w静止电荷的电场实用教案

1、5.1 电荷(dinh)(electric charge)1. 两种电荷(dinh)2.电荷(dinh)守恒定律(law of conservation of charge) 在一个与外界没有电荷交换的系统内, 正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变.3.电荷量子化(quantization of electric charge) 实验证明: 微小粒子带电量的变化不是连续的,只能是某个基元电荷e 的整数倍. 1060217733. 119ce(库仑)4.电荷的相对论不变性(relativistic invariance of electric charge) 电荷的电量与其运动无关即在不同的

2、参考系内观察同一带电粒子的电量不变enHTU4223490238921986年推荐值：夸克带有分数电荷：(1/3)e ; (2/3)e夸克理论：强子（如质子、中子、介子等）由夸克构成第1页/共128页第一页，共129页。5.2 库仑定律(k ln dn l)与叠加原理1. 两个(lin )点电荷相互作用库仑定律(k ln dn l)(Coulomb law) 在真空中, 两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与它们的电量q1和q2的乘积成正比, 与它们之间的距离的平方成反比, 作用力的方向沿着它们的连线, 同号电荷相斥, 异号电荷相吸.21F12Frq1q2表示单位矢量SI制:041k0 真空介

3、电常数（真空电容率）)(10854187817. 822120mNC 229229109109880. 8CmNCmNrerqqF22101241rererqqkF22112re第2页/共128页第二页，共129页。rerqqF32101241库仑定律(k ln dn l)的另一种表述(1) 库仑定律(k ln dn l)适用于真空中的点电荷；(2) 库仑力满足牛顿第三(d sn)定律；(3) 电荷之间距离小于 时, 库仑定律仍保持有效.至于 大距离方面,虽然未作过实验验证,但也并没有特殊的理由 预料在大距离情况下库仑定律将失效.m1010r讨论万电FF (4) 距离相同的两个带电粒子rerq

4、qF22101241放宽条件：施力电荷须静止，受力电荷静止或运动均可。第3页/共128页第三页，共129页。氢原子中电子和质子的距离为 解N101 . 8)103 . 5()106 . 1 (100 . 94182112199220reFe例此两粒子间的电力和万有引力。求m103 . 511两粒子间的静电力大小为两粒子间的万有引力为2112731112)103 . 5(107 . 1101 . 9107 . 6rmmGFpegN107 . 347万电FF 第4页/共128页第四页，共129页。2. 静电力的叠加原理（独立(dl)作用原理）12,nq qq作用(zuyng)在q0上的总静电力Fi

5、F为qi单独(dnd)存在时q0受力1q4q3q2qoq1Or2Or4Or3Or实验表明，库仑力满足线性叠加原理，即不因第三者的存在而改变两者之间的相互作用。1F2F3F4Fn1ii02i0i00n1iirrqq41FF0221012rrqq41F第5页/共128页第五页，共129页。 7.3 电场(din chng)和电场(din chng)强度 一.电场(din chng)的物质性1. 电荷之间的相互作用是通过电场传递(chund)的，或者说电荷周围存在有电场，引入该电场的任何带电体，都受到电场的作用力。2.场的物质性体现在：a.给电场中的带电体施以力的作用。b.当带电体在电场中移动时，电

6、场力作功. 表明电场具有能量。c.变化的电场以光速在空间传播，表明电场具有动量电荷 电场 电荷表明电场具有动量、质量、能量，体现了它的物质性.第6页/共128页第六页，共129页。Qrq0AFABBF1不同点处:试探电荷受到的力的大小和方向可能(knng)不同0qFA0qEFAA场源电荷(dinh)检验(jinyn)电荷2任一固定点：比值F/q0是一个大小和方向都与试探电荷无关的矢量3当将电荷Q拿走发现试探电荷不再受到力的作用定义:电场强度(electric field intensity)0qFE某处的电场强度的大小等于单位电荷在该处所受到的电场力的大小,其方向与正电荷在该处所受到的电场力的

7、方向一致.在SI制中:E的单位是CNE是矢量坐标的一个矢量函数二.电场强度 (electric field strength)带电量足够小检验电荷质点0r第7页/共128页第七页，共129页。12nEEE 一组点电荷在某点激发的场强,等于每个点电荷单独存在时所产生(chnshng)的电场在该点场强的矢量和,称为场强的叠加原理1niiFF由则0qFE10niiFq10niiFq0iiFEq每个点电荷单独(dnd)存在的场强1niiEE12,nq qq场源电荷(dinh) 检验电荷q0 点电荷q在电场 中受力 EFqE总场E三.场强的叠加原理第8页/共128页第八页，共129页。1.场源电荷(di

