储庆昕高等电磁场讲义

1、多练岀技巧巧思岀硕果第13章分离变量法本讲讨论求解齐次波动方程(Helmholtz方程)的分离变量法。对于时谐场，设波函数' (r,t (r)ej 满足齐次波动方程(13-1)C 2 k2)'- (r) =0式中，k- ":。下面利用分离变量法在三种常用坐标系下求解(13-1)。、直角坐标系中的分离变量法宀 2一 2 - 2+2 + k屮=0x:y:Z设波函数(r)为' (x, y,z X(x)Y(y)Z(z)(13-3)式中，X,Y,Z分别只是x, y,z的函数。在直角坐标系(x, y, z)中，方程(13-1)可写成(13-2)将上式代入(13-2)并除以

2、XYZ，得(13-4)1 d2X1d2Y1d2Z门X dx2YdY2Zdz2上式中每一项只与一个不同的坐标有关，每一坐标可以独立变化，所以为了使上式成立，每一项都 应与坐标x, y,z无关。于是可设厂 2d2X(13-5)dx2 d2Ydy2d2Zidz2k；Z=0式中，kx, ky, kz称为分离常数，它们满足(13-6)这样，应用分离变量法，我们将(13-2)的偏微分方程转化为三个独立的常微分方程，称之为谐方程，其解称为谐函数。常用的谐函数有 ejuU,si nkuU,coskuU。根据(13-6)可知，分离常数kx, ky, kz中只有两个是独立的，这些分离常数的取值由具体问题的边界条件

3、确定。对于有界区域，如波导和谐振腔，分离常数一般为无穷多的离散值，称为离散谱。对于无界空间，分离常数则一般为连续值，称为连续谱。于是，我们得到了一系列的谐函数。最后，我们便可以得到齐次波动方程的一般解为对于离散谱*(x,t,z)八、A(kx,ky)X(kxX)Y(kyy)Z(kzZ)(13-7)kx ky对于连续谱'- (x,t,z) =A(kx,ky)X(kxX)Y(kyy)Z(kzZ)dkxdky(13-8)kxky为了求得适合于各种具体问题的波函数， 需要根据具体问题的特点，选择谐函数的形式。因此，了解各种谐函数的数学性质和物理意义是有益的。以X(kxx)为例，当kx为正实数时，

4、e-jkxX和ejkxX分别代表沿 x和- x方向传播的行波，sin kxx和coskxx代表沿x方向的纯驻波。当kx为复数且 Im k : 0时，e _jkxx和ejkxx分别代表沿 x和- x方向传播的衰减行波；当kx为纯虚数时，exxej( jxx)，等相面为7 一 kxx二常数，对该式两和ejkxx分别代表沿 x和- x方向的衰减波。判别波传播方向可以从等相面入手。考虑行波边关于t求导，可得波相速为dxVp :p dtco0kx所以，e4kxx表示波沿x方向传播。同理可判别 e jkxx。值得注意的是，上述判别与时间因子ej t的假设有关。如果假设时间因子为e，则情形相反。在本书中，时

5、间因子均假设为ej t。例13-1求图13-1所示的矩形波导中的电Hertz矢量1e二二eZ。解：二e满足齐次波动方程宀曲1=0< &丿设波沿Z方向传输，时间因子为 ejt，则有二e二二e(x,y)eKtZ)于是，波动方程变为其中，k：二k2 - 一：2。根据 Ez七e.z2- .2，则有 Ez 二 k；二 e， :t所以二e的边界条件为x=0,a-°，_ e y=0,b-°利用分离变量法，可得e的解为j (I z)ne= Asin xsi n yej('a b且kc图13-1矩形波导二、圆柱坐标系中的分离变量法 在圆柱坐标系(几,z)中，齐次波动方程

6、为1 ? 1 ：2,-C：一)22设波函数'-(匚,z)二R(讨( JZ(z)二 k0工(13-9)(13-10)将(13-10)代入(13-9)，并且方程两边乘以ddR "2；RddAd：2；-2 ，得R：Z 詔d2Z Z dz2 r7 k2：、2-0(13-11)上式中第二项与其他项独立，应满足1 d2：(13-12)上式的解由圆周方向场的单值性或场的边界条件确定。如果所研究的区域包括®引0,2兀的整个区域，为了保证场的单值性，则=f°S町)(13-13)，isin m屮丿为了满足边界条件， 一般来说，m其中，m为整数。如果所研究的区域为:, :2的扇

7、形区域，不是整数。可令将(13-12)代入(13-11)，方程两边除以;?2，禾U用各项的独立性,1 d2ZjZ dz22(13-14)丄AdR) . (nmL0PRdP( d# ( P2)式中 n2=k2-P2。上式中第一个方程的解形式为, si nBz,cosPz。卩的取值决定于z方向的边界条件。(13-14)中的第二个方程可写成d2R 1 dR2(n2(13-15)TM高次模z同轴线图 13-2解：令电Hertz矢量-e =-eZ，则边界条件为u =0。自然边界条件是在圆周方向场单r b称为Bessel方程。Bessel方程的通解常有三种形式。当表示闭合系统(如圆波导、同轴线、同轴腔等)

