2020届新课标高考数学二轮专题复习讲义全套打包下载11考前回扣

1、第四部分考前回扣回扣一集合与常用逻辑用语考前回扣一、记概念公式1 .四种命题的相互关系2 .全称命题与特称命题全称命题p： ? xC M, p(x)的否定为特称命题B p： ? xo M , B p(X0);特称命题p： ? X0CM, p(X0)的否定为全称命题B p： ? xC M, B p(x).二、用解题结论1 .交集的补集等于补集的并集，即 ？u(AAB) = (?uA)U(?uB)；并集的补集 等于补集的交集，即？u(AUB) = (?uA)A (?uB).2 .对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真 子集的个数依次为2n2n 1,2n1,2n 2.三、辨易

2、错易混1 .忽视集合中元素的互异性【点睛】求解集合中元素含有参数的问题，先根据确定性列方程，求出值 后，再根据互异性检验.2 .未弄清集合的代表元素【点睛】集合的特性由元素体现，在解决集合的关系及运算时，要弄清集 合的代表元素是什么.3 .遗忘空集【点睛】空集是一个特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思 维定势的原因，在解题中常遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面.4 .忽视不等式解集的端点值【点睛】进行集合运算时，可以借助数轴，要注意集合中的“端点元素” 在运算时的“取”与“舍” .5 .对含有量词的命题的否定不当【点睛】由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在进行命题否 定

3、时易将全称命题只否定判断词，而不否定被省略的全称量词.6 .不清楚“否命题”与“命题的否定”的区别【点睛】“否命题”是原命题“若 p,则q”既否定其条件，又否定其结论, 而“命题的否定”只是否定命题的结论.保温训练1.已知集合 A= x|1<x<3, B = xX<a,若AAB = A,则实数a的取值 范围为()A. (3, +oo)B. 3, +oo)C. - 1, +°°)D. (- 1, +00)答案：B'解析：由An B=A,得A? B,则a>3,故选B.2.已知 % 0C (0, nt)则 “sin a+ sin 31” 是 “si

4、n(a+ 3<1” 的()33A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11一 答案：A'解析：sin(a+ ®<a? sin ocos 汁 cos osin <,故 sin a+ 33-11” L可以推得sin ocos B+ cos osin B<3 ,反之不成乂.故 sin a+ sin火3 是1.sin( a+ 3<.的充分不必要条件，故选A.33 .已知命题 p： ?x0CR,使得 x0+ + <2,命题 q： ?xCR, x2+x+ 1>0. xo卜列命题为真的是()A.pAqB.倒

5、p)AqC. pA(B q)D.倒 p)A(B q)1一一答案：A 解析：对于命题p,取x= 1,则x+-=-2<2,所以命题p x是真命题，则SI p是假命题；对于命题q,A= 14= 3<0,所以不等式x2+x+ 1>0的解集为R,所以命题q是真命题，则 q是假命题，所以“pAq”为 真命题.4 .下列命题是真命题的是()A. ?/R,函数f(x)=sin(2x+都不是偶函数B. ? a,队 R,使 COS(a+®=COS a+ COS 0C.向量a=(2,1), b=(1,0),则a在b方向上的投影为2D. “冈01”是“x0 1”的既不充分又不必要条件,.一

6、，一一兀一答案：B 斛析：当()=+卜冗，kCZ时，函数f(x)=sin(2x+ 是偶函数，一 .3 冗冗.一.A是假命题；？ a= 1，0= 4，使COS(a十份=COS a+ COS & B是真命题；a b 2. ,.一|a|cosa, b> =而=斤=2,即a在b万向上的投影为一2, C是假命题；“冈01? -1<x<1"是“x0 1”的充分不必要条件，D是假命题，故选B.5.已知命题p：函数y= loga(1 2x)在定义域上单调递增；命题 q：不等式 (a 2)x2 + 2(a 2)x 4<0对任意实数x包成立，若“ pVq”是真命题，则实数

