全国理数第33课空间几何体的表面积与体积

1、第33课 空间几何体的表面积与体积1.空间几何体的表面积 a.简单几何体的表面积（1）（2016全国川，5分）如图33- 2,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）1JfJ7FF1f图 33 2A . 18+ 36 5B. 54+ 18.5C. 90D. 81答案：B解析：（法一）由三视图可知，该几何体是一个以边长为3的正方形为底面的斜四棱柱，高为 6,侧棱长为，32+ 62= 3 5，所以其表面积 S= 2X 32 + 2X 3X 3 5+ 2 X 3 X 6= 54 + 18 5. 故选B.（法二）由三视图可知，该几何体是一个以主视图为底面的直

2、四棱柱，底面面积为3 X 6=18，底面周长为2X 3 + 2 X 32+ 62= 6 + 6 5,棱柱高为3,所以侧面面积为（6 + 6 5） X 3 =18 + 18 5,故棱柱的表面积 S= 2X 18+ 18+ 18 5= 54 + 18 . 5故选 B.（2）（2018江苏南通高考最后一卷，5分）如图33 3所示，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为n若正方形ABCD内接于底面圆O,则四棱锥P ABCD的侧面积为答案：解析：高h为2r,图 33 36,55因为圆锥的高是底面半径的 2倍，侧面积为 n所以设圆锥的底面半径为 r，则 母线长1= r2 + 4r2 = 5r，所以圆锥的侧

3、面积 S= nl = nr - 5r = n,即r2=亠5.55r2所以四棱锥的斜高 h'=）PA2因为正方形 ABCD内接于底面圆 O,所以四棱锥 P ABCD为正四棱锥，且 AB = 2r, 2，所以四棱锥P ABCD的侧 面积 s'= 4S°pab = 4 X1X AB X h = 2 X2r X= 6r2 =血2*25 'b.组合体的表面积n(3) (经典题，5 分)在梯形 ABCD 中，/ ABC =，AD / BC, BC = 2AD = 2AB= 2将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为.答案：（5 + 2）

4、n解析：由题意可知，该几何体的直观图如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个底面半径为 1，高为1的圆锥后形成的几何体.圆柱的侧面积为 Si= 2 nX 1 X 2 =4 n,圆柱的底面积为 S2= nX 12= n .圆锥母线长为 寸12+ 12 = 2，圆锥的侧面积为 &=£X 2 nX 1X2 =寸2 n,则该几何体的表面积为S= S)+ S2 + &= (5 +寸2) n（4）（2015全国I ,5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体,该几何体二视图中的正视图和俯视图如图33 4所示.若该几何体的表面积为16 + 20

5、n则r =（）D. 8截圆柱的平面过圆柱的轴线，几何体r，圆柱的高为2r，二该几何体的表面俯视图图 33 4A . 1B . 2C . 4答案：B解析：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知, 的直观图如图所示，圆柱的底面半径和球的半径都为1 2 2 2 2 2 2 积为 S= ?X 4 n + nr + 4r + n 2r = (5 n+ 4)r .又 t S= 16+ 20 n, (5 n+ 4)r = 16 + 20 n,二 r=4, r = 2故选 B.2.空间几何体的体积a.直接法求几何体的体积（2015江苏，5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱

6、各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .答案：7解析：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积之和为1 X 25 nX 4+ 4 nX 8 = 1965设新的圆332锥和圆柱的底面半径为r，则新的圆锥和圆柱的体积之和为1X 4 n2+ 8 n2= 8. v重新制2作后橡皮泥的体积不变， = 196n,=寸7.33（2018天津，5 分）已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 ,除面ABCD夕卜，该正方体其余各面的中心分别为点E, F , G, H , M（如图33 6所示），则四棱锥 M EFGH的体积为.图 33 6答案：丄1

7、2解析：因为E, F, G, H分别为各个面的中心，显然 E, F , G, H四点共面，截面如图所示.显然四边形EFGH为正方形，且边长为所以S正方形EFGH = 22 X_22丄12.另外易知点M到平面EFGH的距离为正方体棱长的一半，即 2所以四棱锥 M EFGH的体积（7）（经典题，5分）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）答案：3解析：由题意可知，天池盆上底面半径AB = 14寸，下

