1995线调频小波变换——物理因素(译文)(DOC)

1、 线性调频小波变换：物理因素 Steve Ma nn 和 Sim on Hayk in 摘要 我们考虑对于任意待分析信号的可参数化的线性调频函数族内积形式的多维参数空间。 采用平方调频函数（我们简称为 q-调频），并引出可兼顾时间频率域和时间尺度域作为二维 子空间的参数空间。其包含了一个“时间 -频率-尺度体”，因而囊括了短时傅里叶变换（作 为在时间频率轴上的投影）和小波变换（时间尺度轴上的投影） 。 另外，关于频率和尺度，变换空间内有两个额外的坐标轴：时间域切变（由和 q-调频 函数的卷积获得）和频率域切变（由和 q-调频函数的乘积获得）。信号在该多维空间内可以 通过一个被我们称为“ q-调

2、频小波变换”，或称“线性调频小波变换”的新方法捕获。 这里提出的线性调频小波是小波的广义形式， 两者通过时频平面上的二维仿射变换 （平 移、伸缩、旋转和剪切）联系起来，与之形成对照的是小波变换，通过时间域的一维仿射变 换（平移、伸缩）相联系。 1. 引言 大部分传统的信号处理理论都是基于正弦波的，借助于现代计算机和 FFT 算法的优势， 频域信号处理大行其道。 不过，近些年的研究发现了频域方法的局限性。 尽管傅里叶变换可 以完美重构多种信号，但还不足以对缺乏全局稳定性的信号提供有意义的解释。 比如，考虑 由一段音乐构成的时间序列。对其功率谱估计可以告诉我们存在哪些音符 （每个频点附近能 量的强

3、弱），但不能获知这些音符在何时出现。 最近的大量研究围绕信号的时频分析展开， 我们可以借此观察功率谱随时间的变化。 其 中一类方法称作短时傅里叶变换（STFT，已经被广泛应用于语音、音乐和其他非平稳信号 的分析中。 假设我们要进行 STFT 分析，但不能确定时窗的大小。因而我们对信号 s（t）做 STFT 寸先 采用相对较短的时窗，然后逐渐加宽，并计算不同时窗宽度值下相应的 STFT 将这些值一 层层堆叠起来形成一个对应于信号 s 的数据体， 是一个关于时间、 频率和时窗宽度的函数 （图 1 （a） ） o我们将其称为“时间-频率-尺度（TFS 变换”。 另一个时频表征方法（更准确地说应该称作

4、时间 -尺度表征）是著名的小波变换。小波 变换可由待分析信号和一个基函数的一族平移伸缩因子的内积获得。该基函数称作母小波。 一个小波族中的某个成员通过某一特定的作用于母小波时间轴上的一维仿射坐标变换来获 得；这一几何变换由两个参数来控制（平移量和伸缩量） 这些小波内积得到的。连续小波变换，通过适当的时窗长度 中 TFS数据体中的时间-尺度切片（图 1（a）o 我们发现，即便不从计算效率和数据存储角度看，时间 失为一种有效的概念。尤其是，当我们只需要 TFS 数据体的绝对值的话，我们可以根据 Wigner 分布，利用适当的坐标变换和均匀平滑，从中提取这些信息。通过对 Wigner 分布适当的平。

5、连续小波变换则是由信号和很多 /母小波的选择，其实就是前文 -频率-尺度空间在理论层面仍不 滑可以实现时间-频率（TF）平面（时频谱图）到时间 -尺度（TS）平面（尺度谱图）的连续 变换。 现在假设将信号 s（t）乘上一个线性调频（FM）信号ej2t，然后计算 STFT 如果连续 地改变变频的速率 c,并重复若干次，依次堆叠这些结果，就能得到一个不同的三维数据体 （图 1（b）。此时，我们得到的是一个关于时间、频率和调频速率的函数。 当然我们的选择并不限于这两类参数空间。 但为引出下文，我们证明一个四维参数 “时 间-频率-尺度-调频速率” （TFSC 空间的有效性。 图 1 1 STFTST

