高一数学(人教新课标A版)对数与对数函数教师版

1、对数与对数函数一、目标认知学习目标1掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2掌握对数函数的概念、图象和性质.重点对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算对数运算.(一)对数概念：1如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b.其中

2、a叫做对数的底 数，N叫做真数.2对数恒等式：3对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数， .(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)； 推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a1， M>0的前提下有:(

3、1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即：.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论：.知识点二、对数函数1函数y=logax(a>0，a1)叫做对数函数.2在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象 随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=logax(a>0，a1)的定义域为(0，+)，值域为R(2)对数函数y=logax

4、(a>0，a1)的图像过点(1，0)(3)当a>1时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0 且a¹1， N>0， bÎR)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面

5、的等式是错误的：loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.(3)解决对数函数y=logax (a>0且a¹1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a， N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4

6、)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2求值： 解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，cR+，且不等

7、于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·l

8、g50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=

9、9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a>0，b>0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用4(1)已知logxy=a， 用a表示；(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x， bn=x， cp=x， ；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1) (2)；(3)法一： 法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数

10、为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三：【变式1】求值：解：另解：设 =m (m>0). ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?解

11、： ，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)； (2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为， 所以，

12、所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为 ax-k·2x>0， 所以()x>k. 1当k0时，定义域为R； 2当k>0时， (i)若a>2，则函数定义域为(k，+)； (ii)若0<a<2，且a1，则函数定义域为(-，k)； (iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为-1，1，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1x1，可得y=f(x)的定义域为，2，再由log2x2得y=f(log2x)的定义域为，4.类型七、函数图象问题7作出

13、下列函数的图象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3). 类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a1)思路点拨：由数形结合

14、的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5； 解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5； 解法3：直接用计算器计算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判

15、断大小. 解法1：当a>1时，y=logax在(0，+)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1<loga5.9当0<a<1时，y=logax在(0，+)上是减函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1>loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=ax在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（20

16、11 天津理 7）已知则（ ）A B C D解析：另，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得 又为单调递增函数， 故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2则又y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(logax)=(a>0且a1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(xR+， tR).当a>1时，t=logax为增函数，若t1<t2，则0<x

17、1<x2， f(t1)-f(t2)=， 0<x1<x2， a>1， f(t1)<f(t2)， f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数. 不论a>1或0<a<1， f(x)在R上总是增函数.10求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. y=t为减函数，且0<t4， y=-2，即函数的值域为-2，+.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3. t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而

18、在1，3)上递减，而y=t为减函数. 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性.(1) (2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. 解：由 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又 所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定

19、可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，

20、我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是. 解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R； 当a0时，有 a>1. a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0a1， a的取值范围为0a1.13已知函数h(x)=2x(xR)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函

21、数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0). 并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8) (a>1)，如图. A，C中点D的纵坐标为log2a+log2(a+8) S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2 =2log2(1+). 由于a>

22、1时，a2+8a>9， 1<1+<，又函数y=log2x在(0，+)上是增函数， 0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+，则： (1+)-(1+)=16()=16·， 由a1>1，a2>1，且a2>a1， a1+a2+8>0， +8a2>0， +8a1>0， a1-a2<0， 1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+)上是增函数， 于是可得f(a1)&

23、gt;f(a2) S=f(a)在(1，+)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列说法中错误的是( )A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可化为对数式C.以10为底的对数叫做常用对数D.以e为底的对数叫做自然对数2.有以下四个结论：lg(lg10)=0；ln(lne)=0；若10=lgx，则x=10；若e=lnx，则x=e2，其中正确的是( )A. B. C. D.3.下列等式成立的有( )；A. B.C. D.4.已知，那么用表示是( )A. B. C. D. 5.（2011 天津文6）设，则（）A.B. C.

24、D.6.已知，且等于( )A. B. C. D.7.函数的图象关于( )A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.直线对称8.函数的定义域是( )A. B. C. D.9.函数的值域是( )A. B. C. D.10.下列函数中，在上为增函数的是( )A. B.C. D.二、填空题11.3的_次幂等于8.12.若，则x=_；若log2003(x2-1)=0，则x=_.13.(1)=_； (2) 若_； (3)=_； (4)_； (5)=_；14.函数的定义域是_.15.函数是_(奇、偶)函数.三、解答题16.已知函数，判断的奇偶性和单调性.17.已知函数，(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性.

25、18.已知函数的定义域为，值域为，求的值.能力提升一、选择题1设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有( )A. B. C. D.2已知，那么a的取值范围是( )A. B. C. D.或a>13.图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )A. B.C. D.4.（2011 重庆理5）下列区间中，函数在其上为增函数的是 A. B. C. D. 5.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-，0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( )A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)>f(b+2)C.f(a

26、+1)<f(b+2) D.不能确定6.设方程2x+x-3=0的根为，方程log2x+x-3=0的根为，则的值是( )A.1 B.2 C.3 D.6二、填空题7.已知函数y=loga(kx2+4kx+3)，若函数的定义域为R，则k的取值范围是_； 若函数的值域为R，则k的取值范围是_.8.（2011 辽宁理 9）设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是A1，2B0，2C1，) D0，).9已知a=0.33，b=30.3， c=log30.3， d=log0.33，则a，b，c，d的大小关系是_.三、解答题10.设logac， logbc是方程x2-3x+1=0的两根，求的值.11.设

27、1)判断f(x)的单调性，并给出证明；2)若f(x)的反函数为f-1(x)，证明f-1(x)=0有唯一解；3)解关于x的不等式.12.光线通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后强度值为y.1)试写出y关于x的函数关系式；2)通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来的以下.答案与解析基础达标一、选择题1.B2.C3.B4.A5. D6.D7.C8.A9.C10.D二、填空题11.；12.-13，；13. (1)1；(2)12；(3)-3；(4)2；(5)4；14. 由 解得；15.奇， 为奇函数.三、解答题16.(1)，是奇函数

28、(2)，且，则，为增函数.17.(1)，又由得， 的定义域为. (2)的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数.18.由，得，即 ，即 由，得，由根与系数的关系得，解得.能力提升一、选择题1.设3a=4b=6c=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k， 同理，而， ，即.2.当a>1时，由知，故a>1；当0<a<1时，由知0<a<， 故.综上知：a的取值范围是或a>1.3.在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；所以相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为.选A.4.用图象法解决，将

29、的图象关于轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图象.由图象，选项中是增函数的显然只有D.5.由f(x)是偶函数，得b=0；又因为f(x)在(-，0)上是增函数，得0<a<1.所以0<a+1<2=b+2，由f(x)在(0，+)上是减函数，得f(a+1)>f(b+2)6.将方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如图所示，可知是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标.由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以A，B两点也关于直线y=x对称，所以，.注意到在直线y=-x+3上，所以有，即.二、填空题7.要使函数的定义域为R，只需对一切实数x， kx2+4kx+3>0恒成立，其充要