8、nh)点电荷(dinh)产生的场强位矢 求场点rO 场源pq2、场源电荷(dinh)点电荷(dinh)系电场中的场强nii02ii0niirrq41EE112r1r3r3q2q1qp表示 的单位矢量。iri0r0200rrqq41F0200rrq41qFE（呈球对称分布）反向。与时，当同向；与时，当rEqrEq00第9页/共128页第九页，共129页。3、场源电荷(dinh)连续分布（连续带电体)电场中的场强将带电体分成很多元电荷(dinh) dq ,先求出它在任意场点p 的场强对场源求积分(jfn)，可得总场强：rerdqEdE2041以下的问题是如何选出合适的坐标，给出具体的表达式和实施计

9、算。pEddqqd : 电荷线密度 :电荷面密度 :电荷体密度（线分布）l d（面分布）Sd（体分布）VdrerqE20d41dr第10页/共128页第十页，共129页。五、电偶极子的电场强度(qingd)（离散分布电荷的电场）lqp（偶极矩）-电偶极子的极轴lqqpl定义(dngy)电偶极矩方向：-q +q第11页/共128页第十一页，共129页。l qp 求电偶极子延长线上的场强分布(fnb)qq2l2lArEE2042,()qErl 2042,()qErl lOxAEEE22204241lrqlr30241rp30241rpEAlr 由于或2202241lrqlrq30241rqlEA第

10、12页/共128页第十二页，共129页。qqlz30241rpEA30241rpEA 求电偶极子中垂线上的场强分布(fnb)：220144,()qEErl 2122220424412lrllrq)(23220441lrql3041rpEB3041rpEBcos)4(412220lrqEBB点总场强为或lr 由于lqpEEBE延长线上：Br第13页/共128页第十三页，共129页。电荷与电场间的相互(xingh)关系有两方面：电荷产生电场 电场对电荷施加力的作用例1：计算电偶极子在均匀电场中所受的力和力矩 为什么值时P达到平衡？是 稳 定 平 衡 ( w n d n g pnghng)还是不稳定

11、平衡(wndng pnghng)？点电荷q在电场 中受力 EFqE带电体在电场(din chng)中受的力和运动第14页/共128页第十四页，共129页。 F+=qE F-=-qE 大小相等方向相反(xingfn)则：合力F=0而总力矩(l j)M sinsin2sin2qlElFlFM表明(biomng)： 2（垂直）M最大0（平行）M=0力矩的作用总是使电偶极子转向场强E的方向平衡时M=0： 当=0时，是稳定平衡点，因此时当P稍离开=0位置M使之回到=0位置； 当=时，是不稳定平衡点，因此时当P稍离开=位置M 不是使之回到=位置而是使之离开=位置回到=位置。第15页/共128页第十五页，共

12、129页。电场(din chng)强度0qFE场源为点电荷：场源为点电荷系：21014niriiiqEer场源电荷(dinh)连续分布：204rdqdEer1)电荷线分布.dxdq2)电荷面分布.dsdq3)电荷体分布.dqdV电荷的线密度,线元dx电荷的面密度,面元ds电荷的体密度,体积元dVrerqqF20041库仑定律(k ln dn l)rerqqF30041rerdqEdE2041rerqF2041第16页/共128页第十六页，共129页。电场强度计算的步骤大致如下： 任取电荷元dq，写出dq在待求点的场强的表达式； 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； 进行积分计算；

13、 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小(dxio)和方向；在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。rerdqEd2041或 jEiEEyxpdqxxdEEyydEExyyxpEEtgEEE 22第17页/共128页第十七页，共129页。例 2 均匀带电(di din)直线周围电场分布,如图所示er4dqEd20sin20 xr4dqdE cos20yr4dqdE yxxdEEdaydEdq21psin42120rdqdEExxo.dasin4210actgy 2sinaddy 222sinar sin42120rdyr)cos(cos4210a电荷的线密度为dydqsinsin

14、cossincos)sincos(2第18页/共128页第十八页，共129页。cos42120rdqdEEyy)sin(sin4cos4120021adaxyyxpEEtgEEE 22讨论(toln):1) 当p 点落在带电(di din)直线的中垂线上, 2=-1则0yE只剩下(shn xi)2)当带电直线为长时,即 10 ,2 aEExy02 0 aE02 )cos(cos4210aEx或jEiEEyxp44cos222010laalaExyxxdEEdaydEdq21po.rl第19页/共128页第十九页，共129页。讨论(toln):aE02 3)当带电(di din)直线为半长时,如