6、FT 不同长度时窗构造的数据体。（a a）无时窗长度连续伸缩变化的无穷多 STFTSTFT 构成一个“时间- -频率- -尺度” 波变换。这里我们仅仅给出了数据体的第一卦限。也注意到平面 1s = 0尚未定义，其对应于无穷大尺度。 （b b） 具有变化的调频速率的切变 STFTSTFT 时频面的剪切通过信号与一个调频速率为 c c 的线性调频信号相乘实现。如果我 们将这无穷多时频面堆叠起来，让 c c 连续变化，那么就可以得到一个“时间 - -频率- -调频速率” （TFCTFC）变换。 1.1 历史记录 1946 年，Gabor （后因发明全息影像而荣获诺贝尔奖）在他的那篇有关信息论的原创性

7、 论文中提供了关于一维 Gauss 窗 STFT 的种新的解释角度， 并检验了二维镶嵌的时频平面。 尽管 Gabor 的工作不是很严密（并且，实际上，他的表征方法后来被证实是不稳定的） ，但 他所提出的时频镶嵌的概念却是贡献巨大的。 Gabor 将他的镶嵌元素称为 logo ns。 大约在 1956 年，Siebert 开始用公式表达雷达监测中规律，其中就有很多有关时频的特 别有用的想法。他的很多见解来自于 Woodward 的不确定函数，又被称为雷达模糊函数， Fourier-Wigner 变换。Siebert 还考虑了脉冲压缩雷达的调频函数，并对此做了详细研究，观 测到时间域调频引起了时频

8、面上的切变效应（或者换句话说，时频面上的二维 Fourier 变换 中的切变）。 1985 年, Grossman和 Paul 用公式严格论证了从标准仿射坐标变换到相干空间表征方面 的一些重要概念。他们也考虑了这些仿射坐标变换的双参数子集。 Papoulis 在他的著作中描述了线性调频信号作为一个普通 Fourier 分析算子的基的作用， 同时提出其可作为时频面上的切变算子。为线性调频小波变换的提出埋下了伏笔。 （TFSTFS）变换。如果 2 g L IR 是一个合适的母小波，那最底部的平面 fc =0的时间尺度面就是一个连续小 1 Frequency (a) 1987 年，Jones 和 P

9、arks 论证了时频泄漏中时窗选择的问题。他们将 Szu和 Blodgett 的 通过乘上线性调频函数实现频域切变的工作和 Jan ssen证明了任何面积守恒仿射变换都会给 别的信号产生一个有效的时频面，尽管他们并不知道早年 Siebert 的未曾发表的相关成果。 Jones 和 Parks 在一个简单而深刻的例子中展示了 Hamming 窗和线性调频 Hamming 窗的时频 分布，后者是前者的切变版。 Berthon提出基于两类重要群的半直积的雷达模糊函数的广义形式： 特殊线性群，SL（2, IR）体现了时频面上的切变效应，以及 Heisenberg 群，包含了时间和频率变换。 1989

10、年和 1990 年初，我们论证了线性调频小波变换， 是一种坐标轴对应于时频面的二 维仿射变换纯参数的多维参数空间。 （该论证缘起于该资深作者和他的研究副手们的一项发 现，即 Doppler 雷达来自海洋上小块浮冰的反射信号具有线性调频特征。 ）我们同样论证了 一系列有效的新变换方法，即作为该多维参数空间的二维子空间。另外，我们认为借助 Lan dan的介绍扁长椭球波函数的有关工作，我们注意到他们在时频面中的切变现象，因为 它们构成了平面内理想的平行四边形镶嵌。 后来，我们将线性调频小波变换和几种新的二维子空间变换方法应用于海上雷达问题的 研究，发现结果要优于之前的方法， 因此我们发表了我们的这

