1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：3三角函数

1、1981 年2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编三角函数部分2019A62019A6、对任意闭区间I，用 M|表示函数 y=sinx 在I上的最大值.若正数 a 满足M0,a2Ma，2a ，则a的值为答案：或6 12ITJT解析：若0ca；,0兰M0,a=sin a兰2Ma,2a,与条件不符，所以a a：，此时0,a=1，Ma，2a=1，于是存在非负整数k，使得2018B2018B 5 5、设，一：满足tan(-3,tan( )=5，则tan(二-)的值为36答案：-7422017A2017A 2 2、若实数x, y满足x 2cosy = 1，则x - cosy的取值范围为答案：-1, .

2、311. 2解析：由x22cosy =1得x2=1-2 cos y 1,3】，得x L . 3, . 31, cosy = ,2所以x -cosy=丄x-12-1,xL、,3,.、3】可求得其范围为1-1,.、31】。2kxkx2016A2016A 6 6、设函数f(k)二sin4cos4，其中k是一个正整数。若对任意实数a，均有1010：f(x) | a x : a 7,(x) | x，贝y k的最小值为 _答案：16162kx2kx22kx2kx解析：由条件知，f(x) =(sincos ) -2sincos -10 10 10 10“.2kx 1 2kx丄3=1 s incos54545

3、兀13兀当k= 0 时，得 a或2a6 6，且处至少有一处取到等号。613二 ?13：经检验得或石均满足条件;当k_1时，由于2k :：6丛:2 2k二，故不存在满足的13二。综上a或a =6 12JI解析：由两角差的正切公式可知tan :-_34-764，即可得tan(_J7JI其中当且仅当x=.m（mZ）时，f（x）取到最大值根据条件知，任意一个长为1 1 的开区k间（a, a 1）至少包含一个最大值点，从而：:1,即k .5二.k反之，当k 5二时，任意一个开区间均包含f（x）的一个完整周期，此时 f（x）| a : x : a 1 = f（x） | x R成立综上可知，正整数的最小值为

4、5二T =16.1，则cos4的值为si na2015A2015A 7 7、设w是正实数，若存在a, b（愿玄a：. b 1，得 2 2丿fn nn卄、arcta nx2, arcta nx3乏 一，一, 从而arctan+arcta 0)有且仅有三个交点，交点252007*42007*4、设函数f(x)=3sinx，2cosxT。若实数a,b,c使得af (x) bf (x-c) = 1对任意的实数x恒成立，则bosc的值等于_a11, ,A.A.B.B.C.C.-1D.D.122答案：C C1解析：令Ci,则对任意的R，都有f(X) f (x -c) =2,于是取a=b,c二二，2则对任意

5、的R,af(x) bf(x -c) =1，由此得bco -1Oa一般地，由题设可得f(x)=.13sin(x：；冷)T , f(x-c) = .13sin(x：；呼一c)，1，其中n20且tan，于是af(x) bf(x-c)=1可化为23.13a si n(x) 13b si n(x：；*:c) a b =1，即.13asin(x)13bsin(x Jcosc - “ 13bsin ccos(xJ (a b -1) = 0，所以13(a bcosc)sin(x J -、13bsin ccos(xJ (a b -1) = 0。a bcosc = 0(1)由已知条件，上式对任意R恒成立，故必有彳

6、bsinc = 0(2),a+b1 = 0(3)若b = 0，则由知a = 0，显然不满足 式，故b = 0。所以，由知sinc = 0，故c = 2k二二 或c=2k：(kZ)。当c=2k二时，cosc 1,则、两式矛盾。故c = 2kI；H(k，Z),1cosc = -1。由、(3)(3)知a = b，所以15(兰x兰),贝U f (x)的最小值为_cos:的横坐标的最大值为：，求证：一sin a + sin 3a杆证明：f (x)的图象与直线y = kx (k . 0)的三个交点如答1313 图所示，且在(兀竺)内相切，其切点为，2 2二三(二，3) 由于2 2A(: , -sin:),

7、f (x)二-cosx,X(二二)2cos二COSJs s : : i i s s a acos2黒亠sin2:1 tan2：1 p2sin=：；sin3:2sin 2: cos: 4sin : cos:4sin : cos:4J.bcosc,2007*112007*11、已知函数f (x)=sin(x) -cos：x) 24a171v -kx/(x) = |sinjc|A2008AB132008AB13、已知函数f (x) = sin x的图像与直线y = kx(k 0)有且仅有三个交点，交点2544答案:数。容易验证fjx),i =1,2,3,4是偶函数，且对任意的n下证对 任意的x R，