15、 1/2 ,2 aEx04aEy044)当 时,la )sin(sin4120aEy1) 当p 点落在带电直线的中垂线上,则0yE只剩下2)当带电直线为长时,即 10 ,2 )cos(cos4210aEx jEiEEyxp44cos222010laalaEx202044aqalExyxxdEEdaydEdq21po.r第20页/共128页第二十页，共129页。例3 求均匀带电细圆环轴线上任(shng rn)一点的电场。roxzyxdqEdR解 以圆心为原点，轴线(zhu xin)为x轴，建立坐标系。设圆环半径(bnjng)为R，带电量为q。在环上任取电荷元dq。rerdqrrdqEd20304

16、141则：由对称性分析：iEEx可可得得xxdEEcosdEcos420rdq已知：22cosRxxrx30030030444rqxdqrxdqrxEEqqx232204Rxqx第21页/共128页第二十一页，共129页。v讨论(toln)：当xR:203044xqxqxE表明远离环心处的电场相当于一个点电荷q产生的电场 可以(ky)当作一个点电荷。roxzyxdqEdR232204RxqxE当x=0:0E当x=?:maxEEx dxdE解解得得0304rqx第22页/共128页第二十二页，共129页。PRxyXrpEddlRqdq)2(rperdqEd2041lpxprdqEEcos4120

17、rxcosRqdlrxrl241203030248rqxdlRrqxl23220)(4Rxqx第23页/共128页第二十三页，共129页。例3 求图所示均匀带电圆面轴线上的电场(din chng)分布，已知面密度，半径R。OORrPXdrx1.取环带dr2rdrdq2323220)(4rxxdqdEp23220)(2rxxrdrdrrxxrdrdEERRpp0232200)(2)()(21222232200 xrdrxxR第24页/共128页第二十四页，共129页。012)21(2220Rrxx)11(2220 xxRx)1 (2220 xRx讨论(toln)：1)当R (xR，亦可证明(zh

18、ngmng)204xQE2221222111xRxR200412111222xqExR第25页/共128页第二十五页，共129页。xyOEdEd 例5. 半径为 R的半圆周上均匀地分布(fnb)着线密度为的正电荷，求圆心处的场强。解：（1）由对称性知：0yE（2）RdRRdRdqdE02020444sindEdExRRdsinEEx00024方向(fngxing)沿X轴dqdq四分之一圆弧段在圆心(yunxn)产生的场强：cosdEdEyRRdEx020044sinRRdEy020044cos)(40jiRE)(40jiRE第26页/共128页第二十六页，共129页。21014niriiiqE

19、er204rdqdEer204rdqEdEer1.无限长带电(di din)直线周围的场强：aE02 3.均匀带电圆环轴线(zhu xin)上任一点P的电场：23220)(4axqxE1）xa时，204xqEP2）当x=0(环心处) E=04.无限大均匀(jnyn)带电平面：02E点电荷5.均匀带电半圆环圆心处的场强：RE02 rerqE20412.半无限长带电直线周围的场强：aEEyx04四分之一圆弧段在圆心产生的场强：REEyx04第27页/共128页第二十七页，共129页。图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别(fnbi)为(x0和 (x0)，则Oxy坐标平面

20、上点(0，a)处的场强E为 (A) 0 (B) ia02(C) ia04 (D) jia04 B3、两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别(fnbi)为s和2 s，如图所示，则A、B、C三个区域EB_，EC_(设方向向右为正) 的电场(din chng)强度分别为： EA_，3s / (20) s / (20) 3s / (20)第28页/共128页第二十八页，共129页。一电场线（电力线）（ electric field line ）反映电场(din chng)强度的分布SNEdd任意(rny)两条电场线不相交.不能相切。起始于正电荷（或无穷(wqing)远处），终止于负电荷（

21、或无穷(wqing)远处）5.4 电通量 高斯定理ESd 电场线的特点:场强方向沿电场线切线方向，场强大小取决于电场线的疏密 静电场的电场线不会形成闭合曲线dN定量描述不中断（电场线在无电荷处连续）第29页/共128页第二十九页，共129页。+2q-q第30页/共128页第三十页，共129页。第31页/共128页第三十一页，共129页。 二 电通量 (electric flux) epdSdNpE)()(pedSdpE)()(1）均匀(jnyn)场中通过dS 面元的电通量NeddnSS dd矢量(shling)面元SEedd2）非均匀场中通过有限(yuxin)大曲面 S的电通量SdSdnSEd

22、 cosSdEESEdS：通过电场中某一曲面电场线条数,用e表示。均匀电场，dS 法线方向与电场强度方向成角desES第32页/共128页第三十二页，共129页。3） 闭合(b h)曲线面 S 的电通量.nEBEnA方向的规定：自内向外的法向为正方向n(1) (2) 电通量是代数量(shling)穿出为正 穿入(chun r)为负 0dd11SEe0dd22SEeSSEeedd穿出、穿入闭合面电力线条数之差 (3) 通过闭合曲面的电通量202SSEeedd几何含义：通过闭合曲面的电场线的净条数第33页/共128页第三十三页，共129页。三 高斯(o s)定律（Gauss law)如图 ,以点电