7、 a的取值范围为.答案：(-2,2解析：二命题p：函数y= loga(12x)在定义域上单调递增，- 0<a< 1.又命题q：不等式(a 2)x2+2(a 2)x4<0对任意实数x包成立，a = 2a-2<0,或 A /02A= 4 a-2 2+16 a-2 <0,-2<a<2.: “pVq”是真命题，实数a的取值范围是(一2,2.6.已知条件p： x2+2x-3>0,条件q： x>a,且p是q的充分不必要 条件，则a的取值范围为.答案：1, +oo)解析：由x2+2x3>0可得x>1或x< 3;确p是 q的充分不必要条件

8、”等价于“q是p的充分不必要条件"，故a1.回扣二函数与导数考前回扣一、记概念公式1.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f( x) = f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)=f(x) = f(XI)成立,则f(x)为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x + T) = f(x)(Tw0),则f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.高考二轮复习 数学网)教师用书2.指数与对数式的运算公式am an = am n; (am

9、)n = amn; loga(MN)= logaM + logaN； loga= logaM logaN ； logaMn = nlogaM； alogaN = N； logaN = og：a (a > 0 且 a*1, b>0 且 bwl, M>0, N>0).第四部分考前回扣训练3.指数函数与对数函数的对比区分表解析式xy二a(a>0且 awl)y= logax (a>0且 aw 1)定义域R(0, +00)值域1(0, +°0)R图象J(kiK 10yd>JOF产1(ktxl关于直线v= x对称奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性当0<a

10、<1时，在R上是 减函数；当a> 1时，在R 上是增函数当 0<a<1 时，在(0, 十 °°)上是减函数；当a> 1 时，在(0, +8)上是增函 数4.方程的根与函数的零点方程的根与函数零点的关系：由函数零点的定义，可知函数 y= f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以，方程 f(x) = 0有实数根？函数y=f(x)的图象与x轴有交点？函数y= f(x)有零点.(2)函数零点的存在性：如果函数y = f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且b),f(a)f(b)&

11、lt;0,那么函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点，即存在cC (a使得f(c) = 0,这个c也就是方程f(x) = 0的实数根.5.导数公式及运算法则(1)导数公式：(sin x)' = cos x； (cos x)' =sin x；(ax)' =axln a(a>0且 awl)； (ex)'=八、，1，(logax) =xna(a>0且 awl)； (ln x)(2)导数的四则运算：(u iv)' = u，为,；(UV)，=u，v+uv，; ,fu , u v uvV = v"0)6.导数与极值、最值(1)函数f(x

12、)在x0处的导数f' (x0) = 0, 在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数 右正" ？ f(x)在xo处取极小值.ex；1 x且f' (x)在x0附近“左正右负”f' (x0) = 0,且 f' (x)在 x0 附近?f(x)左负(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值 中的“最大值”；函数 f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值 与其端点值中的“最小值”.7.定积分的性质(1) bkf(x)dx= k bf(x)dx； aa(2) bf1(x) f2(x)dx= bf1(x)dx±

13、bf2(x)dx； aaa(3) bf(x)dx= cf(x)dx+ bf(x)dx(其中 a<c< b). aac二、用解题结论1 .函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x), g(x)同为增(减)函数时，f(x)+g(x)为增(减)函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间 上有相反的单调性.(3)f(x)为奇函数？ f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数？ f(x)的图象关于y 轴对称.(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商 是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数.(5)定义在(一8, +8)上的奇函数

14、的图象必过原点，即有f(0)=0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x) = 0.(6)f(x) + f( x) = 0? f(x)为奇函数；f(x) f( x) = 0? f(x)为偶函数.2 .抽象函数的周期性与对称性的结论(1)函数的周期性若函数f(x)满足f(x+a) = f(x a),则f(x)为周期函数，T=2a.若函数f(x)满足f(x+a)= f(x),则f(x)是周期函数，T = 2a.一一， 1_若函数f(x)满足f(x+a) = 1,则f(x)是周期函数，T = 2a.f x(2)函数图象的对称性若函数 y= f(x)满足 f(a+x)=f(ax),即 f(x) =

15、f(2a x),则 f(x)的图象关 于直线x= a对称.若函数 y= f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)= f(2a x),则 f(x)的图 象关于点(a,0)对称. . a+ b右函数y= f(x)辆足f(a+x) = f(b x),则函数f(x)的图象关于直线 1=2 对称.3 .函数图象平移变换的相关结论(1)把y=f(x)的图象沿x轴左右平移|cW单位(当c>0时向左移，当c<0时 向右移)得到函数y = f(x+c)的图象(c为常数).(2)把y = f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(当b>0时向上移，当b<0时 向下移)得到函

