长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

1、长沙理工大学模拟考试试卷 10701011 , × 2101.nA, B,CABCECBAE2.x1 , x2 AX bx12 AXb3.AA4.xxxx5.x1 , x2 AX bx12 AX0(520 )2141.3102.,132Xb,(b0)3.n:1 ,2 ,mmn长沙理工大学二手货QQ 交易群 146 808 4174.321-221060211112111.11211112大学数学第1页（共2页）x1x2a12.若线性方程组x2x3a2 有解，问常数a1 , a2 , a3 , a4 应满足的条件？x3x4a33.设 1,2 ,x4x1a4b 的解向量 (b 0)，若

2、k1 1 k2ks s 也是的s 是方程组X2解，则k1 k2ks；x1x22x3x404.求齐次线性方程组2x12x23x33x40 的基础解系；x1x2x32x405.已知矩阵 A2231与矩阵 B12xy3相似，求 x , y 的值；x12x224a.6.设 f5x322ax1 x22x1 x34x2 x3 为正定二次型，求四、证明题（ 10分）：设向量组1 ,2 ,3 线性无关， 长沙理工大学二手货QQ 交易群 146 808 417证明1 ,12 ,123 线性无关。长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数试卷编号： 1一、判断题（正确答案填, 错误答案填×。每小题

3、2 分，共 10 分）1，×2，×3， 4,× 5,二、填空题：( 每小题 5 分，共 20分 )1， 42； 2，X0； 3，相关，相关；4，4， 1， 4.三、计算题（每小题10 分，共 60分）211151111111121152111211（5 分）1.12=12=51121115111125112111211110100 5（5 分）=5010000011100a10110a2（ 2分）2. ( A b)011a301001a4大学数学1100a10110a2（ 5分）0011a30000a1a2 a3 a4若有解，则A 的秩与 ( A b) 的秩相等，

4、即 a1a2 a3a4 0 。（3 分）1121r22 r111211121r3r23. 2034r34 r102760276（6 分）42102740002 (1)当2 时，矩阵的秩为2；（2分）(2)当2 时，矩阵的秩为3.（ 2 分）第1页（共3页）4. 对系数矩阵作作初等行变换1121r22r1112122330011r3r11112001111211103r2( 1)0 0 11 r12r20 0 11r3r200000000得同解方程组x1x23x4x30x2x4令x210得x11，3x40，；x3011基础解系为：11100 T,23 011 T5. 解： A 与 B 相似，特征

5、多项式相同，即AEBE亦即2231yxAExy( 22)()31BE12(1)( 4)634(22)( y)31x (1)(4)6x12 ,y17大学数学1a16. 解： f 的矩阵为Aa12125f为正定二次型，A 的各阶主子式大于 0a11a11a121a即1 0，a22a1 a 2 0a2111a1(54) 0Aa12aa125第 2页（共 3页）解联立不等式组1a2 0 或 a(5a4) 01 a 1或4 5 a 04 a 05即当4 a 0 时， f为正定二次型5四、证明题（10 分）：证明：设存在一组数k1 , k2 ,k3 使得 k11k2 ( 12 )k3 ( 1 2 3 )

6、0(k1k2k 3 ) 1(k 21k2 ) 2k3 30 ，（3 分）又向量组1 ,2 ,3 线性无关，k1k2k30因此k2k30k10, k20, k30，（7 分）k30由此可知，只有当k10,k20, k30 时，等式 k11 k2 (12 )k3 (123 )0 才成立，即向量组1 ,12 ,123 线性无关。（10分）大学数学33长沙理工大学模拟考试试卷 2 ( , × .10)1.A, B nABBA2.A, BnR( AB)R( A) R(B)3.1 ,2 , , s4.1,2AX0k1 1k1 1AX 05. A n (1.D naijA A2520)aDaij1

7、2.21 2 331 , 2 , , mTT3.TmTT m;4.1,2,3p1 , p2 , p3( p1 , p2 , p3 )1(1060) 12大学数学abacae1.bdcdde；bfcfef32.计算2123；11211x13.设 A23a2 ,b 3, xx 2, 若线性方程组 Axb 无解 , 则 a；1a20x 32 x1x 2x 3x 414.求解非齐次线性方程组:4 x12x 22x 3x 42；2x 1x 2x 3x 415.设 3阶矩阵A的特征值为12，2，3，对应的特征向量依次为21011p11 ， p21 ，p31 ,110求 A ；6. 用配方法化二次型f2x1