23、荷的中心(zhngxn)作半径为 r 的球面.+qneEdSrqSdEde204dsrqdssee 204022044qrrq 1.求包围点电荷 q 的同心(tngxn)球面 S 的电场通量rsd0qSdESe通过球面的电通量与球面半径无关，说明对以点电荷 q为中心的任意球面而言，通过它们的电通量都一样。即由场源电荷+q发出的电场线连续的延伸到无穷远而不会中断第34页/共128页第三十四页，共129页。2. 求包围(bowi)点电荷 q 的任意闭合曲面的电通量由于上述结论与球面半径r无关(wgun),说明对以点电荷 q为中心的任意 球面而言，通过它们的电通量都一样。对两个无限接近的球面(qim

24、in)，通过它们的电通量都相同，说明电场线在无电荷处连续SqS以q为球心在任意S闭合曲面内外 取同心球面S和S”q通过S”和S的电场通量相同为所以通过S的电通量SeqSdE0S0q e 与曲面的形状和 q 的位置无关，只与闭合曲面包围的电荷电量 q 有关。第35页/共128页第三十五页，共129页。3. 求通过(tnggu)不包围点电荷任意闭曲面 S 的电通量qS电场线在无电荷(dinh)处连续进入与穿出S面的电场线数量(shling)相同SeSdE04. 多个点电荷电通量等于它们分别单独存在时的电场通量的代数和内）SiqSdE(01S第36页/共128页第三十六页，共129页。nEEEE 2

25、1SeSdE SnSSSdESdESdE21enee 21 int0002011qqqqn高斯定律(dngl)表述 :真空静电场中通过(tnggu)任意闭合曲面 S 的电场通量e,等于该曲面所包围的电荷的代数和 iq 除以 0，与闭合曲面外电荷(dinh)无关S内S内iseqsdE01第37页/共128页第三十七页，共129页。注： 高斯定律是关于场源电荷(dinh)与它的电场的关系的普遍规律3.源于库仑定律 高于库仑定律。库仑定律只适用于静电场；而高斯定律也适用于运动(yndng)电荷形成的电场.2. e：是通过封闭面的总电通量，只与闭合面内的电量有关, 与电荷(dinh)的分布无关。即仅高

26、斯面内的电荷(dinh)对高斯面的电通量有贡献.内qSEe01dSVSEVed1d0S(不连续分布的源电荷)(连续分布的源电荷)高斯定律 是曲面上各点的场强，是所有电荷（面内外电荷）产生的总电场强度；与电荷量，电荷的分布有关E因此第38页/共128页第三十八页，共129页。4）高斯(o s)定律的微分形式eE01a、q0，则 ，电场线穿出闭合曲面故。b、q0 , 场是面对称的, 做柱形高斯面. 侧面垂直与带电面. 由高斯定律得: 02EeEE若等量异号电荷 - 一对无限大平行平面薄板之间的场强 0E012 ESSSSS第46页/共128页第四十六页，共129页。例6 一电量(dinling)为

27、 Q 的点电荷 位于边长为 a 的正方形平面的中垂线上，Q与平面中心 O 点相距 a/2 ，求通过正方形平面的电通量。解：以正方形为一面作一立方体状平面，将 Q 包围，使Q位于立方体的中点(zhn din)，则通过该闭合面的电通量为：0QSdES由对称性知，通过一个面的电通量为：06Q Q2aaaaaO第47页/共128页第四十七页，共129页。解：把半球面的下方补上一个一个圆面S，即成为一个封闭曲面S，则穿过整个去面S的电通量为零，由题意得，圆面S的方向与E圆面的电通量也为零，因此穿过半球面的电通量为零。垂直，所以穿过EEx2R E2/2R E22 R E 一电场(din chng)强度为的

28、均匀(jnyn)电场，的方向(fngxing)与沿轴正向，如图所示则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为 (A) (B) (C) D (D) 0 x O E 第48页/共128页第四十八页，共129页。xyOEdEd 例5. 半径为 R的半圆周(yunzhu)上均匀地分布着线密度为的正电荷，求圆心处的场强。解：（1）由对称性知：0yE（2）RdRRdRdqdE02020444sindEdExRRdsinEEx00024方向(fngxing)沿X轴dqdq四分之一圆弧段在圆心(yunxn)产生的场强：cosdEdEyRRdEx020044sinRRdEy020044cos)(40jiRE)

