17-18版第5章第21课任意角、弧度制及任意角的三角函数

1、 第五章 三角函数、解三角形 第21课 任意角、弧度制及任意角的三角函 最新考纲 内容 要求 A B C 三角函数的概念 V 抓基础自主学习|理mr罕基口主那4 知识梳理 1角的概念的推广 (1) 定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点丛一个位置旋转到另一个位置所成的图 形. 按旋转方向不同分为正角、负角、零角 .按终边位置不同分为象限角和轴线角 终边相同的角：所有与角 a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合 S= O =a+ k 360, k Z. 2弧度制的定义和公式 (2) 公式：角度与弧度的换算: 弧长公式：1= r| a 1 1 2 扇形面积公式：S= 2lr = 22 a (

2、2)分类J 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，弧度记作 rad. a.1 孟 rad； b.1 rad= 3. 任意角的三角函数 1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” ) 小于 90的角是锐角.() (2) 锐角是第一象限角，反之亦然.() (3) 角a的三角函数值与终边上点 P 的位置无关.( ) 若a为第一象限角，则 sin a+ COS a 1.( ) 答案 X (2) X (3) V V 、 (1 ) 2. (教材改编)已知角a的终边与单位圆的交点为 M&, y 则 sin a= _ . 23 由题意知|r|2= + y

3、2 = 1,所以 y3由三角函数定义知 Sin a= y= 23. 3. _ 若 cos 90,且 sin 2 00, sin 2 0= 2sin 0cos X 0 得 sin 00，则角B的终边在第四象限. 4. _ 在单位圆中，200的圆心角所对的弧长为 _ . 10n 单位圆的半径 r = 1,200 的弧度数是 200X花 0= 10n由弧度数的定义得 罟尸， 10 所以 I = 10 n . 5. 已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧长是 144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为 _ rad. I 144 1.2 由题意知 a r = 120= 1.2 rad. 阴换上题型突

4、破|析阳謀求卿方法 H1 1 角的有关概念及其集合表示 卜例 EJ (1)若角a是第二象限角，则是第 _ 限角. 【导学号：62172118】 (2)已知角a的终边在如图 21-1 所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角a用集合 可表示为 _ . (1) 一或三 gkn+ n，2kn+ 6n(k Z) (1) ： a是第二象限角, n 2+ 2k n aV n+ 2k n, k Z， n , an, 4+ knV20； COS a 0; sin 2 a 0； COS 2a 0. 已知角a的终边经过点 A( 3, a)，若点 A 在抛物线 尸一 4x2的准线上，贝 U sin a 【导2r

5、 + r A 10, 帥=4,解得 r = 1, 9=8 （舍去）或 a 由 sin 60 丄6，得 r = 4 3 cm, I 二出= 2nx4 3=晳冗 cm. I*?.1 三角函数的定义 若 tan a 0,则下列说法正确的是 :(填序号) 由 tan a0 知角a是第一或第三象限角，当 a是第一象限角时，sin 2 a= 2sin aos a 0;当a是第三象限角时，sin aV0，cos aV0，仍有 sin 2a= 2sin acos a0，故正确. (2)抛物线方程 y= 4X2可化为 x2= 4y， 抛物线的准线方程为 y= 1. 点 A 在抛物线 y= 4X2的准线上, A(

6、 .3，1)，由三角函数的定义得 sin 规律方法1用定义法求三角函数值的两种情况. (1)已知角a终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后用三角函数的 定义求解； 已知角a的终边所在的直线方程， 贝 U 可先设出终边上一点的坐标， 求出此点到原点的 距离，然后用三角函数的定义来求相关问题. 2.确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断.y _ 1 _ 1. 2. 1 变式训练 3 设a是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 COS a=孕，则 tan 2 a 函数 y=72cos x 1 的定义域为 _ . 24 n n (1) y 2k

