34基本不等式(全)

1、问题引入问题引入:? ,?2,. 122号成立的条件是什么如果能它们能成立相等关系吗的大小关系如何与则设abbaRba.,ba,abba:等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当结论结论 222?, 0, 0,. 2你能证明吗什么结果能得到分别代替用如果上述结论中bababa .,bab,a,abba:等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当结论结论 002知识要点知识要点:.,2,122等号成立时当且仅当有对任意定理baabbaRba .:2;,:1:baRba的条件取适用范围说明知识要点知识要点:.,2,2等号成立时当且仅当有对任意定理baabbaRba .:3.:2;,:1:数不小于它们的几何平

2、均两个正数的算术平均数语言描述的条件取适用范围说明baRba .2:4abba不小于半弦长圆的半径长几何解释:abba的的几几何何解解释释 2DAaCBbabE如图如图AB是圆的直径，在直径是圆的直径，在直径AB上取一点上取一点C，使，使AC=a，CB=b，过过C作弦作弦DE AB，连，连AD、BD，你能利用这个图形得出上述不等你能利用这个图形得出上述不等式的几何解释吗？式的几何解释吗？abCDCBACCD 2abCDba2而半径为基本不等式的应用基本不等式的应用:abcdbdaccdabdcba4:,:. 1求证都是正数已知例.cabcabcba: 222证证明明练练习习点评：点评：可以用基

3、本不等式来证明其它不等式，但要注意基本可以用基本不等式来证明其它不等式，但要注意基本不等式的不等式的适用范围适用范围，一般要点明，一般要点明等号成立的条件等号成立的条件。基本不等式的推广基本不等式的推广:.,.22,22等号成立时当且仅当则若bababaabRba即，两个正数的几何平均数小于等于算术平均数小于等于即，两个正数的几何平均数小于等于算术平均数小于等于平方平均数。平方平均数。”成立）时“当且仅当（）公式变形：（baRbababaab,22)(1222)0(22”成立时“且当且仅当）（baababba基本不等式的应用基本不等式的应用:例例2.2.x0 0，求，求 的最小值的最小值1xx

4、+变式一：变式一：x0 0，求，求x + + 的最大值的最大值x1变式二变式二: :设设0 0 x1 1，求函数，求函数 的最小值的最小值xxy3 变式三变式三: :设设x5 5，求函数，求函数 的最小值的最小值xxy3 点评点评:可以用基本不等式来求某些函数的最值可以用基本不等式来求某些函数的最值, 但要但要注意基本不等式的注意基本不等式的适用范围适用范围，一般要点明，一般要点明等号成立的条件等号成立的条件.练习：练习：例例3、求求 的最小值的最小值.（其中（其中 ）1432xxy1xmin2 31,4 353xy=+=+当且仅当时2:1,.1xxyx=-变式1 已知求的最小值点评：为凑积为

5、定值点评：为凑积为定值, 技巧技巧: 添项添项 拆项拆项233,31xxyxxx若函数，当 为何值时，函数有最值，并求其最值思思考考：，并求其最值为何值时，函数有最值当，函数：若变式xxxxyx313, 322基本不等式的应用基本不等式的应用:已知已知 x , y 都是都是正数：正数： （1）如果积）如果积 xy 是定值是定值P , 那么当那么当 x = y 时时, 和和 x + y 有最值有最值 ； （2）如果和）如果和 x + y 是定值是定值S , 那么当那么当 x = y 时时, 积积 xy 有最大值有最大值 .p2241S.,:积最大和定和最小积定的前提下两数为正数结论“一正二定三相

6、等一正二定三相等”基本不等式的应用基本不等式的应用:()( )( )224.,10,02,.2,28,loglog.31,33.abxyxyxyx yxyxyab=+=+= -+例 根据条件 求下列式子的最值 要求指明是最大还是最小值 并指出何时取到最值？若且求的最值若为正数且 求的最值若求的最值.,:积最大积最大和定和定和最小和最小积定积定的前提下的前提下两数为正数两数为正数点评点评“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”基本不等式的应用基本不等式的应用:()51.0,522xxx=+=+例 已知且 试求和的取值范围。的不等式。的不等式。利用均值定理建立利用均值定理建立点评点评ab:117.

7、,31,x yxyxy+=+例 若正数满足求的最小值。yxyxy,x 3231为正数得为正数得解：由解：由321 xy故故343212211211 xyyxyx.yx3411的的最最小小值值为为 错错等号当且仅当等号当且仅当3 x = y时成立。时成立。等号当且仅当等号当且仅当 即即 x = y 时成立。时成立。y1x1 故两个等号不能同时成立。故两个等号不能同时成立。117.,31,x yxyxy+=+例 若正数满足求的最小值。点评点评:1.:1.利用两次均值定理求最值时利用两次均值定理求最值时, ,一定要注意一定要注意 等号的传递性等号的传递性, ,即两个等号成立的条件即两个等号成立的条件一一 定要一致。定要一致。2.2.最简单的解法数最简单的解法数“1 1”的替代。的替代。基本不等式的应用基本不等式的应用:19.,1,x yxyxy+=+变式若正数满足求的最小值。小结小结:1.基本不等式基本不等式:.,.22,2