高考数学文一轮复习课件鲁闽皖专用： 2.12 导数研究函数中的应用与生活中的优化问题举例新人教A版 高考

1、第十二节 导数在研究函数中的应用与 生活中的优化问题举例三年36考 高考指数:1.了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的极值(最值)是考查重点；2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点；3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等

2、知识点交汇则以解答题为主，难度较大.1.导数与函数单调性的关系(1)函数y=f(x)在某个区间内可导若f(x)0，则f(x)在这个区间内_；若f(x)0，则f(x)在这个区间内_.如果在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)为_.(2)单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调，则y=f(x)在该区间上不变号.单调递增单调递减常数函数【即时应用】(1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_.(2)设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是_.(3)若函数y=x3+x2+mx+1是r上的单调函数，则实数m的取值范围是

3、_.【解析】(1)在(0，2)上有f(x)=1-cosx0，所以f(x)在(0,2)上单调递增.(2)由导函数图象知，f(x)在(-,0)上为正，在(0,2)上为负，在(2,+)上为正，所以f(x)在(-,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，在(2,+)上是增函数，比较，只有符合.(3)函数y=x3+x2+mx+1是r上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立，即=4-12m0，m答案：(1)单调递增 (2) (3)m1.3132.函数极值的概念(1)极值点与极值设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性_(或导数值异号)，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的

4、极值.(2)极大值点与极小值点若先增后减(导数值先正后负)，则x0为_点.若先减后增(导数值先负后正)，则x0为_点.相反极大值极小值【即时应用】(1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“”或“”)导数为零的点一定是极值点 ( )函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值 ( )函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值 ( )(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为_.

5、(3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为_.【解析】(1)导数为零只是函数在该点取极值的必要条件，正确，f(x0)为极小值，故错误.(2)从f(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点；(3)由f(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3,当x-3时，f(x)0,当-3x1时，f(x)0,当x1时，f(x)0,x=1和x=-3都是f(x)的极值点.答案：(1) (2)1 (3)x=1,x=-33.函数极值与最值的求法(1)求可导函数极值的步骤：求导数f(x)；求方程f(x)=0的根；列表，检验f(x)在方程f(x

6、)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性)，确定是否为极值，是极大值还是极小值.(2)求函数y=f(x)在闭区间a,b上的最值可分两步进行：求y=f(x)在(a,b)内的_；将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为_，最小的一个为_.极值最大值最小值【即时应用】(1)思考：最值是否一定是极值？提示：不一定.如果最值在端点处取得就不是极值.(2)函数f(x)=3x-4x3，x0,1的最大值是_.【解析】由f(x)=3-12x2=0得x=f(0)=0，f( )=1，f(1)=-1，f(x)max=1.答案：112 ，12(3)已知函数

7、f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=_.【解析】f(x)=3x2+2ax+b，由题意即 得a=4或a=-3.但当a=-3时，b=3,f(x)=3x2-6x+30，故不存在极值，a=4，b=-11，f(2)=18.答案：18f(1)10,f (1)021aba10,32ab0 4.导数的实际应用导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系)，再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中要时刻注意实际问题的意义.【即时应用】(1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函

8、数关系式为y= +81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_.(2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s= 则s的最小值是_.31x32(),梯形的周长梯形的面积【解析】(1)y=-x2+81,令y=0得x=9或x=-9(舍去)，当x9时y0；当x9时y0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值；即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.(2)设剪成的小正三角形的边长为x，则：s=222(3x)4(3x)(0 x 1),1x133(x1)(1x)22 224(3x)s x,1x3s(x)=令s(x)=0(0 x1),得x=当x(0, )

9、时，s(x)0,s(x)递减；当x( ,1)时，s(x)0,s(x)递增；故当x= 时，s取得最小值答案：(1)9万件 (2)22224(2x6) (1x )(3x) ( 2x)(1x )32242(3x1)(x3),(1x )31,313131332 3.332 33 利用导数研究函数的单调性【方法点睛】1.导数在函数单调性方面的应用(1)利用导数判断函数的单调性；(2)利用导数求函数的单调区间；(3)已知函数单调性，求参数的范围.2.导数法求函数单调区间的一般步骤第一步：求定义域：求函数y=f(x)的定义域第二步：求根：求方程f(x)=0在定义域内的根第三步：划分区间：用求得的方程的根划分

10、定义域所在的区间第四步：定号：确定f(x)在各个区间内的符号第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y=f(x)的单调区间.【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(或f(x)2时，y= -2sinx0，排除d.由y= -2cosx0得cosx 在满足上式的x的区间内，y是增函数,由y= -2cosx 在满足上式的x的区间内，y是减函数.由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个,b不正确，c正确.x21214，1214，(2)a= 时，f(x)=x(ex-1)- x2，f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).当x(-,-1)时,f(x)0;当x