8、底面半径 CD = 6寸，高AC= 18寸.1积水深EC = 9寸，恰为圆台高度 AC的一半，.水面半径 EF = 2（14+ 6） = 10（寸）.v水面面积S水=nX 102= 100 n平方寸），天池盆下底面面积 S下底面=nX 62= 36 n平方寸），1 ,盆中水的体积 V水=-X 9X （36 n+ 100 n+ ,36 nX 100 n） = 588 n立方寸） 天池盆上底面面积3为S上底面=nX 142= 196 n平方寸），二平地降雨量是 =588 = 3（寸）.S±底面 196 n（8）（2018北京海淀一模，5分）某几何体的三视图如图33- 7所示，则该几何体的

9、体积是嵋视图图 33 7 答案：3+ 3其中半圆柱的底面半径为1,2,即直角边为,2.所以几何体解析：由三视图可知该几何体为半圆柱与三棱柱的组合体,高为3,三棱柱的高为3,底面为等腰直角三角形，斜边长为 的体积 V=X nX 12X 3+ 1X 2X 2X 3 = 3n+ 3.2 2 、 、 2（9）（经典题，13分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱在如图33 8所示的阳马P锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.ABCD中，侧棱 PD丄底面 ABCD，且PD = CD，点E是PC的中点，连接 DE , BD , BE.（I ）证明：DE丄平面PBC.试判

10、断四面体 EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直 角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；V1（n ）记阳马P ABCD的体积为Vi,四面体EBCD的体积为V?，求的值.答案：（I ）见证明过程，四面体 EBCD是鳖臑，四个面的直角分别是/BCD，/ BCE ,/ DEC，/ DEB （ n ）4解析：（I ）证明：T PD丄底面ABCD , BC?平面ABCD , PD 丄 BC.底面ABCD为长方形， BC丄CD ,而 PD n CD = D , PD , CD?平面 PCD , BC丄平面PCD.又 DE?平面 PCD, BC 丄 DE.又 PD = CD ,点E是PC的中点， DE

11、丄PC ,而 PCn BC= C , PC , BC?平面 PBC , DE丄平面PBC.（5分）由BC丄平面PCD , DE丄平面PBC ,可知四面体 EBCD的四个面都是直角三角形，即 四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是/BCD , / BCE , / DEC , / DEB .（7分）1 1（n ）（法一）由已知得 PD 是阳马 P ABCD 的高， Vi = -S 矩形 abcd PD = 3BC CD PD.（9 分）1 1由（I ） 知, DE 是鳖臑 D BCE 的高，BC 丄 CE, V?=Sa bce DE = &BC CE DE .（11 分）13BC

12、CD PD 2CD PD3= 2CD PD = 4.（13 分）1CE DEBC CE DE6在 Rt PDC 中，PD = CD，点 E 是 PC 的中点， DE = CE = -CD , V1V2（法二）如图，过E作EG丄DC于G.1-PD 是阳马 P ABCD 的咼， V1 = 3S 矩形 abcd PD.（9 分）3/ PD丄平面 ABCD , DC?平面 ABCD , PD 丄DC.又 EG丄 DC , EG?平面 PCD , EG / PD, EG 丄平面 ABCD，即 EG 为鳖臑 E DBC亠 1的咼， V2= 3G DBC EG.（11 分）1 E 为 PC 的中点，PD /

13、 EG,. EG= -PD.1 S矩形 ABCD PD （又在矩形 ABCD 中，Sdbc = 2s矩形 ABCD，二 VT 1 1 CiDi= -x 2 x 仆 1X 1 = 6.（7 分） = 31= -S-EG= 4.（13 分）2V2DBC EG3 DBC EGb.利用等积变换求几何体的体积（10）（经典题，7 分）如图 33- 10,长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB = BC = 1, AA1= 2, E是侧棱BB1的中点，求三棱锥 A C1D1E的体积.图 33 10解析：（法一）如图，作EF / C1D1，交AA1于点F，连接D1F，易知F为AA1的中点，则1 1 1