16、数y = f(x)+b的图象(b为常数).4,函数图象伸缩变换的相关结论把y = f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的a倍, 而横坐标不变，得到函数y = af(x)(a>0)的图象.1 一把y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩短(b>1)到原来的b,而 纵坐标不变，得到函数y=f(bx)(b>0)的图象.三、辨易错易混1 .函数的单调区间理解不准确【点睛】对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可.2 .判断函数的奇偶性时忽略定义域

17、【点睛】一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对 称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数.3 .用判别式求函数的值域，忽视判别式存在的前提【点睛】(1)确保二次项前的系数不等于零.(2)确认函数的定义域没有其他限制.(3)注意检验答案区间端点是否符合要求.4 .函数零点存在性定理使用不当【点睛】只有函数y=f(x)在区间a, b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0时，函数y = f(x)在区间(a, b)内才有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定 函数y = f(x)在(a, b)内有零点.5 .不清楚导数与极值的关系【点睛】(1)f'

18、;(xo)=0只是可导函数f(x)在X0处取得极值的必要条件，即必 须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f' (x)在xo两侧是否异号.(2)已知极值点求参数要进行检验.6 .混淆“切点”致误【点睛】注意区分“过点 A的切线方程”与“在点 A处的切线方程”的不 同.“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是 切点.7 .导数与单调性的关系理解不准确【点睛】(1)f'(x)>0(<0)(xC (a, b)是f(x)在(a, b)上单调递增(递减)的充分 不必要条件.(2)对可导函数f(x)在(a, b)上为增(减)函数的充要条件：对于任意

19、 xC(a, b), 有f' (x)>0(w0)且f' (x)在(a, b)内的任何子区间上都不恒为零.若求单调区问， 可用充分条件.若由单调性求参数，可用充要条件.即f' (x)>0(或f' (x)&0),否则容易漏解.保温训练1 .将函数y= ln(x+1)(x>0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角8 (®(0,a)得到曲线C,若对于每一个旋转角9,曲线C都仍然是一个函数的图象，则a的最大值为()冗A.兀B.2冗C.3冗D.4答案：D'解析：要使旋转后的曲线 C仍然是一个函数图象，则需满足在旋转过程中，曲线C的任意

20、切线的倾斜角小于等于 90；由y = ln(x+ 1)(x>0)得y'1 = £ (0,1,当且仅当x=0时，v 取得最大值 x+ 11,即在x= 0处的切线斜率.一江江 江 江 一.最大，此时倾斜角是4,所以刈ax=24=4,故选2,函数f(x) = log (x2 4)的单调递增区间是(2D.A. (0C. (2 答案：+ oo+ ooB.(一D(一oooo,0)，-2)D解析:因为y=log t在定义域上是减函数，所以求原函数的单2调递增区问，即求函数t=x2 4的单调递减区问，结合函数的定义域，可知所 求区间为(-00, - 2).3 .已知函数f(x)的导函数

21、f' (x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有 可能是()2,0),单调递减区间是(00, 2), (0, + °°),故函数图象最有可能是选项中的图象.4 .已知f(x) = x2ex,若函数g(x)=f2(x) kf(x) + 1恰有四个零点，则实数 k的取值范围是()B. 2,4 e2D.最+4+00A. ( 8, 2)U(2, +oo)C. I-2答案：D解析：由题意，得f' (x)=ex(2x+ x2),令f' (x)=0,得x=0或 x=2,则函数f(x)在(一oo, 2), (0, +oo)上单调递增，在(2,0)上单调递 减，

22、所以当x= 2时，函数f(x)取得极大值看，当x= 0时，函数f(x)取得极小 值 0,当 x oo, f(x)-0.设 t = f(x)>0,则 g(x) = f2(x)kf(x)+1 等价于 h(t) = t2 -kt+1(t>0),令 h(t) = 0 得 tl + t2=k, tlt2=1(设 tl<t2),由题可知 t2>tl>0,所 以ti + t2=k>0,要使方程f2(x) kf(x)+1 = 0有四个实数根，则方程t2kt+1 = 0应有两个不相等的实数根，且tie 0, e2 , t2C e2, +8 .因为h(0) = 1>0,则

23、 需 h A <0,即4 24k+1v0,解得 k>+e，故选 D.ee ee 45 .中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由 黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、 和谐美，给出定义：函数图象能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个；函数可刈=如(/+低工!)可以是某个圆的“优美函数”；正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；函数y = f(x)是圆的“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题是()A.