8、有f1(x) f2(x) cosx二g(x)。当x =kn时，显 然成立；当n丄g (x) + g (x + nx=k n时 ，因为f1(x) f2(x)c x)二s(x), 而22丄丄3ng(x n =g(kn )23nnn二g(kn-2(k 1)力=g(-kn-=g(kn=g(x),故对任意的x R，有fjx) f2(x)cosx = g(x)。 解析.sin(实 际 上f (x)二-g(x) = . 2 sin( nx_n)(丄二x _)，贝U g(x)丄0,4 443是减函数，且y二g(x)的图像关于直线x二上对称,4nT215J(jxU)，设1 33 5g(x)在一，一上是增函数，在

9、一，一上4 44 41 33 5则对任意x ,，存在x2,使g(x2)= g(xj。于是心),(灯_2=灾2)_2_恥)_2=宓)，为X154詬f(x)- f(；)45X21 5，即f(x)在,上的最小值是4 4而f (x)在-,-上是减函数，所以4 44.5-。52007*152007*15、(本题满分存在4个函数fjx)数x，有2020 分)设函数f (x)对所有的实数(i =1,2,3,4)满足：对i =1,2,3,4,fj(x 二)二fj(x)；对任x都满足f(x 2 二)二f (x)，求证:fj(x)都是偶函数，且对任意的实 意的实数x, 有f (x f1(x) f2(x)c o s

10、3(x)sxrf4(x)s 2x。f(x) f(x)h(x)=证明：记g(xrf(x) f(-x),2是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的2x R,g(x 2二)=则f (x)二g(x) h(x),且g(x)g(x),h(x 2g(x) -g(xn令f1(x)=g(x)g(xnf2(x)2cosxh(x) h(x + nh(x) h(xnf3(x)=2sin x0f4(x)=2sin2x, nx = kn2, n，x = kn2knx =.2，其中k为任意整knfj(x 二)二fj(x),i =1,2,3,4。kn下证对任意的x R，有f3(x) x f4(x)rs 2x = h(x)。当x时

11、，显然成立；当x= k-2时，h(x) =h(k二)=h(k二-2k二)-h(k二)，所以h(x) =h(k二)=0,而此时f3(x)sirx f4(x)sir2x=0，故f3(x)sin x f4(x)sir2x=h(x)；3n3 nnnh(x u) = h(k n )=h(kn2(k 1) n=h(_kn) =-h(k n )2 2 2 2斗h(x)-h(x +冗)口-h(x)，故f3(x) sin xh(x)， 又f4(x)sin 2x = 0,于是，对任意的x R，有f3(x) sin xf4(x)sin 2x = h(x)。综上所述，结论得证。2006*72006*7、44设函数f(

12、x)=sin x-sin xcosx cos x，则f (x)的值域为答案：0,9-8解析：4 41 12f(x)二sin x-sin xcosx cos x = 1sin 2x sin 2x。令t = sin2x，贝U2 2112911291| 9f(X)弋-孑-孑飞-石)。因此mniinig(tg(1-Lr0,191丄99。即得0(x)违。2005*92005*9、设:-,:,满足0：: 2二，若对任意X，R，cos(x；二)cos(x：) cos(x) =0，贝y-:-二_答案:f (-：)=0，f(-)0, f (- -) = 0,即cos(- - -) cos( -：) - -1,

13、cosC - -) cos( - -) - -1,0 n ? -F ： -： ,又- ：，-：.33o-TT4TTOIT只有:=- : =(另一方面 ：=-:=.时，代回原式很容333易验证对x的任意性都成立)2004*72004*7、在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)二asin ax cosax(a 0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x a21的图像所围成的封闭图形的面积为 _答案：a21a解析：f(x)二as inax cosax =、a2 1sin ax:，取一个周期的图像，割补得面积为2从而有f3(x)sinx f4(x)sin 2x =h(x)。解析f(X)二cos(

14、x： ：)cos(x：) cos(x ),由x R,f(x)三0知，COSF) COS(：-巧=1. COS(：7)= COS(*) = COS(；二)二-12兀，宽为2寸a +1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求.故填 a +1aa2003*42003*4、若A.A.仝25答案：B.B.，贝y y =tan(x311、26C.C.2 兀)ta n(x) cos(x )的最大值是6 612、. 351136D.D.解析:数即变为x62sin2rJI+32H cosv，在；.二-4当xIL 12Jl Tt3时-4,-，原函6递增.于是-,上，sin 2v,COST都单调递增,6-一时，y取得最