14、C1D1 = 3x ?x 1 x 1X 1 =云.（7 分）（法二）如图，连接BCi, BD"易知DABC.运用割补法求几何体的体积（11）（经典题，8分）如图33 12,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a, E, F分别是棱AAi和C®的中点，求四棱锥 Al EBFD!的体积.AR图 33 12C3答案：a6解析：如图，连接BD1.由题意知EB = BF = FD1= D1E, 四边形EBFD1为菱形.（1分）BA =aa-2a1-21- 3312，（6 分）=2=眷（8分）（12）（2019改编，5分）如图33- 13, ABC为等边三角形，边长为 8, DB丄

15、平面 ABC,且AE / FC / BD, BD = 3, CF = 4, AE = 5,则此几何体的体积为 .答案：64 3解析：（法一）如图，分别延长 AE, BD , CF 到 Ai, Bi, Ci,使 AiE= BD , BiD = AE,CiF = CF，则AAi= BBi = CCi = 8,.几何体 ABC AiBQi是底面边长和高均为 8的正三棱1柱，且几何体ABC EDF与BiAiCi DEF的形状相同，体积相等，二Vabc-edf =-i i=2X 2X 8X 8X sin60 ° 8 = 64羽.（法二）如图，过点D作平行于平面 ABC的截面，与棱 AE, CF

16、分别交于点N, M，则几 何体ABC NDM是一个直三棱柱，i-VABC-NDM = S° ABC BD = ? X 8 X 8 X Sin6° X 3 = 43.四棱锥 D MNEF的底面MNEF为一个直角梯形，上底FM = 4 3 = i ,下底EN = 5i + 23 = 2，高为8, S梯形mnef = X 8= i2,而四棱锥的高为 D到MN的距离，即h = 8X si n60 °.ii=4 3, Vd-mnef = 3S 梯形 mnef h= 3X i2X 4 3= i6p3. Vabc EDF = Vabc NDM + Vd -MNEF =48 .3

17、+ i6 3= 64 .3.（i3）（经典题，5分）如图33 i4,三棱柱ABC AiBiCi中，若E, F分别为AB, AC的中点，平面答案：75如图，延长 AiA, CiF , BiE，则三条线交于一点，设为A2延长CiC, BiB分别=2/三解析：到点 C2,B2,使 CC2= BB2= AA2,连接 A2C2,B2C2,A2B2,易知棱锥A2 AEF与三棱锥A2 AiBiCi的棱长比为1 : 2,二设三棱锥 A2 AEF的体积为 V。，则=8V。,Vo= 7Vo,=24 V。,Vi =_ 1=2=8Vo =12V。，V2 =Vi = 12Vo 7Vo= 5Vo,.7ViEBiCiF将三

18、棱柱分成体积为 Vi, V2（Vi>V2）的两部分，则 V =d.建立目标函数求空间几何体的体积（i4）（20i9改编，8分）如图33 i6,圆形纸片的圆心为 0,半径为5 cm，该纸片上的等 边三角形 ABC的中心为 O.D, E, F为圆O上的点， DBC , ECA, FAB分别是以BC, ca,ab为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以bc,ca,ab为折痕折起 dbc , eca , FAB,使得D, E, F重合，得到三棱锥.当厶ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为多少.图 33 - 16答案：4 15 cm3解析：（法一）如图，连接 0D，交BC

19、于点H，则0D丄BC, H为BC中点又因为 0三棱锥D ABC中，设OH = x Ov xv 5，则底面边长 BC = 2 3x，斜高DH = 5-x,三棱锥 的高 h=寸DH2-0H2(5 x) 2 x2 =寸25 10x, S»bc = 1 23xsin60 = f3x2,所以得到的三棱锥 D ABC的体积V=护厶abc h = , 3x2 - 25 10x= .15 - 5x4 2x5.(4分)令 f(x) = 5x4 2x5, x 0, 2，则 f，(x) = 20x3 10x4,f ' (x) >0,由$5 得0v xv 2，所以函数f(x)在(0, 2)上单