24、B.C.D.答案：A 解析：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，则对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个，正确；函数f(x)=ln(x2 + 1)的大致图象如图1,所以其不可能是为圆的“优美函数”，错误;图1产In年+/工4)将圆的圆心放在正弦函数 y=sin x的对称中心上，则正弦函数y = sin x是该圆的“优美函数”，可知符合条件的圆有无数个，正确；若函数y= f(x)的图象是中心对称图形，则y=f(x)是圆的“优美函数”，但函数y=f(x)是圆的“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图 2,错误.所以正确命 题是，故选A.6 .若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(

25、 8, 0上是减函数，且f(2)= 0,则使得f(x)< 0的x的取值范围是.答案：(一2,2)解析：因为f(x)是偶函数，所以 f( x) = f(x) = f(|x|).因为 f(x)<0, f(2) = 0,所以f(|x|)< f.又因为f(x)在(一8, 0上是减函数,所以f(x)在(0, + 8)上是增函数, 所以冈<2,所以一2<x< 2. 回扣三不等式考前回扣一、记概念公式1.不等式的性质(1)a>b, b>c? a>c.(2)a>b, c>0? ac>bc； a>b, c<0? ac< b

26、c.(3)a>b? a+c>b+c.(4)a>b, c>d? a+c>b+d.(5)a>b>0, c>d>0? ac>bd.(6)a>b>0, nCN*, n>1? an>bn, n/a>n/b.2.简单分式不等式的解法f x 一一 _(1)(gV>0? f(x)g(x)>。； f x<0? f(x)g(x)<0.f x c f x g x >0, (2)>0?'，g x g x W0;f x ” f x g x <0, <0? gx gxw0.f

27、x(3)对于形如>a(> a)的分式不等式要米取：移项' 'g x ''转化为(1)或(2)的形式求解.二、用解题结论1. 一元二次不等式的包成立问题一通分一化乘积的方法(1)ax2+ bx+ c>0(aw0)包成立的条件是a> 0,A< 0.(2)ax2+ bx+ c< 0(a w 0)包成立的条件是a< 0,A< 0.2.基本不等式的重要结论(1)丁方牺侬>0, b>0).a+ b 2(2)ab< -2- 2(a, b R)./a2+ b2 a+b r-/ C一小7-2-亍牺(a>

28、76;，b> 0).(4)a+b&d2 a2+b2 (a>0, b>0).3.线性规划中两个重要结论(1)点 M(x0, y0)在直线 l: Ax+ By+ C = 0(B>0)上方(或下方)？ Ax0+Byo+C >0(或 <0).(2)点 A(xi, yi), B(x2, y2)在直线 l： Ax+By+ C = 0 同侧(或异侧)？ (Axi + Byi + C)(Ax2 +By2+C)>0(或< 0).三、辨易错易混1 .不能正确应用不等式的性质【点睛】在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件， 如不等式两端同时乘或

29、同时除以一个数或式，两个不等式相乘，一个不等式两 端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件.2 .忽视基本不等式应用的条件a+ b【点睛】(1)利用基本不等式a+b>2yb以及变式ab< 审 2等求函数的 最值时，务必注意a, b为正数(或a, b非负)，特别要注意等号成立的条件.(2)对形如y=ax+b(a, b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax, b同号.3 .解不等式时转化不等价【点睛】如求函数f(x) ygv。可转化为f(x) qgv>o或f(x) wx=0,否 则易出错.4,解含参数的不等式时分类讨论不当【点睛】解形如ax2+bx