29、(40jiRE第49页/共128页第四十九页，共129页。21014niriiiqEer204rdqdEer204rdqEdEer1.无限(wxin)长带电直线周围的场强：aE02 3.均匀带电圆环轴线上任(shng rn)一点P的电场：23220)(4axqxE1）xa时，204xqEP2）当x=0(环心处) E=04.无限大均匀带电(di din)平面：02E点电荷5.均匀带电半圆环圆心处的场强：RE02 rerqE20412.半无限长带电直线周围的场强：aEEyx04四分之一圆弧段在圆心产生的场强：REEyx04第50页/共128页第五十页，共129页。4.将一“无限长”带电细线弯成图示

30、形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为l，四分之一圆弧AB的半径(bnjng)为R，试求圆心O点的场强 OBA解：在O点建立坐标系如图所示 半无限长直线(zhxin)A在O点产生的场强： jiRE014半无限(wxin)长直线B在O点产生的场强： jiRE024 四分之一圆弧段在O点产生的场强：jiRE034 OBAyx3E2E1EjiREEEE03214由场强叠加原理，O点合场强为： 第51页/共128页第五十一页，共129页。01deisEsqS S内内应用高斯定理求场强的要点:（1）分析 的对称性；E（2）选取合适(hsh)的高斯面 ，p 需通过待求 的区域；Ep 让 S 上待求 处，EsE

31、d且 E 等大，使得(sh de) ， sEsEdd 。或或，或或 sEEsEd00d其余(qy)处必须有原则：（3）根据高斯定理列方程求解VVd10第52页/共128页第五十二页，共129页。三、计算题 5 图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度(md)为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势 1E2E3E21111400()SE dSErErR3332112222004 ()4()33SrRRE dSErErr3333221213332004 ()()433SRRRRE dSErEr22RprrRuE drEdrEdr2322333121220

32、()()3RrRRRRrdrdrrr2233312120()()3RrRRRRrrr第53页/共128页第五十三页，共129页。静电场的环路(hun l)定理 电势能Lqaq0brFdrldq0 由 a 点b 点，q的电场力的所做的功ba0ba0baldEqldEqldFWdrdlcos204rqEbarr200drr4qq)(WLba00r1r14qldEq移动单位正电荷静电场力对 q0 做功与路径无关，仅与 q0 的始末(shm)位置有关或者(huzh)：电场强度的线积分与积分路径无关，仅与起点a和终点b的位置有关一 静电力的功barqqrqq14140000arbr-点电荷电场力作功只与

33、试验电荷始末位置有关，而与其运动路径无关。由上式得第54页/共128页第五十四页，共129页。静电力是保守(boshu)力,静电场是保守(boshu)场若点电荷系 q1,q2,qn 激发(jf)场 q0 从P1P2电场强度(qingd)的线积分为222111()()()12()()()PPPnPPPE drEdrEdr以上每一项为点电荷的电场强度的线积分，均与积分路径无关对任意静电场，电场强度的线积分（静电场力移动单位正电荷做功）均与路径无关，仅与始末位置有关r结论)()(21)()(2121).(PPnPPl dEEEl dE第55页/共128页第五十五页，共129页。二.静电场的环路(hu

34、n l)定理(circuital theorem of electrostatic field).LP1P2L1L2)()()()(122211PPLPPLLl dEl dEl dE)()()()(212211PPLPPLl dEl dE对任意静电场，电场强度的线积分与路径无关(wgun)，仅与 q0 的始末位置有关00l dEL在静电场中,场强沿任意(rny)闭合路径的线积分(沿任一闭合路径的环流)恒等于零静电场环路定理(1) 环路定理要求电场线不能闭合。r讨论第56页/共128页第五十六页，共129页。(2) 静电场是有源、无旋场，可引进(ynjn)电势能。环路(hun l)定理的微分形式

35、：ddLsEl(E )s 0E说明(shumng)静电场是无旋场 根据矢量场的斯托克斯公式eE01说明静电场是有源场 0EE称 E的旋度第57页/共128页第五十七页，共129页。三. 电势(dinsh)能ab ba0abldEqWq0q0v电势(dinsh)能的定义000daaPalEqWEq0 在电场(din chng)中某点 a 的电势能：barqqrqq14140000pbpaEE 将 q0 从ab 电场力做功保守力做功等于势能增量的负值 -系统在a点电势能 -系统在b点电势能paEpbE令 -b点为电势能参考点0pbE第58页/共128页第五十八页，共129页。如图所示, 在带电量为

36、 Q 的点电荷所产生(chnshng)的静电场中，有一带电量为q 的点电荷aaaParqQrrQqlEqE02044dd解选无穷远为电势(dinsh)能零点ba cQqq 在a 点和 b 点的电势(dinsh)能求例bbPbrqQlEqE04d两点间的电势能差为：babapbparrqQlEqEE)11(4d0cacaParrqQlEqE)11(4d0选 C 点为电势能零点cbcbPbrrqQlEqE)11(4d0第59页/共128页第五十九页，共129页。(1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统所共有。(3) 选电势能零点原则：(2) 电荷在某点电势能的值与电势能零点有关,而两点的