20、调递增；o<x<2，f (x) <0,/、由I 5 得2v xv %所以函数f(x)在(2, 2上单调递减，r2所以f(x)在x= 2时取得最大值，即f(x)< f(2)= 16,则VW ,15X 16= 4, 15,即该三棱 锥体积的最大值为 4.15 cm3.(8分)（法二）如图，连接OD，交BC于点H.0<2x< 5寸3,DH由! x x 得0v xv学.（3分）I5 -百码，2设三棱锥的高为h,贝U h= . DH2 OH2,所以三棱锥的体积 V = S ABC hX (2x)2X(10. 3-4x)=廿当且仅当x= 10 v3 4x,即所以该三棱锥

21、体积的最大值为（曾-4X）5=會，x= 2/3时，等号成立，满足条件.4 15 cm3.（8 分）3. 与球有关的切接问题a.球截面的性质（15）（经典题，5分）已知H是球O的直径 AB上一点，AH : HB = 1 : 2, AB丄平面 a, H 为垂足，a截球O所得截面的面积为 n则球O的表面积为 .答案：字解析：平面a截球O所得截面为圆面，圆心为 H，设球O的半径为R,则由AH : HB1 2=1 : 2，得 AH = 3 X 2R= 3R, OH = OA-AH = R.由圆H的面积为n得圆H的半径为1.如图，设平面 a与球面交线上一点为 C,连接CH , CO,贝U CH = 1./

22、 OH2+ CH2= CO2,： R 2+ 12 = R2,解得 R2 = 9.球 O 的表面积 S= 4 nR2= 4 nX 9= 9n8 2b.简单几何体的内切球与外接球（16）（经典题，5分）正方体的内切球与外接球的表面积分别为S1, S2,则S1=1答案：1解析：设正方体的棱长为a,内切球半径为r，外接球半径为 R.正方体内切球与正方体各个面都相切，内切球的直径等于正方体的棱长，即2r = a,a2.正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长度， 2R= 3a，即 R= fa,2内切球与外接球表面积的比为詈=:：2=3.（17）（经典题，5分）一块石材表示的几何体的三视图如图33- 18

23、所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）疋视图傭视图A. 1答案：解析：12,如图图 33 - 18C. 3B由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为所示，其中AC = 6, BC= 8,Z ACB = 90°贝U AB= 10.要使该石材加工成的球的半径最大， 只需球与直三棱柱的三个侧面都相切或与上下底面都相切.当球与三个侧面都相切时，半径6 十 810r等于直角三角形 ABC的内切圆半径，即r = 2；2当球与上下底面都相切时，半径等于直三棱柱高的一半，即为6由球在几何体内部， 故舍去与上下底面相切的情况，故能得到的最大球的半径为2故

24、选B.（18）（2017全国川，5分）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）答案：B解析：如图，O为球心，O为圆柱下底面圆心，圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， oo'= 1，该圆柱底面圆的半径 =,12- 1-2Y 12丿2该圆柱的体积 V= Sh= nX L?3 2 X 1 =苧.故选B.（19）（2018全国川，5分）设A, B, C, D是同一个半径为 4的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥D ABC体积的最大值为（）A . 12 .3B . 18 .3C . 24.3D

25、 . 54.3答案：B解析：设等边三角形ABC的边长为a,则$走2= 9 3，解得a= 6.由正弦定理，可得 ABC外接圆的半径r =.：=¥= 2>/3.2sin60 p 3设球的球心为 O,A ABC的外心为O',则 OO'=42（ 2一3） 2= 2.显然当点D, O, O'三点共线，同时 DO丄底面ABC,且点D位于远端时，点 D到底面ABC的距离最大，为d= OD + OO'= 4 + 2= 6，此时三棱锥 D ABC的体积最大，最大值1为3X 9 .3X 6 = 18 .3.故选 B.3随堂普查练331.（2015安徽，5分）一个四面

26、体的三视图如图 33 20所示，则该四面体的表面积是（）正（主）观图側（左）视图俯视图 图 33 20A . 1+ .3B. 2 + 3C. 1 + 2 .2D . 2 .2答案：B解析：由三视图可知，该几何体是底面三角形ABC和侧面三角形FAC均为等腰直角三角形的三棱锥 F ABC，且FO丄平面ABC，如图所示.易知 ABC与厶FAC的直角边均为，2,1DIH图 33 - 21二 Sa abc= Sx pac= 2 X 2X 2 = 1.易知 APB与厶CPB都是边长为.2的等边三角形, SaAPB= Sa CPB=手乂 ( 2)= 2 ,三棱锥的表面积为S= 2X 1 + 2 x23= 2

