计算动力学总复习

1、计算动力学总复习计算动力学总复习YOUR SITE HERELOGO1. 预备知识预备知识2. 动力特性求解动力特性求解3. 动力响应求解动力响应求解4. 随机振动随机振动复习要点复习要点YOUR SITE HERELOGO1. 质量、刚度阵合成质量、刚度阵合成2. 载荷向量的书写载荷向量的书写3. 矩阵求逆矩阵求逆预备知识预备知识4. 圆频率的排序圆频率的排序5.振型图振型图YOUR SITE HERELOGO1. 手算方法手算方法2. 电算方法电算方法动力特性求解动力特性求解YOUR SITE HERELOGO1. 行列式方程法行列式方程法2. 逆幂法、逐阶滤频法逆幂法、逐阶滤频法3. 综

2、合法综合法4. 瑞利法瑞利法动力特性求解动力特性求解手算方法手算方法5.瑞利瑞利里兹法里兹法YOUR SITE HERELOGO1. (迁移迁移)子空间迭代法子空间迭代法(略略)2. 瑞利商迭代瑞利商迭代(略略)3. 模态综合法模态综合法4. 界面位移凝聚法界面位移凝聚法动力特性求解动力特性求解电算方法电算方法固定交界面法固定交界面法自由交界面法自由交界面法Guyan法法 Kuhar法法(略略)YOUR SITE HERELOGO1. 解析求解解析求解2. 振型分解法振型分解法3. 逐步积分法（略）逐步积分法（略）动力响应求解动力响应求解中心差分法中心差分法Newmark法法精细积分法精细积分

3、法YOUR SITE HERELOGO1. 常用统计参数常用统计参数(略略)2. 相关分析相关分析3.谱密度分析谱密度分析 4. 随机响应计算随机响应计算(略略)随机振动随机振动CQC法法 SRSS法法5. 虚拟激励法虚拟激励法YOUR SITE HERELOGO质量、刚度阵合成质量、刚度阵合成12341222233334444mmmmkkkkkkkkkkkkkMK43214443433232212mmmmkkkkkkkkkkkkkMKYOUR SITE HERELOGO1222233334444kkkkkkkkkkkkkK质量、刚度阵合成质量、刚度阵合成1234mmmmM1222233334

4、444cccccccccccccCYOUR SITE HERELOGO载荷向量的书写载荷向量的书写 1111gxt fM EE 000f tf 000f tf 000f tfYOUR SITE HERELOGO 高斯消元法高斯消元法 111111100010001rnrrrrnnnrnnaaaaaaaaaA I矩阵求逆矩阵求逆 按列选主元 高斯消元法1111111100010001rnrrrrnnnrnnbbbbbbbbbI AYOUR SITE HERELOGO123212134A矩阵求逆矩阵求逆1 0 0012 32 1213 41 00 0 1A I2131212303401110021

5、0101rrrr23100123011031014210rr323100101513123011001rr132333( 1)1200100011439614513rrrrr 122211000100011614513rrYOUR SITE HERELOGO刚度阵求逆刚度阵求逆1222233334444k kkkk kkKkk kkkk111111212121121231231121231234111111111111111111111111111111kkkkkkkkkkkFkkkkkkkkkkkkkkkkkkkYOUR SITE HERELOGO圆频率的排序圆频率的排序广义特征值问题广义特

6、征值问题将将 从小到大排序从小到大排序一阶频率一阶频率(基频基频) 一阶振型一阶振型二阶频率二阶频率 二阶振型二阶振型三阶频率三阶频率 三阶振型三阶振型2KxMx123123123YOUR SITE HERELOGO振型图振型图111.87942.53212.879421101 310.34730.87940.6527YOUR SITE HERELOGO振型图振型图一阶一阶:二阶二阶:三阶三阶:YOUR SITE HERELOGO行列式方程法行列式方程法广义特征值问题：广义特征值问题：移项，整理：移项，整理：求解：求解：2KxMx20KM20KM xYOUR SITE HERELOGOv求解步

7、骤求解步骤：1.选取初值选取初值2.计算计算3.计算计算4.首项归一化首项归一化5.迭代直至收敛迭代直至收敛逆幂法逆幂法将广义特征值问题改写为：将广义特征值问题改写为：构造迭代格式：构造迭代格式：121xK Mx 1121iixK Mx1K M 11iitxK Mx 11112/11iiittitxxxx0,1,2i YOUR SITE HERELOGO已知已知 ，求解，求解 ，利用振型之间的正交关系，利用振型之间的正交关系逐阶滤频法逐阶滤频法v 求解步骤求解步骤：1.选取初值选取初值 2.计算计算3.滤频滤频4.计算计算5.首项归一化首项归一化6.迭代直至收敛迭代直至收敛21 02x T12