8、2x224x1 x24x2 x3 为标准形，并求所用的可逆变换矩阵四、证明题： (10 分 )BT AB 也是对称矩阵 .设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明第2页（共2页）大学数学长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号： 2一、判断题（每小题2 分，共 10 分）1， 2， 3，×， 4，×， 5，；二、填空题： ( 每小题 5分，共 20分 )1231001， ( 1)n a ； 2， 246 ；3，Tm,Tm ； 4， 020369003三、计算题（每小题10 分，共 60分）abacaeaaa1. bdcddebce ddd（4 分

9、）bfcfeffff111abcdef 1114abcdef ；（ 10 分）1112. (A 2E)X A（2 分）A2E20 ,A2E 可逆X( A2E) 1A110110100011A2E, A011011010101101101001110011X101110（ 5 分）（8 分）（ 10 分）121112013.解A36130010（5 分）510150000x12 x2 x4x2x2（7 分）x30x4x4第 1页（共 3页）大学数学x121x210通解为k1k 2x300x401113211324. a1 , a2 , a3 , a413260214（5 分）1511000103

10、1a2a000a 2当 a2 时， R(a1 , a2 ,a3 , a4 ) 3 4向量组 a1 , a2 , a3 , a4 线性相关 .（10分）0115.解令Pp1 , p2 , p31 11，P可逆110011100100110P,E111010010111110001001011110P111（4 分）0112233A P2P 1（6分）4 53（10 分）14426. 解： f2(x1x2 ) 224x2 x3 = 2( x1x2 )2( x22x3 ) 24x32x2（4 分）y1x1x2x1y1y22 y3令 y2x22x3 ,即 x2y22 y3（6 分）y3x3x3y3则原

11、二次型化为标准形f2 y12y224y32（8 分）可逆变换矩阵第 2页（共 3页）112C 012（10 分）001四、证明题：（ 10 分）证明：因为 ( BT AB )TBT AT (BT )TBT AB（8 分）所以 BT AB 也是对称矩阵。（10 分）大学数学第3页（共3页）长沙理工大学模拟考试试卷 3 ( , × .10)1.2.3.4.5.(520)1.2.大学数学3. 齐次线性方程组的基础解系中的解向量一定线性；4.设则由表示是为=。三、计算题： ( 每小题 10 分，共 60 分)1.；2.设，求；3. 已知三阶方阵且的每一个列向量都是的解， 1）求的值， 2）求

12、；第1页（共2页）4. 求矩阵的行向量组的一个最大无关组；5. 设三阶矩阵的特征值为，对应的特征向量为大学数学，求；6. 写出二次型的矩阵，并判断是否为正定。四、证明题： (10 分)若线性无关，试证也线性无关。长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号： 3一，判断题（每小题2 分，共 10 分）1， 2， 3，×， 4， 5，×；二：填空题： (每小题 5 分，共 20 分 )1， 0； 2， A*；3，无关； 4， 23 ；A三：计算题（每小题10 分，共 60分）11111112231，原式11449根据范德蒙行列式的结 果 （ 3 分）11882711

13、161681(11)( 21)(21)(31)( 21)(21)(31)(22)(32)(32)2880 ；（ 10 分）2， AB00,（3 分） BA105,（3分） A215500201030；（4 分）103，（ 1）根据已知B 0 ，可知方程组有非零解，122则系数行列式2101；（6 分）311（ 2）因为已知齐次方程组有非零解，则解空间的维数2，所以 B0 ；（4 分）1121111211111110221102211022114，1824022110000（6 分）30130200221100000大学数学因此第一列与第二列是一个最大无关组；（10 分）1005，根据已知存在矩阵 Pp1 , p2 , p3 ，使得 P 1 AP 000，（4分）001第1 页（共2页）10012210019所以AP00 0P12210002001312001929542999452（ 10分）99922899911001502，（5 分）6， A01000200229921（ 8分）9912991111040,1504 0，A40 ，（9 分）因为1 0,51001因此