37、差值与电势能零点无关 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。 当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选无穷远处。 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。r说明第60页/共128页第六十页，共129页。四 电势(dinsh) 电势(dinsh)差(electric potential and potential difference)0aaqPEV 000daalEqA 电势(dinsh)定义 电势差00qEqEpbPabaabUVV 0qWabbalEd移动单位正电荷自该点“势能(shnng)零点”过程中电场力作的功 。0aaldEV移动单位正电荷自 ab过程中电场力作的功。baablE

38、Ud1. 电势 电势差000daaPalEqWE（任意路径）（任意路径）第61页/共128页第六十一页，共129页。已知静电场的电势分布，可以(ky)方便的计算出点电荷在静电场中移动时电场力所做的功. )V(VWba0ba0abqldEq场源点电荷的电势(dinsh)：rqdrrql dEVrrp020442电势(dinsh)的叠加原理(superposition princple of electric potential ) 00)(21PPnPPpl dEEEl dEV 00021PPPPnPPl dEl dEl dEniiVV电势的叠加原理一个电荷系的电场中任一点的电势等于每一个带电体

39、单独存在时 在该点所产生的电势的代数和球对称标量 有正负第62页/共128页第六十二页，共129页。1）. 点电荷的电势(dinsh)： rqVp042）. 点电荷系的电势(dinsh)：(q1,q2,qn)niiiniirqVV043）.电荷连续分布(fnb)带电体,场中 P 点电势：rdqVp04线电荷分布dldq面电荷分布dsdq体电荷分布dvdq第63页/共128页第六十三页，共129页。电势(dinsh)的计算：（一）定义(dngy)式：（普遍适用）0PPrdEV011PPPPrdErdE（二）点电荷电势(dinsh)叠加法：niiiniirqVV10141）2）rdqdVV04（条

40、件是无穷远处电势为零才适用）步骤：（1）选取坐标系，写出dq、r, 并选取零电势点.（2）统一变量，确定积分上下限，积分求解选择一简洁的路径第64页/共128页第六十四页，共129页。例求均匀带电圆环轴线(zhu xin)上的电势分布QRPxdqrrdqdVp04LLppdqxRdVV220412204xRq2202xRR23220)(4RxqxEpxxPpRxxdxqxdE23220)(422022041) 2(214RxqxRxq1）2）Rq2第65页/共128页第六十五页，共129页。三、计算题 5 图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2设无穷远处

41、为电势(dinsh)零点，求球层中半径为r处的电势(dinsh) 1E2E3E21111400()SE dSErErR3332112222004 ()4()33SrRRE dSErErr3333221213332004 ()()433SRRRRE dSErEr22RprrRuE drEdrEdr2322333121220()()3RrRRRRrdrdrrr2233312120()()3RrRRRRrrr第66页/共128页第六十六页，共129页。2233312120()()3RrRRRRrrr22333221112022()32RrRRRRRrRrRrR312220236第67页/共128页第

42、六十七页，共129页。内SqRrr042内Er024qEr外0内E204rqE外E0204rq(0rR)rE dr内204RrRRqEdrEdrdrr外内Rq0420044rrqqEdrdrrr外外例3：外SrE0R求半径(bnjng)为R的均匀球面电荷q的场强和电势 分布？第68页/共128页第六十八页，共129页。例4 求无限长均匀带电直线电场(din chng)中的电势分布PrP0P点P0点路径(ljng)的选择PP1P0P10PPPl dEV011PPPPl dEl dEdrrrr0020rE02rr00ln20r若取0r=1m01ln rVPln20第69页/共128页第六十九页，共

43、129页。S S内内iseqsdE01静电场中的两个定理发出的电场线来自电荷有源场0LrdE保守场、无旋场电势(dinsh)的计算：（一）定义式：（普遍(pbin)适用）0PPPrdEV011PPPPrdErdE（二）点电荷电势(dinsh)叠加法：niiiniirqVV10141）2）rdqdVVp04（条件是无穷远处电势为零才适用）步骤：（1）选取坐标系，写出dq、r, 并选取零电势点.（2）统一变量，确定积分上下限，积分求解选择一简洁的路径第70页/共128页第七十页，共129页。5.8 等势面 电势(dinsh)梯度一. 等势面电场中电势相等(xingdng)的点组成的面叫等势面规定：

44、电场(din chng)中任相邻两等势面间的电势差为常数. 第71页/共128页第七十一页，共129页。二 等势面的性质(xngzh)：证明：因为(yn wi)将单位正电荷从等势面上M点移到N点，电场力做功为零，而路径不为零0Edlcos qldEqdA00MN0dl2.电场线的方向指向电势(dinsh)降落的方向。因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势(dinsh)能减少。3.规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。1.除电场强度为零处外，电场线与等势面处处正交。l dMNEqq2/0UMN0MNqdA第72页/共128页第七十二页，