15、大值11卫，故选C.66从而y单调2 2 2002*122002*12、使不等式sin x acosx a亠1 cosx对一切x R恒成立的负数a是答案：解析：的取值范围即COSX,2，因为sin2x acosx a2_1 - cosx对一切R恒成立,一口：:a2a-1 24所以当c。*1时，函数0sx一宁）2有最大值（1葺）22即（1 - _）2Ma2也11，即a2 a-2 亠 0，解得a _ -2或a亠124又a：0,所以a_-2，即所求负数a的取值范围是-：,2。2001*32001*3、在四个函数y二sin x,y = cosx,y = cot x , ylgsinx|中以兀为周期、在

16、0,- jI 2 丿上单调递增的偶函数是A.A.y二sin xy = lg sin x答案：解析:减只有2000*22000*2、B.B.y = cosxC.C.y = cot xD.D.y二sinx不是周期函数.y = lg sin x满足全部条件.设sin-0,cos： ：0,A.A.2k 兀 + ,22 +一 ,k Z63 丿5 兀2k 二 2,2k 二二,k Z、6 丿C.C.k Z答案：D Dy = cosx以2 -为周期.y二cotx在a aa aa a一且sin cos,则一的取值范围是( (333址+兰迎+叮.36,33，2 2k 兀 +I,4,3.B.B.D.D.0,上单调递

17、22k 二,2 k 二:6 .丿则( )_A.A.f C ) f (1) f C) f()C. f ) f G ) f() f()答案：f ) f ) f (1) f ()f(二).f (: ) . f ( ) . f (-)解析：满足sin、 0,cos,：0的 _：的范围是i2k ,2k二I 2是 仝， ,2k，满足sin】.cos二的1的取值范围为（3633丿333-二，于是二的取值范围3兀5兀）2k兀十一，2kx +I.故I I44丿所求范围是2k-：JT,2k-：4iU 2kx+ 丄，2k兀 +兀 i,i,k w Z.选 D D.116丿2000*72000*7、答案：arcsin(

18、sin2000)的值为-200解析： 因为200012 1800-1600.1997*51997*5、 设f（X）2. 1 =x x，:二arcs in,3負5+15:二arctan,二arccos( )，二 二arctan(),434解析:f （x）的对称轴为易得，最大值和最小值。兀JI兀V2二3:5 P f G ,由于x ,y =z,故cosxsin(y -z) -：0) ),6JIx时，31 cosxsin ycosz=一8cosxsin ycosz =coszbin(x y) -sin(x -y)211cosxsin( y - z) _222 :cosJcos2zcoszsin(x-y

19、) Jcos2 2 2且12且一cos2z Jcos2二2 12一1+cos-)4。2i i6丿由于sin(x - y) - 0, cosz 0,故当x = y =一12_2 +(3(3最大值238JI,z时cos xsin y cos z取得最大值121，最小值-.82.38B.B.D.D.1I1996*41996*4、设xw -,0 I, 以下三 个数： 旳=coqsinnx）, , G G2 2= sin（COSirx）, ,0（3 =cos兀（x十1）,的大小关系是 _ .A.A. ：3： 2： 1B.B. ： 3：- 2C.C. ：3： 1：*2D.D. ：2： 3： ： ： 1答案

20、：D D解析:s =coSsi冋两）0,a2= sin（coS两）0，口3=cos兀（1一x ）c0,排除B、D.Tsin x机+cosx兀=V2sin（ x| +才）才，于是cossin x兀, sin（cosx杠）cossinx让故aa1，选A.1另解：也可以取x代入计算可得2：1.41995*51995*5、Iogsin1cos1,logsin1tan1,logcos1sin1,logcos1tan1的大小关系是（）A.A.logsin1cos1芝logcos1sin 1 logsin1tan 1 logcos1tan1Blogcos1sin1：logcs1tan1：logsin1cos

21、1：logsin1tan1C.C.logsin1tan1：logcos1tan 1 logcos1sin 11；logcos1sin 1 = b，贝V （cos1=sin1ACOS1，所以0bc1;即logcos1sin1 c logsin1cos1.设logsin1tan1二c,logcos1tan1二d，则得sin1c= cos1d= tan1,（结合指数函数图象进 行比较）,c : d即logsin1tan 1 :：: log湎tan1. .故选C.logbsinalogbcosa1994*41994*4、已知0叮b叮1,0 a，则下列三数：x二sin a,y二cosa,4z =（sin

22、 a fbcosa的大小关系是（）A.A.x z yB.B.y z xC.C.z x yD.D.x：y z答案：A A解析：由0：a得0：sin a cosa：1.又0：b 1,所以logbsin a logbcosa0.4logbSinalogbcosalogbcosa（ （sina）g（SIna）gc（cosa）g即x zcy.选A.Q1994*101994*10、设0日 v 兀，贝Usin（1+cos日）的最大值是 _.答案：也9解析：令y = sin1 cos = 2sincos，知y 0,22 262日2日2日=2 2sin cos cos 22223）即八导，当叶子时等号成立199

