简化解析汇报几何运算技巧专题

1、实用文档专题：简化解析几何运算的5 个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程技法一巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导， 把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上

2、典例 如图，f1，f2是椭圆c1：x24y2 1 与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是 ( ) a2 b 3 c32d 62 解析 由已知，得f1( 3，0) ，f2(3，0) ，设双曲线c2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得|af1| |af2| 4，|af2| |af1| 2a，|af1|2 |af2|212，解得a22，故a2所以双曲线c2的离心率e3262 答案 d 方法点拨 本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|af1| ，|af2| 的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线

3、的离心率，大大降低了运算量 对点演练 抛物线y24mx(m0) 的焦点为f， 点p为该抛物线上的动点，若点a( m,0) ， 则|pf|pa|的最小值为 _实用文档解析：设点p的坐标为 (xp，yp) ，由抛物线的定义，知|pf| xpm，又 |pa|2(xpm)2y2p (xpm)24mxp， 则|pf|pa|2xpm2xpm24mxp114mxpxpm2114mxp2xpm212( 当且仅当xpm时取等号 ) ，所以|pf|pa|22，所以|pf|pa|的最小值为22答案：22技法二设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程

4、的问题时，常常可以用代点法求解 典例 已知椭圆e：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为f(3 ，0)，过点f的直线交e于a，b两点若ab的中点坐标为(1， 1) ，则e的标准方程为 ( ) ax245y2361 b x236y2271 cx227y2181 d x218y291 解析 设a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则x1x22，y1y2 2，x21a2y21b2 1，x22a2y22b2 1，得x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，所以kaby1y2x1x2b2x1x2a2y1y2b2a2又kab013112，所以b2a212又 9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭

5、圆e的方程为x218y291 答案 d 方法点拨 实用文档本题设出a，b两点的坐标，却不需求出a，b两点的坐标，巧妙地表达出直线ab的斜率，通过将直线ab的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题 对点演练 过点m(1,1)作斜率为12的直线与椭圆c：x2a2y2b21(ab 0) 相交于a，b两点，若m是线段ab的中点，则椭圆c的离心率等于 _解析：设a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212

6、，a22b2又b2a2c2，a22(a2c2) ，a22c2，ca22即椭圆c的离心率e22答案：22技法三巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标， 用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷 典例 (2016 全国甲卷 ) 已知椭圆e：x2ty231 的焦点在x轴上，a是e的左顶点，斜率为k(k0)的直线交e于a，m两点，点n在e上，mana(1) 当t4，|am| |an| 时，求amn的面积；(2) 当 2|am| |

7、an| 时，求k的取值范围 解 设m(x1，y1) ，则由题意知y10实用文档(1) 当t4 时，e的方程为x24y231，a( 2,0) 由已知及椭圆的对称性知，直线am的倾斜角为4因此直线am的方程为yx2将xy2 代入x24y231，得 7y212y0解得y0 或y127，所以y1127因此amn的面积samn21212712714449(2) 由题意知t3，k0，a( t，0) 将直线am的方程yk(xt) 代入x2ty231，得(3 tk2)x22ttk2xt2k23t 0由x1( t) t2k23t3tk2，得x1t3tk23tk2，故|am| |x1t|1k26t1k23tk2由

8、题设，直线an的方程为y1k(xt) ，故同理可得 |an| 6kt1k23k2t由 2|am| |an| ，得23tk2k3k2t，即(k32)t3k(2k1) 当k32时上式不成立，因此t3k2k1k3 2t3 等价于k32k2k2k32k2k21k3 20，即k 2k320，k3 20或k20，解得32k2故k的取值范围是 (32，2) 方法点拨 实用文档本例在第 (2) 问中可应用根与系数的关系求出x1t3tk23tk2， 这体现了整体思路 这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量 对点演练 (2016 兰州实战考试) 已知椭圆c：x2a2y2b21(

9、ab0) 的离心率为12， 且经过点p1，32，左、右焦点分别为f1，f2(1) 求椭圆c的方程；(2) 过f1的直线l与椭圆c相交于a，b两点，若af2b的内切圆半径为327，求以f2为圆心且与直线l相切的圆的方程解： (1) 由ca12，得a2c，所以a24c2，b23c2，将点p1，32的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为x24y231(2) 由(1) 可知f1( 1,0) ，设直线l的方程为xty1，代入椭圆方程，整理得(43t2)y26ty90，显然判别式大于0 恒成立，设a(x1，y1) ，b(x2，y2)，af2b的内切圆半径为r0，则有y1y26t43t2，y1y294