7、n- 3，2k n+ 3 (k Z)由三角函数的定义可得 1 x 1 -COS a=7X,A 2 - =gx, 5 px2+ 42 5 又a是第二象限角，二 XV 0,故可解得 x= 3 , 12cos x 1 0, cos x 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). x |2kn n 2kn+ 扌怡 Z). 思想与方法 1. 在利用三角函数定义时， 点 P（X, y） 可取终边上任意一点， 若点 P 在单位圆上， 则 a= y， cos a= x, tan a= X；若 Op|= r，贝 U sin ay, cos a-, tan a= y. x r r x 2三角函

8、数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法. 易错与防范 1. 第一象限角、锐角、小于 90的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间 角. x cos a= 一 2 : x/x + 4 cos 汨-5, sin a 1 COs2 4 5, 二 sin a 4 acosar3, tan 2 a 2ta n a 24 2 = 1 tan a 7 sin 名师微博 2. 角度制与弧度制可利用 180 =冗 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须 一致，不可混用. 3 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在

9、坐标轴上的情况. 课时分层训练（二一） A 组基础达标 （建议用时：30 分钟） 一、填空题 1.给出下列四个命题: 一是第二象限角；N 是第三象限角; 一 400。是第四象限角；一 315 是第一象限角. 其中正确的命题是 _ .（填序号） 3 匹是第三象限角，故错误.子冗+ n 从而 4是第三象限角，正确.-400 =-360 40 ,从而正确.-315 = 360 + 45 ,从而正确. 2已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是 2 1 話 7 由题设知，圆弧的半径 r = s, 2 圆心角所对的弧长 i=2r= smJ will I 3.已知点 P（cos a

10、, tan M在第三象限，则角 a的终边在第 象限. 由题意可cos a 0, tan a 0, COS a0 时，r = 5a， 3 此时 sin a=-3, cos a= 5 2sin a+ cos 6 4 a= 5+ 5= 5 当 a cos X成立的X的取值范围为 _ . 解设a终边上任一点为 P(k, 3k), 则 r = k2+ 3k 2= . 10|k|. 当 k0 时，r = , 10k, 3k sin a = , V10k 山 0 10sin a+ 3 70+ 3 0 0; cos a 当 k0. (1)求a角的集合； (2) 求 2 终边所在的象限； 4 普）如图所示，找出

11、在（0,2 71 内,使 sin x= cos x 冗 2 . 5 n 5 n =cos 4= 2，sin 7 = cos 4 = 足题中条件的角 x :，于勺 :化规律找出满 根据三角函数线的变 T 的x值，sin才 2.已知圆 O: x2 + y2 = 4 与 y 轴正半轴的交点为M，点 沿圆 o 顺时针运动 2 弧长到达 点 N,以 ON 为终边的角记为a,则 tan a 冗 冗 1 设/ MON 为 B,由弧长公式可知 2 = 2 B, 片 4， 冗 冗 n a 244, 冗 , tan a tan 4 二1. 3 3.已知角a的终边在直线尸3x 上，求10sin汁忌的值. 【导学号：

12、62172122】 lOsin a+ cob 310310 . 丄-晋-10, cos a k 3k 3 sin 汗10 广 10, a a a (3) 试判断 tan qsin qcos 2 的符号. 解(1 )由 sin a 0,知a在第三、四象限或 y 轴的负半轴上. 由tan a0,知a在第一、三象限，故 a角在第三象限， 其集合为* a 2k n+*aV 2k 冗+ k Z【 1 2 3 冗 由 2kn+ * aV 2kn+2, k Z, 得 kn+扌0, cos 20, 所以 tan 希 in 才 cos 2 取正号； 当号在第四象限时，tan 扌 0, a 小小 a 小小 sin 20, 所以 tan Osin /cos 2 也取正号. 因此，tan sinos 2 取正号.1 扇形的圆心角为 2. (2) 设圆心角是9,半径是 r，贝 U 2r + r = 40. 1 2 1 2 又 S= 2 9r= 2(40 2r)= r(20 r)= (r 10)1 2 + 100 100. 当且仅当 r = 10 时，Smax= 100,此时 2X 10+ 10 A 40, 9= 2,二当 r = 10, 9= 2 时，扇 形的面积最大. 规律方法1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷； (2)从 扇形面积出发，在