30、+ c>0的不等式时，首先要考虑对 x2的系数进行分 类讨论.当a = 0时，是一次不等式，解的时候还要对b, c进一步分类讨论；当a*0且Z>0时，不等式可化为a(x-xi)(x-x2)>0,再求解集.5 .不等式包成立问题处理不当【点睛】应注意包成立与存在性问题的区别，如对任意xCa, b都有f(x)&g(x)成立，即f(x) - g(x) < 0的恒成立问题；但对存在xCa, b,使f(x)Wg(x)成立，则为存在性问题，可化为 f(x)min Wg(x)max,应特别注意两函数中 的最大值与最小值的关系.6 .寻找最优整数解的方法不当【点睛】线性规划问题

31、的最优解一般在可行域的端点或边界处取得，而最 优整数解的横、纵坐标均为整数，所以最优整数解不一定在边界或端点处取得， 一般先把端点或边界处的整点找出，然后代入验证.保温训练1.已知函数f（x）=|2x 2|+b的两个零点分别为xi, X2（xi>x2）,则下列结论 正确的是（）A. xi>1, xi + x2<1B. xi>1, xi + x2<2C. 1<xi<2, xi + x2<1D. 1<xi<2, xi + x2<2答案：D 解析：函数f（x）有两个零点等价于函数y=|2x2|与丫= b的图象有两个交点，交点的横坐标即

32、为 xi, x2（xi>x2）,在同一直角坐标系中作出函数y= |2x-2|与丫= 一b的图象，如图所示.由图可知 1<xi<2,2xi 2 = 2 2x2,即4(x b) >0 的解集是(2,3)，则 a+ b=()A. 1 B. 2 C. 4 D. 8答案：C 解析：由题知，(x-a)?(x- b) = (xa)1 (xb)>0,即(x a）x（b+1）<0.由于该不等式的解集为（2,3）,所以方程（x a）x（b+1） = 0的两根之和等于5,即a+b+1 = 5,故a+b=4.3.已知xy满足x- 4y 0 3 3x+ 5y< 25 x>

33、 1,ax y>1恒成立，则实数a的取值范围是(27A. y, +003C 11B.石+ ooC. 5+ ooD. 2+ 0°)A 解析：画出不等式组3x+5y< 25,表示的平面区域，如x>1图.直线ax y 1 = 0 过定点 A(0,-1),从图中可以看出：当动直线在过点22 一， 一22M 1,亏的直线上方时符合条件，因此动直线的斜率a必须满足a>kMA=22+1 = 2715，4.已知函数x2-4x+ 3, x<0,0f(x)=2 o o C则不等式f(a24)>f(3a)的解集x 2x+ 3, x> 0,为()A. (2,6)B.

34、(1,4) C. (1,4) D. (-3,5)答案：B调递减的.由解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单 f(a2 4)>f(3a),可得 a2-4<3a,整理得 a2-3a-4<0,即(a+ 1)(a-4)<0,解得一1<a<4,所以不等式的解集为(一1,4).5 .若两个正实数x, y满足2+1=1,且x+2y>m2 + 2m恒成立，则实数 m x y的取值范围是.答案：(4,2)解析：x+2y=(x+ 2y) 2+j Md + y+4ySM + Zyy4y =8,. (x+ 2y)min = 8 ,令 m2 + 2m&

35、lt;8,得4<m<2.x+y>2,6 .已知。是坐标原点，点 A(1,0),若点M(x, y)为平面区域 x<1,y<2上的一个动点，则|OA+OM|的最小值是.c 大一 一一 一答案：2 解析：由题意得，OA+OM = （x+1, y）, |OA+OM| = 勺x+1 2+y2可视为点（x, y）到点（一1,0）的距离，在坐标平面内画出不等式组表 示的平面区域，如图中阴影部分所示.结合图形可知，在该平面区域内的点中， 由点（一1, 0）向直线x+y = 2引垂线，垂足到点（一1,0）的距离最小，因此|OA+I 1 + 0 2| 3/2 OM|的最小值是一忑=弩

36、.回扣四三角函数与平面向量考前回扣一、记概念公式1 .同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sn'=tan a aWkTt+f, ke Z； cos a2(2)平方关系：sin2 a+ COS2 a= 1( aC R).2 .三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中，“奇、偶”是指，冗一.一一一“k2± WkCZ)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角a看作锐角时，原函数值的符号.3 .三种函数的性质性对称轴：冗.x=g+ k：t KC Z)介k九,0(kC Z)；对称轴：x=kTtkC Z): 0 (k e Z)B;B;4 .三角恒等变换的主要公式 s