11、些结果。 独立于此，几乎是同 时（其实是几天以后），Mihovilovic 和 Bracewell 也发表了一个相关的想法（而且，还共用线 性调频这个名字），但是不是一个层面的多维参数空间的广义性。后来，他们也发表了有关 线性调频的应用的文章。 这里需要强调的一点是， 线性调频小波变换远不仅仅是可以切变效应。 实际上，时域切 变和频域切变是从一个时频面到另一个时频面的仿射坐标变换的实例一一当线性调频小波 变换是从一个一元连续函数变换到一个五元（或六元）连续函数的时候。 1991 年，Torresani 检验了联系仿射变换群和 Heisenberg 群的一些关联媒介。 Segman和 Schem

12、pp 的工作将尺度概念并入 Heise nberg 群，Wils on则检验了 TFS 表征方法的效果，他 们称之为多重分辨率 Fourier 变换。 Baraniuk 和 Jones 研究了若干“子空间的线性调频小波变换” 。并对二维子空间线性调 频小波变换中的一些数学方面的细节做了推敲。 他们同时提供了线性调频小波变换的另一种 基于 Wigner 分布的推导方法。该方法和我们的分析没有任何关联，它将线性调频小波变换 的解析空间中的每一点对应于时间域的一个特定算子。 该时间域算子作用于解析基函数（“调 频母函数”）并与一个时频面上的二维面积守恒仿射坐标变换有关。 Baraniuk 和 Jon

13、es 还做 了离散化的工作。 最近，研究人员还考虑了分数阶 Fourier 域及其与线性调频小波和小波变换之间的关系。 1.2 相关工作 早前，我们的对于线性调频解析函数的兴趣源自于一种不同的调频现象： 因视角不同引 起的调频。我们的城区或室内空间包含了过剩的周期信号， 周而复始的建筑砖瓦声， 窗户开 合声，诸如此类。然而对这些建筑的拍照无法捕捉这些周期信号的本质。 若拍照时采用一个 倾斜的角度（胶片平面和平面区域不平行） ，当我们经过图像平面时，这些平面会引起图像 空间频率的改变。远处的砖块会随着我们向消失点的移动而越来越小， 这里的消失点可定义 为空间频率无穷大的点。我们对小波变换的第一个

14、推广是将小波的 “放大”效应扩展为平移 和倾斜，用以模拟摄像机的运动。对于雷达的兴趣使我们转向于借助线性调频小波的精确分 析。我们发现海上雷达信号、汽车交通雷达信号等都存在一个较强的“线性调频”现象，因 此，常规的 Fourier Doppler 方法不能适用。尤其是，小型冰山碎块反射的声音信号产生的颤 频效应说明需要考虑替代诸如加窗谐波振荡等的方法（即，替代波和小波的方法） 。 在所有可能的线性调频分析基函数中，我们将之分为具有实用意义的两族： “投影线性 调频小波” （p-chirplet）和“平方线性调频小波” （q-chirplet ）。后者是本文要讨论的。这两 种形式的线性调频小波已

15、被联立成 “时频角度”的一种流行形式，具有更为广义的 8 参数信 号表征方法，包括：5 参数子空间的“投影线性调频小波”和另一个 5 参数子空间的“平方 线性调频小波”，两子空间共用时频和伸缩轴。尽管重点基于 FFT 硬件并致力于解决特定目 的的硬件已经存在，但计算实例还未给出。 我们还构造了其他类型的线性调频小波变换， 例如三参数 Doppler 线性调频小波当沿着 直线（比如火车汽笛）运动时，可以模拟正弦波震源。三个参数分别为中心频率、最大调频 速率和频率荡限。同样，给出了对数频率的线性调频小波的表达式， 其中调频函数在时间尺 度剖面上变为直线。 基于调频解析函数的 STFT 和小波变换的