11、(-1,0)时，f(x)0;当x(0,+)时，f(x)0.所以f(x)在(-,-1)和(0,+)上单调递增，在(-1，0)上单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-,-1),(0,+),单调递减区间为(-1,0).1212f(x)=x(ex-1-ax).令g(x)=ex-1-ax，则g(x)=ex-a.若a1，则当x(0,+)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x0时,g(x)0，即f(x)0.若a1，则当x(0,lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x(0,lna)时,g(x)0，即f(x)0.综合得a的取值范围为(-,1.【互动探究】若本例(2

12、)第问中条件改为“若当x0时，f(x)0”，则a的取值范围是_.【解析】由例题知，若a1，则当x(-,0时，g(x)为减函数，而g(0)=0，g(x)0,f(x)0.若0a1，则当x(lna,0)时，g(x)为增函数，而g(0)=0，g(x)0,f(x)0,不合题意，若a0,则当x(-,0时，g(x)为增函数，而g(0)=0,g(x)0,f(x)0,不合题意，a的取值范围是1,+).答案：1,+)【反思感悟】1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域.2.恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的方法.【变式备选】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(

13、x)在实数集r上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)由已知f(x)=3x2-a,f(x)在(-,+)上单调递增，f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立，即a3x2对xr恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，f(x)=3x20且只有f(0)=0,故f(x)=x3-1在r上是增函数，a0.(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2在(-1,1)上恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a=3时，f(x)=3(x2-1),在(-1,1)上，有f(x) 时，m(x

14、)3,所以c-20,所以令y0得:r令y0得:0r当3c 即 2时，函数y在(0，2上是单调递减的，故建造费用最小时r=2.当c 即0 2时，函数y在(0，2上是先减后增的，故建造费用最小时r=2160r328(c2)r20,r320;c2320,c292，320c292，320c2320.c2【反思感悟】1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题.2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域是这类题目失分的主要原因.【变式训练】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式

15、可以表示为： 已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？313yxx8(0 x120).128 00080【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 2.5小时，要耗油( 403- 40+8)2.5=17.5(升).答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(0 x120),1128 000380100 x32131001800

16、15(xx8)x128 00080 x1 280 x410040h(x)= (0 x120).令h(x)=0,得x=80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120时，h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.3322x800 x80640 x640 x【变式备选】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x

17、元(9x11)时，一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润l(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润l最大，并求出l的最大值q(a).【解析】(1)分公司一年的利润l(万元)与售价x的函数关系式为：l=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)l=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令l=0得x=6+ 或x=12(不合题意，舍去).3a5,86+在x=6+ 两侧，由左向右l的值由正变负.所以当86+ 9即3a 时，lmax=l(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).

18、2a3228a.332a32a392228a33，922a32a32a3当96+ 即 a5时，lmax=l(6+ )=(6+ -3-a)12-(6+ )2=4(3- )3.所以q(a)=即：若3a 则当每件售价为9元时，分公司一年的利润l最大，最大值q(a)=9(6-a)(万元)；若 a5，则当每件售价为(6+ )元时，分公司一年的利润l最大，最大值q(a)=4(3- )3(万元).1a3399(6a) 3a2.194(3a) a53292，922a31a3【满分指导】函数综合题的规范解答【典例】(12分)(2011湖南高考)设函数f(x)=x- -alnx(ar).(1)讨论f(x)的单调性

19、；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.1x【解题指南】(1)对f(x)求导，就a的取值分类讨论；(2)假设存在a满足条件，判断条件是否满足.【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+).f(x)= 2分令g(x)=x2-ax+1,其判别式=a2-4.当|a|2时，0，f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增. 3分当a-2时，0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+)上，f(x)0，故f(x)在(0,+)上单调递增. 4分2221axax11x

20、xx当a2时，0,g(x)=0的两根为当0 xx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减. 6分21aa4x,222aa4x2，(2)由(1)知，a2.因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ -a(lnx1-lnx2)，所以k= 8分又由(1)知，x1x2=1.于是k=2-a若存在a，使得k=2-a,则即lnx1-lnx2=x1-x2，亦即x2- -2lnx2=0(x21)(*) 10分1212xxx x1212121212f(x )f(x )lnxlnx11axxx xxx 1

21、212lnxlnx,xx1212lnxlnx1,xx21x再由(1)知，函数h(t)=t- -2lnt在(0,+)上单调递增，而x21，所以x2- -2lnx21- -2ln1=0.这与(*)式矛盾. 11分故不存在a，使得k=2-a. 12分1t21x11【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)利用导数判断函数单调性和求极值利用导数判断函数单调性和求极值( (或最值或最值) )不熟不熟练练, ,忽视忽视a a的值对的值对f(x)f(x)符号的影响符号的影响. .(2)(2)对存在性命题的解题方法不熟悉，不能准确、有对存在性命题的解题方法不熟悉，不能准确、有效地确定解题方法效地确定解题方法. .备备考考建建议议解决函数的综合问题时，还有以下几点在备考时要解决函数的综合问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：高度关注：(1)(1)函数的定义域、单调性、最值函数的定义域、单调性、最值( (极值极值) )的求解应熟的求解应熟练掌握；练掌握；(2)(2)与数列、三角、解析几何、不等式等综合时，能与数列、三角、解析几何、不等式等综合时，能够迅速、准确地进