37、in(a±sin ocos 0dcos osin cos(a± 3 = cos ocos 伊sin osin, tan a 虫an 0tan(a± 份=-;一'；1?tan dan 0sin 2a= 2sin ocos gcos 2 k cos a2tan一sin2 of= 2cos a一1= 1 2sin2a;tan 2a=22".1 tan a5 .三角函数的两种常见变换向左（p0）或向右 、（1） y=sin jl占 111（上十平移I yl个单位甲横坐标变为原来的。OJ. V = sin（ 一中）纵坐标不变甲纵坐标变为原来的A倍 八 ,

38、段横坐标不变3=八$巾（3十中）（八°皿0）.横坐标变为原来的;（2） y= sin jl '- -*-y = sin uh纵坐标不变 ”向左（n。）或向右（o）*、= sin（t）x + ）平移旨个单位纵坐标变为原来的八倍.横坐标不变 "=Asin(3； + p) (A>0 ®>0).6 .平面向量的有关运算（1）两个非零向量平行（共线）的充要条件：a/ b? a=入幽个非零向量垂直的充要条件：a±b? a b = 0? |a+b|=|ab|.（2）若 a=（x, y）,则 a i=voa=yx+y.(3)若 A(x1, y1),

39、B(x2, y2),则|AB| =x2 xi 2+ y2 y1 2.(4)若 a=(x1，y1), b= (x2, y2), 8为 a与 b 的夹角,贝 cos仁a bxx2+y1y27.正弦定理与余弦定理(1)正弦定理a=2Rsin A, b= 2Rsin B, c=2Rsin C；sin A=2, sin B =2R2R'. c csin C=二;2R'a : b ： c= sin A ： sin B ： sin C.注：R是三角形的外接圆半径.(2)余弦定理b2 + c2 a2a2+c2b28s A=2bc , 8s B=2ac ,a2+b2 c2cos C=2ab .b

40、2+ c2 a2=2bccos A, a2 + c2 b2= 2accos B, a2+ b2- c2 = 2abcos C.二、用解题结论1 .由sin aicos a的符号判断a的位置(1)sin a cos a> 0? a的终边在直线 有sin oc- cos a> 1)；(2)sin a+ cos a> 0? a的终边在直线 时，有sin a+ cos a> 1).2.在 ABC中，以下结论恒等式成立A By=x上方(特殊地，当a在第二象限时,y= x上方(特殊地，当a在第一象限(1)sin A+sin B+ sin C = 4cos2cos2cos2.ABC(

41、2)cos A+ cos B+ cos C= 1 +4$叫$访2$所2.(3)tan A+tan B + tan C=tan Atan Btan C.3 .三点共线的判定A, B, C三点共线？ AB, AC共线;向量PA, PB, PC中三终点A, B, C共线？存在实数a, B使得PA=oPB+PC,且叶片1.4 .中点坐标和三角形的重心坐标MPi + MP2_ _一 ,(i)Pi, P2 的坐标为(xi, yi), (x2, y2), MP=2? P 为 PiP2 的中点, ,1 -山上一4 xi + x2 yi+y2中点P的坐标为2,二丁 .(2)三角形的重心坐标公式： ABC的三个顶

42、点的坐标分别为A(xi, yi),B(x2, y2), C(x3, y3),则 ABC 的重心坐标是 G xi + /+x3, yi + j+y3 . 335 .三角形“四心”向量形式的充要条件a, b, c,设。为4ABC所在平面上一点，角 A, B, C所对的边长分别为 则(1)0为4ABC的外心？0AMBgOC4七(2)0为4ABC的重心？OA+OB+OC=0.(3)0为 ABC的垂心？0A 0B=0B 0C = 0C 0A.。为4ABC的内心？aOA+bOB+cOC=0.三、辨易错易混i,忽视零向量0,其方向b上的投影【点睛】零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为 是任意的，零