16、广义形式，已有很多相关的研究。传统的时频 方法和线性调频小波的对比也有文章发表，在雷达信号处理和地球物理学领域都有应用实 例。 1.3 概述 本文致力于研究线性调频小波变换的物理（直觉）因素，全文组织如下： 首先介绍线性调频解析函数，或可称为广义的小波（ “线性调频小波”）； 接着对 Gabor 关于 Gauss 窗时频镶嵌的工作进行推广。 引出了四维的时间-频率-尺度-调频 速率（TFSC 参数； 然后考虑非 Gauss 解析函数，引出五维参数空间； 再然后考虑了多元解析小波 /时窗，先将 Thomson谱估计方法推广到时频面，再将该结果 进一步推广到线性调频小波变换。这些多元解析小波 /时

17、窗（在随后的章节中，我们称之为 “多元线性调频母小波”）共同作用定义了时频面上一个简单的 “覆盖”，对应于线性调频小 波变换参数空间每一个点。 这样的一个覆盖具有平行四边形的时频分布， 其形状由那 6 个二 维仿射坐标参数决定。 接下来利用信号本身和别的信号作为“线性调频母小波”推广了自相关和互相关。换句话 说，我们分析了原始信号及其线性调频状态下的信号和别的信号； 最后，我们考虑了线性调频小波变换的子空间，引出了一系列新的变换。 2. 线性调频小波 STFT 包含了具有波的相同部分的信号间的相互关系，而小波变换则包含了 Q 值恒定函 数族之间的联系。但这两种变换都有一些共性， 尽管前者通常被

18、认为是时频方法， 后者是时 间-尺度方法，两者都试图在时频面对信号进行定位。从非严格意义上来讲， STFT 的时窗调 制还有小波变换的小波函数可能会被认作“波动的一部分” 。线性调频小波，类似的，可以 看做是“线性调频信号的一部分”。我们一般采用复线性调频小波，以避免 f=0 轴上因为只 保留实值线性调频小波而产生的镜像问题。 图 2 给出了波动、小波、线性调频信号和线性调频小波的时频分布的实部虚部对比。 图 3 中，我们给出了 3D 形态下的对比，其中三个坐标轴分别对应函数的实部、虚部和时间。 四类线性调频小波的离散采样如图：上面两个线性调频速率为 0，左侧两个采用了任意大时 窗。 2.1

19、Gauss 线性调频小波 图 2 和图 3 中的线性调频小波都是通过简单的数学方法采用 Gauss 窗生成。该时窗可看 做生成线性调频小波族的基函数， 就像小波变换中的母小波一样。 因此， 我们将此基函数 （不 论是 Gauss的还是其他）称作“线性调频母小波” ，用字母 g 表示。 Gauss 波包（物理学家也简称做“波包”）是具有 Gauss 包络线的波。数学表达式为： 其中，j - -1， tc R是能量中心对应时间， fc R是中心频率，二，R堤脉冲的展布 时长，：？ ：= R为波的相位，我们不将其作为控制参数。 g 的下标代表自由度，构成了参数列(1) 表。 图 2 2 时间域和时频

20、域，波、小波、线性调频信号和线性调频小波的关系。小波给出了平行于时频轴的时频面镶 嵌方法，而线性调频小波则允许我们在时频面上进行更为一般的镶嵌，因为可以旋转和剪切。例如，波是线性调 频小波的特殊情况（调频速率为 0 0，时窗长度无穷大）。注意到双边频率轴，因为我们常常期望区分正负频率分量。 我们倾向于波包具有归一化的能量， 所以，我们给出 Gauss 包络线的数学表达式 （利用 Gauss 函数的任意次幕还是 Gauss 函数的特点，这里我们选择 1/2 次幕，乘上一个适当的归 一化常数）： o -5 HM + l2 JIME ktrAELLI IL lurAVE o Awmn* - CHIR

