对2016年全国1卷-(乙卷)理科数学第21题反思(共4页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上构造“好”函数，巧证不等式-对2016年全国1卷 (乙卷)理科数学第21题反思南昌三中 张金生函数、导数与不等式是中学数学中最重要的内容，近年来函数导数不等式题型常作为高考压轴题，对考生来说如何根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的是一个难点. 本文以今年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学第21题和几道模拟试题为例,说明如何构造一个好函数,求导研究函数的性质，利用函数的单调性和极值等性质去解决问题，希望能抛砖引玉.一、极值点偏移的问题，根据对称化构造“好”函数例1（2016 年全国 1 卷 (乙卷

2、) 理科数学第21题）已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）设是的两个零点，证明：分析：该题第 (1) 小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法，建立一个新函数，求导研究函数图象和性质，考查了函数与方程、分类讨论与数形结合思想；第 (2) 小题是典型的极值点偏移的问题，根据对称化构造一个函数即可。解：（1）显然不是函数的零点，当时，方程等价于，记，则因此函数在上单调递减，在上单调递增，由于函数在上的取值范围是，而在上的取值范围是，结合图象知：当，即时有两个零点（2）由（1），不妨设，则只需证明，在上单调递增，只需证，又，只需证即对任意，记，在上单调递增，命题得证该题并不陌生，目前全国各

3、地的模拟题中频繁出现极值点偏移的试题，比如下面例题2：例2（南昌市2015-2016重点中学高三月考21题）已知 其图象与轴有不同两点 且。（1）求实数的取值范围；（2）证明： 。解：（1）即，记，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，且，所以（2）由（1）知且 ，令，（ ）（2）在上单调递减，所以，在上单调递增，即时，命题得证。所以2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学第21题对学习能力强知识面广的考生较有利构造函数在解决不等式等问题中之所以显示出这么大的作用,根源在于函数思想的巨大威力,正如大数学家笛卡儿所说:一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题又可以转化为函数问题.而构造函

4、数正是将问题转化为函数问题的首要一步,如何学会构造恰当的函数,应用函数的性质去解决问题请继续看以下例题.二、引入新变量，构造“好”函数例3（ 15江西重点中学联考）已知函数（）（）当时，求的图象在处的切线方程；（）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，求证：（其中是的导函数）解：（）切线方程 （），则，故时，当时，；当时，故在处取得极大值又，则，所以，在上的最小值是 在上有两个零点的条件是，解得所以实数的取值范围是 （）因为的图象与轴交于两个不同的点所以方程的两个根为，则，两式相减得，又，则下证（*），即证明即证明在上恒成立因为又，所以所以，在上是增函数，则，从而知故，即成立。二、巧设主元，构造“好”函数例4已知函数。（1）求函数的最大值；（2）设,证明 ：.证明：（1）略，（2）在中以b为主变元构造函数,设,则.当时，,因此在内为减函数.当时,因此在上为增函数.从而当时, 有极小值.因为所以,即又设.则.当时,.因此在上为减函数.因为所以,即.通过以上典例的分析，可以看出构造一个“好”函数不但是一种解题的好方法，也是掌握函数与方程思想的一条好途径。将证明或求解的不等式转化为函数的问题，然后利用求导去研究函数性质证明不等式，关键在于转化为什么样的函数.这就要求从被