27、+ ,3故选B.1解析：由几何体的三视图，可知该几何体为球去掉了它的 1后所剩的几何体，如图所示.设8球的半径为，则y3宀竽r =2，该几何体的表面积s=/4”七冬3=仃冗故选A.3. （2015 全国 II , 12 分）如图 33 22 所示，长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB = 16, BC=10 , AA1= 8,点E, F分别在A1B1, D1C1上，A1E= D1F= 4，过点E, F的平面a与此长 方体的面相交，交线围成一个正方形.(I )求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.2. （2016全国I , 5分）如图33 21所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆

28、及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是2|5,则它的表面积是()3答案：A(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);图 33 22A. 17nB. 18nC. 20 nD . 28 n答案：（I ）交线围成的正方形 EHGF如图所示.（H）77也正确解析：（I ）交线围成的正方形 EHGF如图所示.（5分）（n ）如图，作 EM 丄 AB，垂足为 M，则 AM = AiE = 4, EBi= 12 , EM = AAi = 8. 四边形EHGF为正方形，EH = EF = BC= 10, MH = EH2-EM2= 6, AH = 10, HB = 6.（8 分）长方体被平面

29、 a分成两个高为10的直棱柱， V1=梯形AD , V2=梯形BC, （10 分）其体积的比值=V2梯形梯形梯形A1E+ AHEB1+ HB4+ 10 _12+ 6=9 9也正确.（12分）4. （2019改编，13分）如图33- 23所示，某容器由圆柱和圆锥构成（容器底部位于地面上），圆柱的底面直径和高都等于（I ）求制作这样一个容器的用料面积；（n）求这个容器的容积（忽略容器的厚度）；（川）现用该容器盛装某液体，液面高度为2.15 m，则该容器内的液体体积为多少?答案：（I ） 5 +nm2 （ n ）2.1 nm33（川）2.0875 nm解：（I ） 圆锥和圆柱的底面半径均为 r =

30、1 m,圆柱的底面面积 S0= n2= nm2）. （1分）圆锥的高hi = 0.3m,.圆锥的母线长为1= r2+ h注,12+ 0.32 =亠谓9（m）,圆锥的侧面积 S, = 1 x :冗乂晋二亠晋皿口2）. （3分）圆柱的高 h2= 2 m,圆柱的侧面积为 S2= 2 nX 2= 4nm2）. （4分）容器的用料面积为S= So + Si + S2= n+ 1109 冗+ 4 n= 5 + 亠Xm 2）. （5 分）1 1 3（n ）T 圆锥的容积V1 = 3S0 h1 = 3X nX 0.3= 0.1 n（m ），圆柱的容积V = So h2= nX 2 =2n：m3）,容器的容积为

31、 Vo= V1+ V2= 0.1 n+ 2 n= 2.1 n（m3）. （8 分）h1（川）（法一）/ h2<2.15<h1 + h2,.液面在圆锥内.又T2.15-h?= 2.15 2 = 0.15=弓，即1液面高度恰好在圆锥体高度一半的位置，液面的半径为r'= r = 0.5m,.空出来的容积为V3=，X nX 0.52 X 0.15 = 0.0125 n（m3）, （11 分）3容器内的液体体积V= V0 V3= 2.1 n 0.0125 n= 2.0875 n：m3）. （13 分）h1（法二）/ h2<2.15<h1 + h2,.液面在圆锥内.又2.1

32、5 h2= 2.15 2 = 0.15 = 即液面高度恰好在圆锥体高度一半的位置，即液体上部分为一个圆台.圆台上底面的半径为r'1222=2 = 0.5m，上底面面积 S上底面=n = nX 0.5 = 0.25 n（m ）.又t圆台下底面面积为S0,高为 0.15 m，圆台体积为 V3= 3x 0.15 X （0.25 n+ n+寸0.25 nX n= 0.0875 （m3）. （11 分）3容器内的液体体积为V= V2+ V3= 2.0875 nm3）. （13分）5. （经典题，5分）如图33 24所示，一个边长为4的正方形ABCD , E, F分别为BC,CD的中点，将正方形沿