21、P CHIRPLET 图 3 3 还是波、小波、线性调频信号和线性调频小波。 X X 轴对应函数的实部，y y 轴对应虚部。尽管是连续函数，还 是进行了粗略的采样以改善 3D3D 效果。每个采样点都是（x,y,zx,y,z）三维空间中的一个粒子。 （WAVEWAVE）波呈现 3D3D 螺旋 形态。相邻两个粒子间旋转的角度恒定，故而，频率，相位随时间变化的速率，是常数。 （WAVELETWAVELET 小波是一个 加窗的波，沿时间轴振幅的衰减明显。相邻样点间旋转的角度仍然恒定。 （CHIRPCHIRP）线性调频信号中样点之间旋转 的角度是线性增加的。注意到粒子密度从初始逐渐变大。 （CHIRPL

22、ETCHIRPLET 线性调频小波也是旋转角度线性增大，但 振幅也先增大后减小。 理论上，带限信号在时域无限长，但通常是在电气工程领域采用 3 dB 带宽，即频谱中 峰值两侧能量减弱到一半时的频率范围。 该定义并没有理论上的依据， 在我们这里也不是特 别有意义。因此，对于本文的波包，我们定义时延即为（ 2）式中.訂。考虑到和互为 倒数，我们也指定了带宽。 （2）式中，可以看出 Gauss 函数是一个包络，并有谐振项进行调制。 Gauss 线性调频 小波族通过将谐振项（波）替换为一个线性调频信号得到： WAVE WAVELET g tc.fci diblrRiriJiEi epnumil 怙il

23、h Idliu; ispjl 0 -2A dl -AS IJt 概念上将， FF 面上的每一个点都对应于原始信号的一个线性调频信号分量， 也对应于 时频面 （TF）上的一个线性部分。 Radon变换（或称作 Hough变换）的表达式是二维函数的 一族线积分。其功能在于可以提取图像中的直线。关于 Radon变换的出色研究，可参看 Illingworth和 Kittler 的工作。这一性质使其可以作为一种计算线性调频小波变换中 FF 面的 替代方法，以时频面作为输入图像。 Radon变换为计算自动线性调频小波变换的 FF 面提供了一种简单的方法，利用 Wigner 分布得到一个变换空间，可以获知基

24、本和 FF 线性调频小波变换平面一样的信息，但我们这 里还可以利用 Wigner 分布更高分辨率的优势。众所周知 Wigner 分布的交叉项具有振荡性质， 而自动分量的净贡献是正的。因此，鉴于 Radon变换做线积分， Wigner 分布的交叉项在每 条直线上都被抵消了，故而 Wigner 分布的 Radon变换上的点只会看到” Wigner 分布的自 动分量（图 11（a）。 Radon变换通常由直线的标准方程计算： xcosi； i亠ysin （18） 作为原始平面上沿着每条直线的积分。参数空间沿轴均匀采样。如果不考虑能量耗散， 然后，将fbeg和fend规范化到-12到12之间，再将 T

25、F 分布的时间和频率也规范到同样的 图 8 8 TFTF 实例：匀加速物体（下落球体）的实际数据。由于雷达的非线性和轻度限幅作用，可见三次谐波。 （a a） 图 1010 自由落体雷达记录数据的频率 - -频率（FFFF）线性 调频小波平面，匀加速物体在 FFFF 线性调频小波平面上 的特征显示得更清楚。注意缺失了负频率分量（下方 象限）。 3.3 FF 面和 Radon 变换的关系 Beginning Frequency 图 9 9 匀加速物体雷达数据做线性调频小波变换得到 的频率- -频率（FFFF）平面。注意到峰值的位置，表明非 零初速度，以及更高的最终速度。 r 1 区间，这样 Wig

26、ner 分布的 Radon变换和线性调频小波的 CF 面之间就好比较了。这样，可 以做如下替换: Sin V -厂 favg = V fbeg fend 2 （19） 及 tan V - fdiff 二门 fend - fbeg （20） Radon变换更简单的一个形式（可能也是更出名的）就是以直线的斜率和截距为参数。 这一参数组合的优点在于其可以由点绘线也可以由线绘点， 缺点则是当直线斜率无穷大 （竖 直线）时，会出现奇异。由于存在 Nyquist 频限，当 Radon变换的输入是 TF 分布时，并不 会出现这个问题。因此，这促使我们采用 Radon变换的斜率-截距形式，除非我们更倾向于 和