8、T11iix Mxx Mx0,1,2i 221iiixxx 1122iitxK Mx 111122222/1iiiitttxxxxYOUR SITE HERELOGOv初值选取技巧初值选取技巧(猜测振型猜测振型)逆幂法、逐阶滤频法逆幂法、逐阶滤频法1122.5321101310.50.51猜测：猜测：YOUR SITE HERELOGO只能求解对称结构只能求解对称结构(K、M阵主副对角均对称阵主副对角均对称)如：如：v求解步骤求解步骤：1.假设对称振型假设对称振型2.求解对称振型求解对称振型综合法综合法T1 1210121012 K121M T11rT11rrT12111rrr2KxMxYOU

9、R SITE HERELOGO综合法综合法3.假设反对称振型假设反对称振型4.求解反对称振型求解反对称振型5.特征对排序特征对排序T11T101T11rrT101rr2KxMxv注意事项：注意事项：1.奇数阶反对称振型中间一项必为奇数阶反对称振型中间一项必为02.不要忘记排序不要忘记排序T101T101rrYOUR SITE HERELOGO瑞利法瑞利法v 求解步骤求解步骤：1.猜测振型，要求：猜测振型，要求：(1)形状大致符合形状大致符合 (2)满足位移边界条件满足位移边界条件2.将猜测振型带入瑞利商求解将猜测振型带入瑞利商求解22020LLEIY dxFY dx()Yx Lxsinn xY

10、L34361212LxxL xY 瑞利商：瑞利商：T2TKMYOUR SITE HERELOGO假设振型假设振型其中其中 为试探函数为试探函数带入瑞利商公式，并取极值，得到：带入瑞利商公式，并取极值，得到：简记为：简记为：瑞利瑞利里兹法里兹法11121111121121222221222221212nnnnnnnnnnnnnnKKKaMMMaKKKaMMMaKKKaKMMa1122Yaa12, 2KaMaYOUR SITE HERELOGO瑞利瑞利里兹法里兹法v连续体求解步骤连续体求解步骤:1.选取试探函数选取试探函数2.带入以下公式求解带入以下公式求解3.求解广义特征值问题求解广义特征值问题

11、i1,2,i ,ijijKM0LijijKEIdx 0LijijMFdx 2KaMaYOUR SITE HERELOGO瑞利瑞利里兹法里兹法v多自由度系统求解步骤多自由度系统求解步骤:1.选取试探函数选取试探函数2.带入以下公式求解带入以下公式求解其中：其中：3.求解广义特征值问题求解广义特征值问题T*KX KXi1,2,i T*MX MX,*K M12X2*K aM aYOUR SITE HERELOGO模态综合法模态综合法固定交界面法固定交界面法v 求解步骤求解步骤:1.划分子结构划分子结构2.合成子结构质量、刚度阵，并分块合成子结构质量、刚度阵，并分块iiioiiiorroioooioo

12、KMKKMMKKMM2111211111YOUR SITE HERELOGO模态综合法模态综合法固定交界面法固定交界面法3.求解子结构主模态求解子结构主模态4.求解约束模态，合成模态矩阵求解约束模态，合成模态矩阵 通过物理意义求解：通过物理意义求解：边界发生单位位移时内部各自由度的位移边界发生单位位移时内部各自由度的位移iri2iiiiK xM x1iiiio K Kiriir0Ii1/32/3i13231YOUR SITE HERELOGO模态综合法固定交界面法5.第一次坐标变换，方程降阶第一次坐标变换，方程降阶6.第二次坐标变化，实现子结构连接第二次坐标变化，实现子结构连接TrrrrM M

13、 TrrrrK K 11221123344111111aaaabbbaaaaT*M MTr*K K12MMM12KKKYOUR SITE HERELOGOv注意事项：注意事项：1.采用物理意义求解采用物理意义求解2.对称结构采用综合法求解广义特征值问题对称结构采用综合法求解广义特征值问题模态综合法固定交界面法7.求解广义特征值问题求解广义特征值问题2*K xM x2113.1112112*M22/32*KiYOUR SITE HERELOGO模态综合法自由交界面法v 求解步骤求解步骤:1.划分子结构划分子结构2. .求解子结构模态求解子结构模态2KxMxrYOUR SITE HERELOGO模