33、 AE, AF , EF折叠起来，使 B, C, D重合于P点（如图33 25所 示），则三棱锥P AEF的体积为 .D)答案：8解析：三棱锥 P AEF是由正方形折叠而来的，/ EPF = Z ECF = 90° / APE =/ ABE = 90° / APF = Z ADF = 90° AP丄 PE, AP丄PF .又 PEA PF = P, PE, PF?平面1 11 8PEF , API平面 PEF , Vp-aef= Va-pef = "Spef AP = - X 寸 2 X 2 X 4 = 3.6. （2018湖南师大附中一模,5分）某几何

34、体的三视图如图33 26所示，则该几何体的体积为（）側（左）视图俯視图图 33 26A. 4 答案：DB. 3C. 2D. 11所示.设DG的中点为M ,解析:（法一）由几何体的三视图可知该几何体的直观图如图ABCD ENFM过点B作BN/ GD，且 BN= 1,连接 ME, MF , NE , NF, EF.易知几何体为正方体，且三棱锥 G EMF与三棱锥B ENF的大小、形状相同，如图2,所以该几何体 的体积等于正方体 ABCD ENFM的体积，为1故选D.（法二）由几何体的三视图可知该几何体的直观图如图1所示.将该几何体补成一个长为 1、宽为1、高为2的长方体，如图3易知该几何体的体积为

35、长方体体积的一半，所以该几1 1何体的体积为2V2 = 1.故选D.7. （2018衡水中学一模，5分）如图33- 27所示，在直角梯形 ABCD中，AB丄BC,AD II BC,1AB = BC= 2AD = 1,点E是线段CD上异于点 C, D的动点，EF丄AD于点F，将 DEF沿EF折起到 PEF的位置，并使PF丄AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为BCD图 33 - 27答案：0,解析： PF 丄 AF , PF 丄 EF , AF n EF = F , AF , EF?平面 ABCD , PF 丄平面 ABCD , PF为五棱锥 P ABCEF的高.设 PF = x,贝U

36、0< x <1，且 EF = PF = x,1 1 2 1 2五边形 ABCEF 的面积 S= S 梯形 abcd Sdef = 2 x (1 + 2) X 1 x = ?(3 x ),x= 2(3x x3).1 1五棱锥 P ABCEF 的体积 V= -X -(3 x2)X3 2设 f(x) = 6(3x x3), 0<x<1 ,1 1则 f'(x) = 6(33x2) = 2(1 x2),当 0<x<1 时，f'(x)>0 ,1 f(x)在(0, 1)上单调递增.又 f(0) = 0, f(1) = 3,3五棱锥P ABCEF的体积

37、的取值范围是0, £ .& （2019汇编，10分）已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球 O的球面上，SC是球O的直径.若平面 SCA丄平面SCB, SA= AC, SB= BC,三棱锥S ABC的体积为9,则球O的表面积为 . （2017全国I ）体积为18 3的正三棱锥 A BCD的每个顶点都在半径为 R的球0的球面上，球心0在此三棱锥内部，且 R : BC= 2 : 3，点E为线段BD的中点，过点E作球0的截面，则所得截面圆面积的最小值是 . （2018昆明一中高三第一次摸底）答案：36 n9n解析：如图，设球的半径为 r，贝U OA= OB = OC = 0S= r

38、.由SA= AC, SB= BC,可知 SBC与厶SAC都是等腰直角三角形， AO丄SC, BO丄SC.又：平面 SCA丄平面SCB, 平3面 SCAA 平面 SCB = SC,. BO丄平面 SAC,. Vsabc = Vb- sac=X X 2r = = 9, r 323=3.故球 O的表面积为 4 n （2017全国I , 5分）某多面体的三视图如图33 28所示，其中正视图和左视图都由 正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的= 4 nX 32= 36 nA. 10B . 121 1所以1X尹3kX设BC = 3k（k>0）,三棱锥A BC