27、 FF 面匹配的参数组合， 而不是 CF 面的时候，这在前文已经讨论过。 如果我们简单地考虑 一个非零单位矩阵的离散 Radon变换（图 12），前面提到的“ Nyquist 边界”就很显著了， 其中，我们可以观测到同样的方块状区域， 促使我们开始就采用 fbeg和fend，而不是favg和 通过定义一个新的 Radon变换，可以克服和边界有关的问题，我们选取如下参数: 起始截距fbeg:直线最左侧的纵坐标（横坐标 -1/2 处的纵坐标）。 图 11（b）中，展示了落体数据的自动线性调频小波变换 FF 面，采用新的 Radon变换计算。 终止截距fend :直线最右侧的纵坐标（横坐标 +1/2

28、 处的纵坐标） Ji, rhu +.7U7 L Kadku o Anheca m (b) 图 11 11 （a a）雷达记录的匀加速（下落）物体 TFTF（ WignerWigner）分布的 RadonRadon 变换。因为连续波雷达的 DopplerDoppler 反射是 一个调频脉冲信号，从而 TFTF 分布具有一个简单的线性分量。可见 RadonRadon 空间中尖锐的局部特征（除了一些更小 的峰值，由于雷达的非线性特征，主要是三次谐波失真） ；（b b）自动线性调频小波变换的 FFFF 面：RadonRadon 变换新的参 数化过程，当输入“图像”是时频面时，这些参数具有了新的物理意义

29、。横坐标表示起始频率，纵坐标表示终止 频率。注意到沿对角线倾斜的蝴蝶结形状，以及和图 1010 中蝶形图像的相似性。(乱 图 1212 再遇“ NyquistNyquist 问题”：非零单位阵图像的 RadonRadon 变换。RadonRadon 变换常用的斜率- -截距参数方程得到了类似 CFCF 平面中“ NyquistNyquist 边界”的方块状区域。 3.4 无拉伸线性调频小波变换 本文中我们没有讨论离散化问题。然而， 值得注意的是，实际中，我们一般希望计算一 个离散时间信号的线性调频小波变换， 有时线性调频母小波也是时域离散的， 且数学上没有 封闭描述。因此，拉伸需要重采样，而收

30、缩要考虑抗混叠。这种情况下，最大的子空间可能 是忽略了拉伸和镶嵌覆盖尺寸，仅保留四维的参数空间： Sc,fc,0,c,d =Ctc,fc,0,c,dg s） （21） 3.5 颤音线性调频小波：振荡频率信号的分析 假设选择了加窗的正弦调频信号作为我们的线性调频母小波， 该信号的频率周期性涨落 （很像乐器的颤音或者警笛声）。 在时频空间内，常规 Doppler 雷达时频谱认为物体运动速度（ Doppler 频率）分段恒定 （每一小段时间内为常数），而线性调频小波变换的优势在于将其推广到分段匀加速模型。 原先，我们将线性调频小波基扩展到分段二次、三次调频一一 Doppler 反射频率演变的 分段多

31、项式近似。然而，仔细考虑空中物体背后的物理意义，也正是我们发现 CCT 的主要 驱动力，我们看到 Doppler 信号的有些正弦曲线化。 如果曾经看过海边一个软木塞在水面沉浮， 就会注意到其实是在做明显的周期性似圆周 运动。木塞上下运动，同时也在水平方向上运动。例如，用雷达观测一个目标，可以看到运 动的水平分量（本质上是垂向运动的一定比例下的 Hilbert 变换）。该正弦水平分量在 Doppler 反射信号中显示为正弦波形变化的频率。 _hp5=- 我们最后以下面基函数的瞬时频率结束讨论： f = - cos 2 二 fmt p fc 其中，fc 是中心（载波）频率， P （在 0 到 2n