14、态综合法自由交界面法3.第一次坐标变换，方程降阶第一次坐标变换，方程降阶4.第二次坐标变化，实现子结构连接第二次坐标变化，实现子结构连接rirrrroxxx pTrrrrM M TrrrrK K T*M MTr*K K12MMM12KKK1122iABppI0pp0I33abYOUR SITE HERELOGO模态综合法自由交界面法5.求解广义特征值问题求解广义特征值问题2*K xM xYOUR SITE HERELOGO界面位移凝聚法界面位移凝聚法guyan法法v 求解步骤求解步骤:1.合成结构的质量阵、刚度阵合成结构的质量阵、刚度阵2.行列互换，得到分块形式行列互换，得到分块形式sssms

15、ssmsmsmmmsmmmKKMMxKMxKKMMxYOUR SITE HERELOGO2112112K2112112K界面位移凝聚法界面位移凝聚法guyan法法1237xxxxx222111111114x5x6x1211221111111YOUR SITE HERELOGO3.求解变换矩阵求解变换矩阵v通过物理意义求解：通过物理意义求解：边界分别发生单位位移边界分别发生单位位移(其他边界固定其他边界固定)内部各自由度的位移内部各自由度的位移界面位移凝聚法界面位移凝聚法guyan法法1sssm TK K1/401/203/402/31/31/32/3TYOUR SITE HERELOGO界面位

16、移凝聚法界面位移凝聚法guyan法法4.计算计算5.求解广义特征值问题求解广义特征值问题TMT MTTKT KT2KxMxYOUR SITE HERELOGO动力响应解析求解动力响应解析求解v 稳态解稳态解(特解特解) (1)方法方法1：令令 (2)则有：则有： (3) (4)将将(2) (4)式代入式代入(1)式，令式，令 和和 系数分别系数分别相等，得出方程，可解相等，得出方程，可解sinmycykyftsincosyatbtcossinyatbt22sincosyatbt sintcost, a bYOUR SITE HERELOGO动力响应解析求解动力响应解析求解方法方法2：将原方程改

17、写为：将原方程改写为： (1)令令 (2)则有：则有： (3) (4)将将(2) (4)式代入式代入(1)式式,整理，得：整理，得：则有：则有：取其虚部，即为原方程取其虚部，即为原方程(1)的解的解i tmycykyfei tyAei tyi Ae2i tyAe 2i ti tmi ck Aefe12i tymi ckfe YOUR SITE HERELOGO动力响应解析求解动力响应解析求解v 瞬态解（齐次方程通解瞬态解（齐次方程通解+特解）特解）其次方程通解：其次方程通解：其中：其中：则瞬态解：则瞬态解：其中其中, 为待定系数。通过初值条件确定为待定系数。通过初值条件确定sinmycykyf

18、t12sincosteyectct2cm222/k mepyyy12,c cYOUR SITE HERELOGO振型分解法振型分解法动力学方程：动力学方程：求解广义特征值问题得到各阶特征对求解广义特征值问题得到各阶特征对取前取前q阶振型阶振型令令 代入原方程，得到：代入原方程，得到： tMxCxKxf2KxMx11nn qqxu12q tMuCuKufTTTT tM uufCKuYOUR SITE HERELOGO振型分解法振型分解法原方程转化为原方程转化为q个单自由度方程：个单自由度方程：其中：其中： (比例阻尼比例阻尼) (瑞利阻尼瑞利阻尼)采用比例阻尼方程可表达为如下形式：采用比例阻尼方

19、程可表达为如下形式：*iiicmk *iiiiiiim uc uk uft*2iiiicm 2*12iiiiiiiiuuuftm YOUR SITE HERELOGO相关分析相关分析v 自相关函数自相关函数v 自协方差函数自协方差函数v 互相关函数互相关函数v 性质性质 /2/21limTxTTRE x t x tx t x tdtT /2/21limTxyTTRE x t y tx t y tdtT 2xRRx xyyxRRYOUR SITE HERELOGO谱密度分析谱密度分析v维纳维纳辛钦关系辛钦关系 12ixxxxixxxxSRedRSed 200 xxE xtE x t x tR 2xxE xtSd YOUR SITE HERELOGO虚拟激励法虚拟激励法v 求解步骤求解步骤:1.构造虚拟激励：构造虚拟激励： i tSe i tF tSe 12i tit Tx tSextSeYOUR SITE HERELOGO虚拟激励