43、向量与任意向量都共线.6 .向量投影理解错误【点睛】把向量投影错以为只是正数.事实上，向量 a在向量 |a|cos 8是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零.7 .不清楚向量夹角范围【点睛】数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在 解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当 ab<0时，a与b的夹角不 一定为钝角，要注意8=冗的情况.8 .忽视正、余弦函数的有界性【点睛】许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在 换元时注意正、余弦函数的有界性.9 .忽视三角函数值对角的范围的限制【点睛】在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围,

44、 更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围.10 忽视解三角形中的细节问题【点睛】(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围.(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补的情况.(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切忌出现漏解情况.11 三角函数性质理解不透彻【点睛】(1)研究奇偶性时，忽视定义域的要求.(2)研究对称性时，忽视 y=Asin(cox+轨y=Acos(cox+ 的对称轴有无数 条、对称中心有无数个.(3)研究周期性时，错将y= Asin(x+轨y= Acosg x+的周期写成27t.12 图象变换方向或变换量把握不准确【点睛】图象变换若先作周

45、期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位.另外注意根据 小的符号判定平移的方向.保温训练1 .已知点 O, N 在4ABC所在平面内，且 |OA|=|OB|=|OC|, NA+NB+NC=0,则点O, N依次是ABCI()A.重心，外心B.重心，内心C.外心，重心D.外心，内心O为BC的外心.由NA+ NB+答案：C 解析：由|OA|=|OB|= |OC|知,NC=0知，N为BC的重心.2 .已知函数f(x) = sin(cox+帆0<必012,C N*,0<(|)< nt图象关于 y轴对称，.、 兀 兀、.、且在区间4, 2上不单调，则 的可能值有()A. 7个 B. 8

46、 个 C. 9个 D. 10个答案：C 解析：因为函数f(x)=sin(x+ 的图象关于y轴对称，所以当x=0时，f(x)取到最大值或最小值，所以小=卜叶2，kC乙因为0<加为所以 后所以 f(x)=sin 叶2 =cos x若 必=1,则当 xC 4, 2 时，cox= x 2 ,. 冗 冗、一一,冗 冗.冗此时f(x)在4, 2上单调递减；若 =2,则当xC 4, 2时，cox= 2xC 2，冗， 一. .冗 冗 一.冗 冗.33此时f(x)在4, 2上单调递减；右=3,则当x 4, 2时，cox= 3x 4兀，2支,4 7t 冗、，Tt Tt此时f(x)在4, 2上不单调；若=4,

47、则当x 4, 2时，=4x 彳2 nt, 此时f(x)在，2上单调递增；若 5&CD&12且 CN*,则当x 4 2时，CDX £ 4冗，方冗，此时2九一gkA65冗>,Ttf(x)在京2上不可能单调，所以的 可能取值集合是3,5,6,7,8,9,10,11,12,有9个.综上，故选 C.一.一 兀，一3.已知平面向量a与b的夹角等于1 如果(a+2b) (2a 3b)= 137, |a|= 32,那么 |b| =.1 答案：5 解析：由(a+ 2b) (2a- 3b)= 2|a|26|b|2 + a b = 8 6|b+2b|X= 137,整理得 6|b|2|

48、b|145= 0,解得 |b|= 5(负值舍去).4 .已知在 ABC中，(2BA 3BC)CB=0,则角A的最大值为. 一 一 一 一一 一 一一答案：.解析:由(2BA3BC) CB = 0,得一2BA BC+3BC2= 2|BA|BC|cos B + 3|BC|2 = 0,所以一2|BA|cos B+3|BC| = 0,即 280s B = 3a.由正弦定理，得 2sin Ccos B = 3sin A= 3sin(B + C) = 3(sin Bcos C + cos Bsin C),即一sin Ccos B= 3sin Bcos C,所以 tan C= 3tan B.又由 280s

49、B=3a,知 cos B>0,所以 tanB>0,所以tan A= tan(B+ C) = tan C+tan B 2tan B1 tan Btan C 1 + 3tan2B21嬴B + 3tan BW，3=害 当且仅当tan B ='时，等号成立,所以角A的最大值为6.5 .在4ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b,。若b= V2, c= 3, B + C=3A.求a的值；3九，(2)求 sin B + y 的值.解：(1)在 ABC 中，因为 b = 2, c= 3, B+C = 3A,所以A=：,利用余弦定理可得，a2=b2+c2 2bccos A=5,所以