32、之间变化）是关于初相位的频率次数峰值之(22) 一的相对位置, fm 是调制频率。若分析一个离散信号 snT，注意到B + fc必须小于1/2, 否则调制频率将超过 Nyquist 频限的边界。 积分得到相位： 借此定义的线性调频小波族为： j色f空加庇t gfm，肮二 Ae m （24） 可以适当加窗，如（3）式中那样采用高斯窗。 图 13 中，给出了线性调频小波的四个例子，这些小波来自一个颤音线性调频母小波。 我们同时给出了时域和时频域图像，其图注这些和现在要讨论的摆球模型有关。 1 sin 2二 Jt p fm 2 二 fct (23) PENDULUMS SHORT PFNDIXUMS

33、 豈FENDI LI M -Ji 一的相对位置, fm 是调制频率。若分析一个离散信号 snT，注意到B + fc必须小于1/2, 摆球在雷达前面来回摆动（假设摆动的幅度远小于线长）产生了一个和空中的物体反射非常 类似的信号。假定摆的速度是时间的函数: v cos 2- fmt (25) （位置由 5 2 二 fmt P 给出) fm 申 则解调的雷达 Doppler 信号变为 j -sin 2 二 fmt 亠 p e 可以通过（24）式给出的线性调频小波族来分析。 线较长的摆在雷达前会产生一个时间信且 B高） 。 信号该变换的密度图像左上方显示了一个很强的尖峰， 该尖峰位于特定的摆动频率 和

34、振幅坐标处。摆长较短的小幅度摆的能量则集中在参数空间右下角。 图 14 显示了四个摆峰值出现的位置。 这 4 个空间中的每个点都对应于图 号, fm (26) 子。 其大部分能量位于左手空间的上部 (fm 低, 13 中的四个例 图 15 给出了一个单摆的实际雷达反射信号的 STFT PENDULUM MODE OF WARBLING C1URPLET Modulation Frequency 图 14 414 4 类摆动在图示位置对应的拉伸- -拉伸线性调频小波变换平面上显示为最大能量 乂二* Au 匚：亠 g 一-7 图 1515 钟摆反射的雷达信号的时频分布（由提及的矩形镶嵌方法计算得到

35、） 面上呈现近乎纯正弦波形态 注意到（除了少量的衰减）在时频 D FneqmKy of Moduhlmn (b) 图 1616 基于一个颤音线性调频母小波计算得到的线性调频小波变换的拉伸 - -拉伸( t f )面 利用颤音线性调频母小波，我们也计算了单摆数据的线性调频小波变换“拉伸 -拉伸” (fm B)面(图 16)。 如果借用瞬时频率更为抽象的概念， (24)式给出的线性调频小波族成员则可以通过时频 面仿射变换彼此相关。考虑来自 (24)式的四个函数，用 A、B、C、D 表示，对应于图 13 中的 四个信号，在时间和瞬时频率构成的平面内。 当没有办法实际计算该平面时， 可以将这些函 参考

36、沿着 fm 和B轴定义的子空间（图 16） “拉伸-拉伸”平面，或者 厶仁卄平面。 4. 结论 我们提出了线性调频小波变换， 可以认为是短时 Fourier 变换（STFT 和小波变换（WT） 的一般形式。这一推广基于 STFT 和 WT 均可以看做待分析信号和不同算子下简单解析基函 数（窗函数或小波）的内积的事实。小波变换中，这些算子是时间轴上的一维仿射变换。对 于线性调频小波变换，这些算子变为时频面（如果更倾向于在时间轴操作，则为时间域函数） 上的二维仿射坐标变换。线性调频小波函数族是时频面内一族仿射变换算子作用于一个简单 的窗函数/小波（“线性调频母小波”）上得到的。线性调频小波变换是信号在线性调频小波 函数族中的表达。 1. 众所周知的，对一个一维函数进行 Fourier 变换会得到一个单变量的复函数。 2. 同样出名的，STFT 得到的是一个二元函数：时间和频率。小波变换得到的是一个二元复 变函数：时间和尺度。 3. 联合 TFS