45、共129页。abcE由规定(gudng)：场中任相邻的两等势面之间的电势差为常量。cbbaUUconst即可以(ky)看出：3）场强越大的地方(dfng)，等势面越密。bcabl dEl dE0, 02）场强总是从高电势沿变化最快的方向指向低电势。abcVVV第73页/共128页第七十三页，共129页。点电荷的电场线与等势面电偶极子的电场线和等势面等量(dn lin)正电荷的电场线和等势面+平行板电容器的电场线与等势面第74页/共128页第七十四页，共129页。三、 电势(dinsh)梯度ldE21VV2PlE1udUUU12l dEdlcosd21VVVdldEEcoslVdldV0 沿着

46、的方向时，变化率 有最大值当El即电势 U在 方向上的变化率的负值等于场强 在 方向上的分量。ldldEddlnndndndEVdndEVn第75页/共128页第七十五页，共129页。大小: 等于(dngy)电势在该点最大的空间变化率；方向: 沿等势面法向，指向电势增加最快的方向。直角坐标(zh jio zu bio)系中： 数学上，若某一标量对某一方向有最大变化率（称为(chn wi)方向导数最大），则定义此最大变化率为 该标量的梯度。即“场强等于电势梯度矢量的负值”。负号表示场强方向沿电势降低的方向。Egrad Uzkyjxi)(kEjEiEEkyx)VVV(VkzjyixEVEndndE

47、VndndVgradV xVxddEyVyddEzVzddE第76页/共128页第七十六页，共129页。标准化作业(zuy)（16）一、选择题 1、关于电场强度定义式0/qFEE (B) 对场中某点，试探电荷受力F(C) 试探电荷受力F的方向就是场强E(D) 若场中某点不放试探电荷q0，则F 0 ，从而E0 下列说法中哪个是正确的？ (A) 场强的大小与试探电荷q0的大小成反比与q0的比值不因q0而变 的方向2、将一个试验电荷q0 (正电荷)放在带有负电荷的大导体附近P点处(如图)，测得它所受的力为F若考虑到电荷q0不是足够小，则 (A) F / q0比P点处原先的场强数值大 (B) F /

48、q0比P点处原先的场强数值小 (C) F / q0等于P点处原先场强的数值 (D) F / q0与P点处原先场强的数值哪个大无法确定 P +q0 BA第77页/共128页第七十七页，共129页。二、填空题3、静电场中某点的电场强度，其大小(dxio)和方向与_ +q+q-a+aOxy_相同(xin tn)4、电荷均为q的两个点电荷分别位于x轴上的a和a位置(wi zhi)，如图所示则y轴上各点电场强度的表示式为E_ _ ，场强最大值的位置在y_单位正试验电荷置于该点时所受到的电场力 jyaqy2/ 322042(j为y方向单位矢量) 2/a第78页/共128页第七十八页，共129页。三、计算题

49、 5、如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端(ydun) 距离为d的P点的电场强度 解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直方向(fngxing)带电直杆的电荷线密度为l=q / L，在x处取一电荷元dq = ldx = qdx / L，它在P点的场强： Lddqx(L+dx)dExO204ddxdLqE204dxdLLxq总场强为 LxdLxLqE020)(d4dLdq04方向(fngxing)沿x轴，即杆的延长线方向(fngxing) 第79页/共128页第七十九页，共129页。标准化作业(zuy)（17） 选择题C1、在边长为a的正方体中心(zhn

50、gxn)处放置一电荷为Q的点电荷，则正方体顶角处的电场强度的大小为： (A) (B) (C) (D) 2012aQ206aQ203aQ20aQ 图中所示为一沿x轴放置的“无限(wxin)长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为l(x0和l (x0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)处的场强E为 (A) 0 (B) ia02(C) ia04 (D) jia04 B第80页/共128页第八十页，共129页。3、两个平行的“无限大”均匀带电平面(pngmin)， 其电荷面密度分别为和2，如图所示，则A、B、C三个区域EB_，EC_(设方向向右为正) 的电场(din chng)强度分别为： EA_，3 /

51、 (20) / (20) 3 / (20)填空题4、一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (dR)，方向沿半径向外 第88页/共128页第八十八页，共129页。402114RqrE (r1R)，22024rqE(r2 R)，RRrrErEUdd2111RRrrrqrRqrd4d420402140310123RqrRq3310412RrRqRr 1 (3) 球内电势(dinsh) 2020224d4d22rqrrqrEUrRrRr 2球外电势(dinsh) 第89页/共128页第八十九页，共129页。标准化作业(zuy)（20） 一、选择题 (B)(C) (D) (A) (A) EA=E