39、D的高为h,则R= 2k.因为体积为18 3的正三棱锥 A BCD的每个顶点都在半径为 R的球O的球面上，h= 18 ,3，得 h = .由 r2= (h R)2 + ( 3k)2,得 k= 2或k=饭4.因为球心O在此三棱锥内部，所以 R<h,即k<各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） 12，所以k= 2,所以R= 4. 因为在 ODB中，OD = OB = 4,点E为线段BD的中点，所以 OE丄BD .又因为 DB = 6，所以 OE = <:：16 9 = 7.易知当截面垂直于 OE时，截面圆面积最小，此时截面圆的半径为16 7= 3,故截面圆面积的最小值为

40、 9 n突破积累练三视图与表面积和体积的综合问题图 33 28C. 14D . 16答案：B解析：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示.该立体图形中只有两个面积相等的1梯形，S 梯形 = 2 X 2X （2 + 4） = 6,二这些梯形的面积之和为6 X 2= 12.故选B.2. （2018百校联盟，5分）如图33- 29所示，某几何体的三视图中三个正方形的边长均为2,两个半圆的半径均为1,)正视图A . 20+ 2n 答案：D图 33 - 29B . 20 + n C. 24 + 2nD. 24 + n1解析：由几何体的三视图知该几何体是棱长为2的正方体挖去半径为 1的寸球，所以该1俯视图

41、几何体的表面积为6X 22+ X 4 nX 12- nX 12= 24 + n故选D.图 33 - 30答案：2解析：如图，由三视图可知，该四棱锥的底面平行四边形的一边长为 的高为1 m，则底面积为2 m2.又四棱锥的高为 3 m,2 m，且这条边上该四棱锥的体积为1 x 2X 3 = 2（m3）.34. （2018山东德州一模,5分）某几何体的三视图如图33-31所示，则该几何体的表面积是（）俯视图A . 20 ,2+ 16+ 2nC. 24 ,2 + 16+ 4n 答案：D图 33 - 31B . 20 . 2+ 16 + 4 nD . 24 2+ 16 + 2 n解析：由几何体的三视图知

42、,该几何体为长方体挖去一个圆锥后剩下的部分.长方体的底面边长分别为4和2,高为2 2;圆锥的底面半径为1,高为2 2.所以此几何体的表面积S= 2X 4X 2+ (2 + 4+ 2 + 4) X 2 2 + 1x 2 nX . 12+( 2 2) 2- nX 12= 24.2 + 16 + 2 兀故选D.5. （经典题，5分）如图33-32所示，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示1 cm）,图 中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）4 n17A.275B.5答案：C10 1C.27D.3解

43、析：由三视图可知，该几何体是由两个圆柱构成的组合体，其体积为+ nX 32X 2 = 34Mcm3).又圆柱体毛坯的体积 V= nX 3冬 6= 54 Xcm3), 则切削掉部分的体积 V2= V Vt= 54 n- 34 n= 20n(cm3),V = nX 22X 4故切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为V2V20 n 1054 n= 27.故选C.6. (经典题，5分)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图 表面积是.33 33所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的图 33 33答案：12 n 1 解析：由三视图可知，该多面体为棱

44、长为 2的正方体，则其外接球的半径为 r = 2X，3 X?=3,球的表面积为 4 n2 = 4 nX (.3)2= 12 n7. (经典题，5分)某四面体的三视图如图33 34所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为()图 33 34答案：C如图所示,解析：由三视图可知，四面体的六条棱为棱长为 1的正方体六个面的对角线, 则该四面体的外接球即为此正方体的外接球.& （2018山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二），5分）一个几何体的三视图如图33 35所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2, 1的长方形，侧视图为正方形，则这个几何体的体积为（

45、）图 33 3515A.3B.5C.-D. 2答案：B解析：由三视图可知该几何体是长方体截去-个三棱锥后剩余的部分,如图所示.长方体的体积为1 x 1 X 2= 2，三棱锥的体积为3X 2X 1 x 1 x 2 = 3，所以几何体的体积为 2 "3=：故选B.课后提分练33空间几何体的表面积与体积A组（巩固提升）1. （经典题，5分）一个几何体的三视图如图 33 1所示，则该几何体的体积为 （）A . 5B . 6C . 7答案：A解析：由三视图可知，该几何体为一个横放的五棱柱,D. 8底面为侧视图所示的五边形，高15h= 2，底面面积S= 2 X 1 +1X 1 = 5故该几何体的