50、a = y5.(2)由正弦定理sin A sin B,可得小杂,2所以sin B =当，再结合b<c,可得B为锐角，所以sin B + y = sin Bcos 34t+ cos Bsin 3=奢 xcos B=，1-sin2B = 2p,所以 5也上述乂近=血252 10 .回扣五数列考前回扣、记概念公式1.等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式an = a1 + (n 1)dan = aqn 1(qw0)前n项和n a1 + ann n 18=2=na1+2 da1 1 qn (1)qw1, Sn= 1 ；1 qa1 anq1 q ?(2)q= 1, Sn= na12 .判断等差

51、数列的三种常用方法(1)定义法：an+i an=d(常数)(nC N*)? an是等差数列.(2)通项公式法：an=pn+q(p, q为常数，nC N*)? an是等差数列.中项公式法：2an+1 = an+an+2(nC N*)? an是等差数列.前n项和公式法：Sn = An2+Bn(A, B为常数，nC N*)? an是等差数列.3 .判断等比数列的三种常用方法 (1)定义法： =q(q是不为0的常数，nC N*)? an是等比数列.(2)通项公式法：an=cqn(c, q均是不为0的常数，nC N*)? an是等比数列.(3)中项公式法:an+1 = an an+2(an an+1 a

52、n+20, nC N*)? an是等比数列.二、用解题结论1 .等差数列的重要规律与推论(1)an = a1 + (n 1)d= am+ (n m)d; p+q = m+ n? ap+aq = am+ an.(2)ap = q, aq=p(pwq)? ap+q = 0；Sm+n= Sm+ Sn+ mnd.(3)Sk, S2k-S3k- S2k,构成的数列是等差数列.(4)若等差数列an的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为 S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m=m(am+am+1), S偶一S奇 = md, S =amam+1(5)若等差数列an的项数为奇数2m1,所有奇数项之

53、和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和 S2mi = (2m1)am, S奇 = mam, S偶=(m1)am, S奇S5m一 S 偶=am _ 'S禺 m 12.等比数列的重要规律与推论(1)an = a1qn 1 = amqn m, p+q = m+n? apaq=aman.(2)an, bn成等比数列? anbn成等比数列.(3)连续m项的和(如Sm, S2m-Sm, S3m - S2m ,)仍然成等比数列(注意：这 连续m项的和必须非零才能成立).(4)若等比数列有2n项，公比为q,奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则pq.S»Sm 1 qm(5)等比数列刖m

54、项和与刖n项和：0n=n(qw 土).Sn 1 q '三、辨易错易混1 .数列中的最值错误【点睛】在关于正整数 n的二次函数中取最值的点要根据正整数距离二次 函数的对称轴的远近而定.2 .不清楚an与Sn的关系【点睛】已知数列an的前n项和Sn,求an时，利用an = Sn81,需注 意分n=1和n>2两种情况讨论.3 .不清楚裂项和拆项的规律，导致多项或少项【点睛】“裂项法”的特点：分式的每个分子相同，分母都是两个(或三个)代数式相乘，若不具备就需要转化.剩余项一般是前后对称.常见形式有:a aann+1，n2+2n，Vn+Vn+14 .忽视对等比数列中公比的分类讨论粹长逐渐变

55、小雨水惊蛰。清明谷雨/ 立春大赛300小寒f冬至270大雪'60小满芒种大暑 匕秋 /择长逐渐变大B.二尺五寸D.四尺五寸ai3 ai= 1.5尺，ai3=13.5 尺，则公差为 d=1 尺，则 a2=ai+d= 2.5 尺，即13-1n_ . . _ ai 1 q【点睛】在解决等比数列an的前n项和时，通常只想到 Sn=1 q把q=1的情况不自觉地排除在外，这是对前 n项和公式理解不透所致.解等比 数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论.保温训练1 .我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气密（卬i长损益相同 仰是按照日影测定时刻的仪器，密长即为所测 量影子的长度）.二十四个节气及密长变化如图所示，相邻两个节气密长的变化 量相同，周而复始.若冬至密长一丈三尺五寸，复至密长一尺五寸（一丈等于4尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）号长是（）A.五寸C.三