23、2*81992*8、答案：在区间0.兀】中，二角方程cos7x = cos5x的解的个数是7解析：、1由题意得7x = 5x - 2k二，或7x = -5x 2k 二，(k 三 Z)，得x = k二,xk二( (k-Z) )，在区间0,二 I I 内共有 7 7 解.胡-1 1cos2O0-cos60200-cos6O0-20421990*11990*1.设 awaw ,则（cosm）cosx,（si na）cos,（cosG）sinx的大小顺序是14 2丿A.A.（cos：）cos_：（sin：严:（cos：严B.B.（cos：）cosS（cos：严、（sin：）沁C.C.（sin：）cos

24、：:（cos ）cos：（cos：）sin：D. （cos：）sin：（cos：严： ： ：（sin：）观： 答案：D D”丄5n 解析：GE一，一 得Occoscsin。1,14 2丿 （cos：）cos：（sin：）cos：；（cos：）sin：（cos：）cos：；选 D D1990*81990*8 .设A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t-60),cos(2t-600)为动点，则当t由150变到450时，线段AP扫过的面积是 _ .n答案：一6解析:点P在单位圆上，sin（2t -60） =cos（150-2t）,cos（2t -60） =sin（150-2t）. .1991*

25、71991*7 .2 0 2 0 0 0cos 10 cos 50 -sin 40 sin80 =答案：34解析：1 cos2001 cos100010“0原式cos120 - cos402 2 2=1一11COS20042-cos80-cos40.所以y26于扇形面积等于一.当t由150变到450时，点P沿单位圆从基运动到 1 1 乜2丿2 2线段AP扫过的面积等2abj1990*131990*13 .已知a,b均为正整数，且a b,si2，(其中0),a2+b2222 nAn=(a b ) sin nr.求证：对于一切自然数n,A均为整数.证明：2aba2b2由si nr = r-2，得C

26、OST-2.记Bn= (a2- b2)nsi n nv.a2+b2a2+b2当a,b均为正整数时，A =2ab、Bi=a2-b2均为整数.A2=4ab(a2b2), B2=2(a2 b2(-(a2+b2f也为整数.若Ak=(a2b2)ksinkv、Bk=(a2b2)ksinkv均为整数，则Ak卅=(a2+b2)kdisin(k +1 p = (a2+b2)k4i(sin k日cos日+cosk日sin日)=A.B. + AiBk为 整数.Bk4= (a2b2)k 1cos k i v - (a2b2)k 1coskvCOST- sin kJsinJ- BkB- -AiAk也为 整数.由数学归纳

27、原理知对于一切n三N,An,Bn为整数.1989*21989*2 .函数f(x) =arctanxarcsinx的值域是()()233|3311A.A.(一兀，兀) B B .- JL_兀 C C .兀一兀| D D .兀一兀、_ 4 44 4_ 2 2答案：D D解析：因x一1,11,故arctanx,arcsinx,，且f(-1)=IL 4 42IL 4 42兀f (1).选 D D21989*121989*12 .当s和t取遍所有实数时，则(s+53cost：+(s 2sint f所能达到的最小值为_.答案：22 2解析：令x=3cost,y=2sint,则得椭圆 刍+寸=1在第一象限内

28、的弧段.再令= s 5,y = s，则得y = x5，表示一条直线.s 5-3cost亠s- 2sint|：表示椭圆弧段上点与直线上点距离平方.其最小值为点3,0与直线y=x-5距离平方等于2.1986*11986*1、设-1：a :0，二-arcsina,那么不等式sinx：a的解集为()A.*2n二：x：(2n1)二nZ：B.x2n二-：x: (2n1)二丁,n Z;C.x(2n 1)二八：x：2n二-d n Z D.x(2 n-1)二-八：x：2 n二亠n Z;答案：D D解析：0，在：i.7,0内满足sin x a的角为-: - x：二，由单位圆易得解2为D.1984*71984*7、若动点P(x, y)以等角速度，在单位圆上逆时针运动，则点Q(-2xy, y2- x2)的运 动方式是()A.A.以角速度在单位圆上顺时针运动B B.以角速度，在单位圆上逆时针运动C.C.以角速度2在单位圆上顺时针运动D D .以角速度 2 2 . .在单位圆上逆时针运动答案：C C解析： 令x = cos t,y =sin，t.则一2xy二-2 sin 2t =cosi - 2 - t12丿y2- x2= - cos2；：t =sini32；rt.显然-2 t与;旋转方向相反.故选 C C