46、体积为5V = Sh= 2X 2 = 5.故选 A*2. （2018湖南师大附中一模，5分）某几何体的三视图如图33- 2所示，则该几何体的表面积为（）图 33 2A . 8（卄 4）B . 8（卄 8）C . 16（卄 4）D . 16（卄 8）答案：B解析：由三视图可知该几何体是棱长为4的正方体挖去两个相切的半圆柱后剩余的部分,如图所示，两个半圆柱的半径均为2,高均为4.所以该几何体的表面积为8）.故选B.2X 4X 4 + 2 X 2nX 4 + 2X (4X 4 nX 22) = 64+ 8 n= 8( n+3. （2018山东潍坊模拟，5分）已知 PAD所在的平面与矩形 ABCD所在

47、的平面相互垂直，且PA= PD = AB= 2,Z APD = 60°若点P, A, B, C, D都在同一个球面上，则此球的表面积为（)25 nA. 328 nB. 3C警nD雪n答案：B解析：因为FA= PD = 2,/ APD = 60°,所以 PAD为等边三角形，所以 AD = 2在矩形 ABCD 中，AB= AD = 2，所以 BD =4 + 4= 2 2.设 ACA BD = E,贝U BE= 2.设该球的球心为 O,半径为R, PAD的中心为H，连接OE, OB , OH，如图所示.0因为点P, A, B, C, D都在同一个球面上，所以 OB= R, OE丄

48、平面 ABCD , OH丄平 面 FAD.连接PH，并延长交 AD于点M，连接EM.易证四边形 OEMH为矩形，所以 OE = HM = £pM =_3，33S= 4 泯2= 4 nX £=晋33所以 r2= OB2= OE2+ BE2= 于 （ 2）2 =3，所以此球的表面积 故选B.4. （经典题，5分）如图33- 3所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2,动点E, F在棱 AiBi上,动点 P, Q 分别在棱 AD, CD 上,若 EF = 1 , AiE= x, DQ = y, DP = z（x, y, z大于零），则四面体PQEF的体积（）图 33 3

49、/rB .与x有关，与y, z无关D .与z有关，与x, y无关A .与x, y, z都有关C.与y有关，与x, z无关答案：D解析：设P点到平面A1B1CD的距离为h. A1B1 / DC , Q到EF的距离为定值2.2.又 EF = 1 ,二 Saqef= 2X 1 X 2 2 =2.1J2-V四面体pqef = V三棱锥pqef = §Saqef h = h，即四面体的体积只与点P到平面AiBiCD的距离有关，四面体的体积与 z有关，与x, y无关.5. (经典题，5分)圆台的一个底面周长是另外一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84 n,则圆台较小底面半径为 .答案

50、：7解析：由题意，设较小底面半径为r，则该底面周长为 2 n,则另一个底面周长为6 n.1母线长为 3,.圆台侧面积 S= 2X (2 n + 6 n)x 3 = 12 nr = 84 n, r = 7.33 4所示阴影部分裁下,P为顶点，加工成一个如图cm36. (经典题，5分)一块边长为10 cm的正方形切片按如图后用余下的四个全等的等腰三角形做侧面，以它们的公共顶点 所示的正四棱锥形容器当 x = 6 cm时，该容器的容积为图 33 4答案：48解析：如图，设底面中心为 0,连接0P，过点P作PE丄AB,垂足为E,连接0E.由题意可知，在等腰厶 PAB中，AB = x= 6 cm,斜高PE = 5 cm,四棱锥的高 PO = PE2 EO2= 52 32= 4(cm),为 48cm3.四棱锥P ABCD的体积为23X 4= 48(cm )，即该容器的容积7. (经典题，5分)如图33 5所示，在三棱柱 A1B1C1 ABC中，D , E, F分别是AB,AC, AA1的中点，设三棱锥 F ADE的体积为 V，三棱柱 A1B1C1 ABC的体积为 V?,则V1 : V2=.答案：1 : 24解析：设三棱柱的高为h, / F是AA1的中点，.三棱锥 F ADE的高为D, E分另U1 1是 AB , AC 的中点Ssde=4Ss