北师大版九年级数学上专训2证比例式或等积式的技巧

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点初中数学试卷专训 2证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换构造平行线法1 .如图，在 ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E,交BC的延长线于点 F,求证：AE- CF= BF- EC.信达（第 1题 ）2 .如图，已知 ABC的边AB上有一点 D,边BC的延长线上有一点 E,且 AD

2、= CE, DE 交AC于点F,求证：AB- DF= BC- EF.奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达三点定型法（第2题）DE交BC于F.3 .如图，在？ABCM, E是AB延长线上的一点,求证:空CFAE= AD奋斗没有终点任何时候都是一个起点（第 3题 ）4 .如图，在 ABC中，/ BAC= 90° , M为BC的中点，DML BC交CA的延长线于 D,交AB于 E.求证：AM= MD- ME.信达构造相似三角形法（第 4题 ）5.如图，在等边三角形 ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交 AB,AC于点M, N.求证：BP- CP= BM/I- CN.(第

3、 5题 )等比过渡法DF与BE相交于点 G且/6 .如图，在 ABC中，AB= AC, DE/ BC,点 F 在边 AC上，EDF= / ABE.求证：(1) ADEF BDE(2)DG - DF= DB- EF.（第 6题 ）7 .如图，CE是RtABC斜边上的高，在 EC的延长线上任取一点 P,连接AP,彳BGJXAP于点G,交CE于点D.求证：C=DE- PE.（第 7题 ）奋斗没有终点任何时候都是一个起点两次相似法8 .如图，在 RtABC中，AD是斜边 BC上的高，/ ABC的平分线 BE交AC于E,交AD于F.求证:BF ABBE- BC信达（第8题）9 .如图，在？ABCM, A

4、MLBC, ANCD 垂足分别为 M N.求证: AAMIB ANDAM MN AB= AC（第9题）等积代换法10 .如图，在 ABC中，ADL BC于 D, D已 AB于 E, DF，AC于 F.求证:AE ACAF= AB.（第10题）奋斗没有终点任何时候都是一个起点等线段代换法11 .如图，在等腰三角形 ABC中，AB= AC, AD)±BC于点D,点P是AD上一点，CF/ AB, 延长BP交AC于点E,交CF于点F,求证：BF2= PE- PF.（第 11题 ）12 .如图，已知 AD平分/ BAC AD的垂直平分线 EP交BC的延长线于点 P.求证：PD2= PB- PC

5、.（第 12题 ）答案1.证明：如图，过点 C作CM/ AB交DF于点M. CM/ AB,/ FC阵 / B, / FMC= / FDB./.ACMI BDF.信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点BF_BD CF= CM又 CM/ AD,/ A= / ECM / ADE= / CME.ADEACME/.AE_ADEC= CM. D 为 AB的中点，BD= AD.BD AD BF AE-oMT CM -CF= EC即 AE- CF= BF- EC.（第1题）2 .证明：过点 D作DG/ BC交AC于点G易知 DGS ECF ADR ABC.EF CE AB AD,一=.=-. DF DG BC

6、DG. AD= C.空 AD，= EF. - DG DG BC DF即 AB- DF= BC- EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A'型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题.3 .证明：二四边形 ABCD平行四边形，AE/ DC / A= / C. ./ CDF= / E._ 一一 DC CF， FCD DAE.'.-=-AE AD4 .证明：: DML BC / BAC= 90° ,B+ / BEMk 90°，/ D+ / DE七 90 / BE阵 / DEA .1- / B= / D.又 M为 BC的中点，/ BAC= 90

7、° ,BM= AM.B= / BAM. / BA阵 / D.即/ EAM= / D.又. / AME= / DMA. .AMP DMA.AM ME 2.即 aM=md ME.MD AM（第5题）5 .证明：如图，连接 PM PN. MN AP的垂直平分线，MA= MPNA= NP.1=/ 2, / 3=/ 4.又ABC是等边三角形，Z B= / C= / 1 + / 3= 60 . / 2+Z 4= 60° . / 5+ / 6= 120° .又 / 6+/ 7=180° -Z C= 120° , / 5= / 7. . .BPMhACNP.B

8、P BM 口=即 BP - CP= BM- CN.CN CP6 .证明：（1） . A- AC, Z ABG= / ACB.DE/ BC, ./ABO Z EDB= 180° , / ACB Z FED= 180° . . / FED= Z EDB.又. / EDF= / DBE . DEM BDE.（2）由£%BDE得M EF.即 DU=DB- EF.又由DED BDE 得/ GED= /EFD. BD DE/GDE= / EDF GDP EDF.DG DE 口. o=.即 Dd= DG DF.DE DFDG DF= DB- EF.7,证明： BGLAP, PE

9、±AB,/ AEP= / DEB= / AGB= 90°. / P+ / PAB= 90° ,/PA拼 / ABG= 90° .P= / ABG.,. AEF DEB.AE PE= IP AE - BE= PE- DE. DE BE又. / CEA= / BEC= 90° , / CA拼 / ACE= 90° .又. / ACB= 90° , / CA拼 / CBE= 90°/ ACE= / CBE.1. AE6 CEB.AE CE /，CE=而即 CE=AE- BE.，cU=DE- PE.8 .证明：由题意得/

10、BDF= /BA曰90° . BE平分/ ABC 1 / DBF= / ABE.,_ . BD BF. .BDM BAE.=-AB BE. / BAC= / BD90° ,/ABC= / DBA. . ABS DBA.1 . AB= BD BC AB.BF_ABBE= BC9 .证明：（1）二.四边形ABCM平行四边形，B=/D. AIVL BC, AN± CDAMB= / AND= 90°. .AM中AND.信达(2)由4 AM耿4AND导AM ABANN= AB/ BAM= / DAN.AM AB 又AD= BC, .而能. AML BC, AD/

11、BC, ./ MAD= / AMB= 90°.Z B+ / BAM= / MANb / NAD= 90° . / B= / MAN. . AMIN BAC.,.AMNAb= AC.10 .证明：. AD± BC, DU AB, ./ ADB= / AED= 90° 又. / BAD= / DAE . ABW ADE.AD AE /AB. -AB= AD 即 aD=ae,AE AC同理可得AC2=AF- AC.AE - AB= AF - AC. = AF AB11 .证明：连接PC如图所示. AB= AC, AD± BC, .AD垂直平分 BC / ABC= / ACB.BP= CP.，/ 1 = / 2. ./ ABC- / 1 = / ACB- / 2,即 / 3= / 4. CF/ AB,/ 3=Z F. ./ 4=Z F.又. / CPF= / CPE . CPM EPC.CP PFPE= CP2即 CP=PF- PE. B之 CP,B=PE- PF.奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达（第 11题