8、 中的电磁波时，波沿t方向为驻波，采用 Bessel函数Jm(x)和Neumann函数Nm(x)，即R( 二 AJm( BNm(13-16)当表示沿径向t传播的波时，可采用第一类和第二类Hankel函数Hm)(x)和H黒(X)，即R(n AHm1" n：JBH" mJ(13-17)Hm和Hm2)与Jm和Nm的关系为血=Jm jNm(13-18)= Jm - jNm当： k时，n为虚数，设n二j .，此时(13-15)称为修正(变态)Bessel方程。这时，解通常取 第一类和第二类修正Bessel函数lm(x)和Km(x),Im和Km与Jm和日第)的关系为R(lP) = Al

9、m(iP) + BKm(iP)(13-19)'lm(X)十Jm(jX)兀 m 卅(1)(13-20)|Km(x>-jm+Hm1)(jx)Jm和nm类似于余弦函数和正弦函数，Hm°和Hm2)类似于表示行波的复指数函数，而Im和 Km则类似于实指数函数。例13-2求如图13-2所示的同轴线的值。于是,由边界条件得二 e =AJm() BNm(')'cosm®、&n m®)e jzAJm( na) BNm( na) = 0AJm(nb) BNm( nb) =0于疋.上式便是确定Jm( na)Nm( nb) =Jm( nb)Nm( n

10、a)n的本征方程。确定了 n后，由(13-13)便可确定传播常数 ：，进而得电Hertz矢量为ejzJm(na)二厂 AJm(n)-Nm；naNm(n)Nm( na)、球坐标系中的分离变量法在球坐标系(r,n)中，齐次波动方程可写为1；：2；宀1汀1；：2，-：(r ) (sin ) 22r : r : r r sin 一 r sin i ：(13-21)设波函数(r, ) = R(r)0(“：(:)代入(13-21)，两边除以ROG，乘以r2si nJ，得sin2 日 d / 2 dR、丄sinB d . .2 2 . 2口 1 d2(r )(sin ) k r sin 二R dr dr 心

11、 dd上式右边只是函数，为使上式成立，上式两端必须等于常数，设常数为d22申戸 m - =0G d：:2 m2，则(13-22)(13-23)(13-24)所以解为 或jmjm、-Aej Be：-Ac o m Bs i rm(13-25a)(13-25b)m根据场的单值性来确定。由(13-23)左边可得1 d 匹 _二i n ( si °) si in - Rdr"上式两边分别只是 二和r的函数，所以两边必须等于常数，设常数为- 一：2，于是有2 m 72"2 dR 2 2)-k r (13-26) dr2msin2 二1 d . . d (sin ) O sin

12、 v dd1 d / 2 dR 2 2 (r ) k r R dr dr为了求解(13-27)，令 X =COSd, P(X)- GO，则2(1_x2)空(2dxdx“2、d2P c dP 小2m2、m 、k)P=°展开得(1 x ) r -2x ( -2)P =0(13-29)drdx1-x显然，x = 1为方程的奇异点。一般情况下，解在 x =1处是发散的。但如果我们取B2 = n(n +1)n = 012 则解只有有限项，且在x - _1处收敛。于j2(13-27)(13-28)是 (13-29)可写为 2 d2PdP(1-x )2 -2x n(n 1)-dxdx1 -(13-

13、30)称为连带勒让德方程，当m = o时称为勒让德方程。(13-30)的一个解为2 m n mm(1 _ X ) d2 nn (x)= 2nn!dx(x _ )m22】P = 0x(m二 n, x 二 1)(13-30)(13-31)Pnm (x)称为n次m阶勒让德多项式，或称第一类连带勒让德函数。m = 0时称为勒让德多项式或第一类勒让德函数。(13-30)的另一个线性无关解为dxQrX)=呼&)2m2(1 X2)Pnm(X)2称为第二类勒让德函数 (m = 0)或第二类连带勒让德函数(m = 0)。于是，(13-30)的一般解为P(x)二 APnm(x) BQnx)x = 1，即

14、= 0或二时，(13-32)由于x=1是Qm(x)的奇异点，所以，当我们研究区域包含 即解中不包含Qm(x)。最后，我们来求解(13-28)。将一：2二 n(n 1)代入(13-28)得 d2R 2 dR 22kdr r dr该方程类似于 Bessel方程，其解为球 Bessel函数：FRFr(13-33)应有B = 0,(13-34)jn(kr)=I兀2krJn2(kr)hni)(kr)二n 2 (kr)(13-35)ji2kr兀2肿您kr)定性地说，球Bessel函数与相应的Bessel函数有类似的特点：当k为实数时，j n(kr)和nn( kr)代表驻波，hni)(kr)代表向内行波，hn2)(kr)代表向