的变形称为相对变形，也称为线应变。 杆件的绝对变形是

18、与杆的原长有关的，因此，为了消除杆件原长度的影响，采用单位长度的变形量来度量杆件的变形程度，称为纵向线应变，用e表示。 对于均匀伸长的拉杆，有纵向线应变e是无量纲量，其正负号与l的相同，即在轴向拉伸时e为正值，称为拉应变；在压缩时e为负值，称为压应变。3. 胡克定律杆件的变形与其所受外力之间的关系，与材料的力学性能有关，只能由实验获得。实验表明，当轴向拉伸（压缩）杆件横截面上的正应力s不大于某一极限值时，杆件的纵向变形量l 与轴力N及杆长l 成正比，而与横截面面积A成反比，即引入比例常数E，则有只要应力不超过某一极限值时，杆的轴向变形与轴向载荷成正比、与杆的长度成反比、与杆的横截面面积成反比。

19、这一关系称为胡克定律。 4. 材料的弹性模量 带入，得胡克定律的又一表达形式： 其中E称为材料的弹性模量，它说明材料抵抗拉伸（压缩）变形的能力，其值随材料而异，由实验测定。弹性模量E的单位与应力单位相同，通常采用a、ka、MPa、GPa。 将 受力和长度相同的杆件，绝对变形l 和EA的乘积成反比，该乘积愈大，变形就愈小。它反映了杆件抵抗拉伸(压缩)变形的能力，故EA称为杆的抗拉(压)刚度。 上式可简述为：在弹性范围内，杆件上任一点的正应力与线应变成正比。5. 横向变形（一）绝对变形 杆件横向尺寸的缩小（增大）量称为横向绝对变形，若以 d 表示，则 d =d1 d （二）相对变形 横向单位长度的

20、变形称为横向相对变形或横向线应应变，若以 表示，则v 泊松比 当应力不超过某一限度时，同一种材料的横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为一常数，即 称为横向变形系数或泊松比，它是一个无量纲量，其值因材料而异，可由试验测定。 由于 取绝对值，而 与 的正负号总是相反， 3.3.7材料拉（压）时的力学性能 不同材料在受力时表现出的力学性能各不相同。材料的力学性能由试验测定。低碳钢(含碳量不大于0.25的碳素钢)和铸铁是在力学性能上具有代表性的材料，本节主要介绍这两种材料在常温、静载条件下轴向拉伸和压缩时的力学性能。 材料的力学性能：（与材料自身性质，加载方式，温度条件有关）是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。 1 材料拉伸时的力学性能 按照国家标准金属拉伸试验试样(GB639786)制成标准试件(图6-7)。试件的几何形状和受力条件都符合轴向拉伸的要求。两端加粗是便于夹装和避免在装