微积分基本公式

1、上页下页铃结束返回首页1主要内容：主要内容： 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式一、位置函数与速度函数之间的联系；二、积分上限的函数及其导数；三、牛顿莱布尼茨公式.上页下页铃结束返回首页2 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的路程为S(t), 速度为vv(t)S(t)(v(t)0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系 上式表明, 速度函数v(t)在区间T1, T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1, T2上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？)

2、()(12TSTS及dttvTT)(21, )()()(1221TSTSdttvTT. 即上页下页铃结束返回首页3二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数, ,)(baCxf则积分上限的函数则积分上限的函数xattfxd)()(证明证明, ,bahxx有有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1 1 若若,)(baCxfab)(xfy Oxyx)(x )( fhx .,)(上的一个原函数在是baxf上页下页铃结束返回首页4 若若F(x)是连续函数是连续函数f(x)在

3、区间在区间a, , b上的一个原函数上的一个原函数, , 则则 )()()(aFbFdxxfba. 定理定理2(2(牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式) )()()(aFbFdxxfba. 证明 设dttfxxa)()(, 则也是 f(x)的原函数. 证明证明 因为因为F(x)和和 (x)都是都是f(x)的原函数的原函数, , 所以存在常数所以存在常数C, , 使使 F(x)(x) C. .由由F(a)(a) C及及 (a) 0, , 得得C F(a), , F(x)(x) F(a). . 由由F(b)(b) F(a), , 得得 (b) F(b) F(a), , 即即 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨

4、公式莱布尼茨公式上页下页铃结束返回首页5 牛顿牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系或不定积分之间的联系. . 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 若若F(x)是连续函数是连续函数f(x)在区间在区间a, , b上的一个原函数上的一个原函数, , 则则 )()()(aFbFdxxfba. 定理定理2(2(牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式) ) 为了方便起见, 可把 F(b)F(a)记成baxF)(, 于是 )()()()(aFbFxFdxxfbaba. 上页下页铃结束返回首页6 解解 若 F(x)是 f(x)的原函数,

5、 则)()()()(aFbFxFdxxfbaba. 解解 例例1 1 例 3 计算121dxx. 解 2ln2ln1ln|ln11212xdxx2ln2ln1ln|ln11212xdxx2ln2ln1ln|ln11212xdxx. 例例2 2 计算正弦曲线计算正弦曲线y sin x在在0, , p p上与上与x轴所围成的平面轴所围成的平面图形的面积图形的面积A. . 2) 1() 1(cossin00ppxxdxA2) 1() 1(cossin00ppxxdxA2) 1() 1(cossin00ppxxdxA. yoxxysinp上页下页铃结束返回首页7 例例3 3 汽车以每小时汽车以每小时3

6、6km速度行驶速度行驶, , 到某处需要减速到某处需要减速停车停车. .设汽车以等加速度设汽车以等加速度a5m/s2刹车刹车. . 问从开始刹车到问从开始刹车到停车停车, , 汽车走了多少距离？汽车走了多少距离？ t 2(s). . 当汽车停止时当汽车停止时, , 有有 v(t) v0 at 10 5t. . 刹车后刹车后 t 时刻汽车的速度为时刻汽车的速度为 v(t) 10 5t 0, , 汽车刹车时的初速度为汽车刹车时的初速度为 解解 m/s10m/s3600100036km/h360v. 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dttdttvs)510

7、()(2020)m( 1021510202ttdttdttvs)510()(2020)m( 1021510202ttdttdttvs)510()(2020)m( 1021510202tt. 上页下页铃结束返回首页8xxxd) 12(10解解,210时当 x,121时当 x原式1dx41; 0) 12(xx. 0) 12(xx0) 12(xx令.21, 0 xx0dx2121) 12(xx) 12(xx如被积函数有绝对值如被积函数有绝对值,注注: :再用再用去掉后去掉后,N- -L公式公式.应分区间将绝对值应分区间将绝对值 例例4 求求 上页下页铃结束返回首页9例例5 5 已知函数已知函数.21

8、, 1,10,01, 1)(时当时当时当xxxxxxf求积分上限的函数求积分上限的函数.d)()(1xttfx,)0 , 1时当xxt1d1. 1xxttfx1d)()(, 1 , 0时当 xxttfx1d)()(1dtxt d00t1.212x,2 , 1 (时当 xxttfx1d)()(1dt010dt1txt1d) 1( t.22xx解解.21,10,1,01, 1)(221221时当时当时当xxxxxxxx上页下页铃结束返回首页10 证明证明 例例6 6 设设f(x)连续连续, , u1(x), u2(x)可导可导, , 则有则有 ).()()()()(1122)()(21xuxufx

9、uxufdttfdxdxuxu 设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数, , 则有则有 )()()(12)()(21xuFxuFdttfxuxu 于是于是 )()(21)(xuxudttfdxd)(| )()(| )(1)(12)(21122xuuFxuuFxuuxuu ).()()()(1122xuxufxuxuf 上页下页铃结束返回首页11例例7 7 ).(,d)(23xftexfxxt求设解解)()()(3232xexexfxx2xex23xe23x 例例6 6 设设f(x)连续连续, , u1(x), u2(x)可导可导, , 则有则有 ).()()()()(1122)()(

10、21xuxufxuxufdttfdxdxuxu例 7 求21cos02limxdtextx. 例例8 8 解解 2cos1021cos022limlimxdtexdtextxxtxexxexx212)sin(lim2cos0exxexx212)sin(lim2cos0. 上页下页铃结束返回首页12 例例9 9 设设f(x)为为连续的周期函数连续的周期函数, , 周期为周期为T, , 试证试证 .)()(0TTaadxxfdxxf 证明证明 Taadxxfdad)(, 0)()(afTaf,)(CdxxfTaa.)()(0TTaadxxfdxxf上页下页铃结束返回首页13 例例1010 设设f(

11、x)在在0, )内连续内连续, 且且f(x) 0. . 证明函数证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()( 在在(0, , )内为单调增加函数内为单调增加函数. . 证明证明 因为因为 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf. 按假设按假设, , 当当0 t x时时, f (t) 0, , (x t)f (t) 0, , 所以所以 0)(0dttfx, 0)(0dttf

12、x 0)()(0dttftxx, 从而从而F (x) 0(x 0), , 因此因此F(x)在在(0, , )内为单调增加函数内为单调增加函数. . 上页下页铃结束返回首页14例例1111 求极限求极限22222lim().12nnnnnnnn解解原式原式221limnninni1201d1xx.4p101)()(1limdxxfnifnnin2111lim1 ( )nniinn10arctan x上页下页铃结束返回首页153234)(2xxxf解解设设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求求).(xf定积分为常数定积分为常数, ,d)(10axxf设设bxxf20d)(abxxxf2)(2, , 则则 10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定