52、B=EC， (B) UBUA=UC(C) EBECEA， (D)UBUAUC C D 1、图示一均匀(jnyn)带电球体，总电荷为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为r1、r2的金属球壳设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r的P点处的场强和电势为： 204rQE，rQU040E104rQU0ErQU040E204rQU 2、如图所示，一封闭的导体壳A内有两个导体B和CA、C不带电，B带正电，则A、B、C三导体的电势UA、UB、UC的大小(dxio)关系是 第90页/共128页第九十页，共129页。二、填空题 3.如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷(dinh)+q，外球壳带电荷(dinh

53、)-2q静电平衡时，外球壳的电荷(dinh)分布为： 内表面_ ； 外表面_ O+q-q -q 4.如图所示，将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导体附近，则导体(dot)内的电场强度_，导体(dot)的电势_(填增大、不变、减小) 不变 减小 第91页/共128页第九十一页，共129页。三、计算题 5 图示一个均匀(jnyn)带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势 1E2E3E21111400()SE dSErErR3332112222004 ()4()33SrRRE dSErErr3333221213332004 (

54、)()433SRRRRE dSErEr22RprrRuE drEdrEdr2322333121220()()3RrRRRRrdrdrrr2233312120()()3RrRRRRrrr第92页/共128页第九十二页，共129页。2233312120()()3RrRRRRrrr22333221112022()32RrRRRRRrRrRrR312220236第93页/共128页第九十三页，共129页。三、计算题 5 图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径(bnjng)为R1，外表面半径(bnjng)为R2设无穷远处为电势零点，求球层中半径(bnjng)为r处的电势 解：r处的电势等

55、于(dngy)以r为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势U1和球面以外的电荷产生的电势U2之和，即 U= U1 + U2 ，其中rRrrqUi03130143/44rRr31203rdrr 为计算以r为半径的球面(qimin)外电荷产生的电势在球面(qimin)外取它对该薄层内任一点产生的电势为 的薄层其电荷为 2 4drrdq002d4ddrrrqU2dd022RrrrUU22202rR 于是全部电荷在半径为r处产生的电势为 222031202123rRrRrUUUrRrR312220236第94页/共128页第九十四页，共129页。标准化作业(zuy)（21） 一、选择题1. 真空(zhn

56、kng)中有“孤立的”均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它的半径和所带的电荷都相等则它们的静电能之间的关系是 (D) 球体内的静电能大于球面(qimin)内的静电能，球体外的静电能小于球面(qimin)外的静电能(A) 球体的静电能等于球面的静电能 (B) 球体的静电能大于球面的静电能 (C) 球体的静电能小于球面的静电能 B1.一导体球外充满相对介电常量为r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度为 (A) 0 E (B) 0 r E (C) r E (D) ( 0 r - 0)E B第95页/共128页第九十五页，共129页。3. 一平行板电容(dinrng)

57、器充电后切断电源，若使二极板间距离增加，则二极板间场强_，电容(dinrng)_ (填增大或减小或不变不变 减小 二、填空题 4、真空中均匀带电的球面(qimin)和球体，如果两者的半径和总电荷都相等，则带电球面(qimin)的电场能量W1与带电球体的电场能量W2相比，W1_ W2 (填) q时，导体B的电势为正 答：(1) 错误接地导体是否带电与其周围带电体情况有关， 例如：(a) 周围有带正电物体时，接地导体带负电 (b) 周围有带负电物体时，接地导体带正电 (c) 孤立导体接地不带电 3分第115页/共128页第一百一十五页，共129页。ORSQ例5 真空中有一半径为 R的均匀带电球面，

58、总电量为 +Q ，在球面上挖去一小面积 ，设此动作不影响原来的电荷分布，求球心处的电场强度。S解：用补偿法求解(qi ji)。SSEEEEEE球球面面破破球球面面破破球球面面球球面面0球球面面E40220164RSQRSES方向由 指向球心。S40220164RSQRSE破破球球面面S方向由球心指向第116页/共128页第一百一十六页，共129页。例1真空中一长为L的均匀带电直线杆，总电量为q，求在直线杆延长线上矩杆的一端(ydun)距离为d的P点的电场及电势分布LqPdOdxxLqdxdxdq20)(4xdLdqdE20)(4xdLLqdxLxdLdxLqdEE020)(4)(4)(1)(4000dLdqxdLLqLidLdqE)(40第117页/共128页第一百一十七页，共129页。)(40 xdLdqdUP)(40 xdLLqdxLPPxdLdxLqdUU00)(4ln)ln(4)ln()(4000ddLLqxdLLqLddLLqln40)11(40ddLLqdUEPx)(40dLd