10、3t2，r0327，所以saf2bsaf1f2sbf1f212|f1f2| |y1y2| 12|f1f2| y1y224y1y212t2143t2而saf2b12|ab|r012|bf2|r012|af2|r012r0(|ab| |bf2| |af2|) 12r0(|af1| |bf1| |bf2| |af2|) 12r04a128327实用文档1227，所以12t2143t21227，解得t21，因为所求圆与直线l相切，所以半径r2t212，所以所求圆的方程为(x1)2y22技法四借“曲线系” ，理清规律利用曲线系解题，往往简捷明快， 事半功倍， 所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和

11、技巧之一 典例 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0) 的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为( ) ax236y2108 1 b x29y2271 cx2108y236 1 d x227y291 解析 由双曲线x2a2y2b21(a0，b0) 的一条渐近线方程是y3x，可设双曲线的方程为x2y23(0)因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0) 的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以f( 6,0) 是双曲线的左焦点，即336， 9，所以双曲线的方程为x29y2271 答案 b 方法点拨 本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决避免

12、了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍 对点演练 圆心在直线xy40 上， 且经过两圆x2y26x40 和x2y26y280 的交点的圆的方程为 ( ) ax2y2x7y320 b x2y2x7y160 cx2y24x4y90 d x2y24x4y80 解析：选 a 设经过两圆的交点的圆的方程为实用文档x2y2 6x4(x2y26y28) 0，即x2y261x61y42810，其圆心坐标为31，31，又圆心在直线xy40 上，所以313140，解得 7，故所求圆的方程为x2y2x7y 320技法五巧引参数，方便运算换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式

13、问题等， 利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、 直线的倾斜角等在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件 典例 设椭圆x2a2y2b21(ab0) 的左、 右顶点分别为a，b，点p在椭圆上且异于a，b两点，o为坐标原点若|ap| |oa| ，证明直线op的斜率k满足 |k| 3 解 法一：依题意，直线op的方程为ykx，设点p的坐标为 (x0，y0) 由条件，得y0kx0，x20a2y20b21.消去y0并整理，得x20a2b2k2a2b2由|ap| |oa| ，a

14、( a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2x20a2，整理得 (1 k2)x202ax00而x00，于是x0 2a1k2，代入，整理得(1 k2)24k2ab24又ab0，故 (1 k2)2 4k24，即k214，因此k23，所以 |k| 3法二：依题意，直线op的方程为ykx，可设点p的坐标为 (x0，kx0) 由点p在椭圆上，得x20a2k2x20b21实用文档因为ab 0，kx00，所以x20a2k2x20a21，即(1 k2)x20a2由|ap| |oa| 及a( a,0)，得 (x0a)2k2x20a2，整理得 (1 k2)x202ax00，于是x0 2a1k2，代入，得 (1 k

15、2) 4a21k22a2，解得k23，所以 |k| 3法三：设p(acos ，bsin )(0 2) ，则线段op的中点q的坐标为a2cos ，b2sin |ap| |oa| ?aqop?kaqk 1又a(a,0) ，所以kaqbsin 2aacos ，即bsin akaqcos 2akaq从而可得 |2akaq| b2a2k2aqa1k2aq，解得 |kaq| 33故 |k| 1|kaq|3 方法点拨 求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量 对点演练 (2016长春市质量检测)椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，且离心率为12，点p为椭圆上一动点，f1pf2面积的最大值为3(1) 求椭圆的方程；(2) 设椭圆的左顶点为a1，过右焦点f2的直线l与椭圆相交于a，b两点，连接a1a，a1b并延长分别交直线x 4 于r，q两点，问rf2qf2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解： (1) 已知椭圆的离心率为12，不妨设ct，a 2t，则b3t，其中t0，当f1pf2面积取最大值时，点p为短轴端点，因此12 2t3t3，解得t1，实用文档则椭圆的方程为x24y231(2) 由(1) 可知f2(1,0) ，a1( 2,0) 设直线ab的方程为xmy1，a(x1，y