第5讲 指数与指数函数

1、第5讲指数与指数函数1 根式的性质(1)()na.(2)当n为奇数时a.当n为偶数时2 有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂：ana·a·· (nN*)零指数幂：a01(a0)负整数指数幂：ap(a0，pN*)正分数指数幂：a(a>0，m、nN*，且n>1)负分数指数幂：a (a>0，m、nN*，且n>1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a>0，r、sQ)；(ar)sars(a>0，r、sQ)；(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)3指数函数的图像与性

2、质yaxa>10<a<1图像定义域(1)R值域(2)(0，)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数 难点正本疑点清源1 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程2 指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0<a<1和a>1进行分类讨论3 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间

3、值1 (课本改编题)化简(2)6(1)0的值为_答案7解析(2)6(1)0(26)12317.2 若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0<a21<1，1<a2<2，即1<a<或<a<1.3 若函数f(x)ax1 (a>0，且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.答案解析当a>1时，x0,2，y0，a21因定义域和值域一致，故a212，即a.当0<a<1时，x0,2，ya21,0此时，定义域和值域不一致，故此时无解综上，a.4 (2

4、012·四川)函数yax(a>0，且a1)的图像可能是()答案D解析当a>1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为0<1<1，排除A，B.当0<a<1时，yax为减函数，且在y轴上的截距为1<0，故选D.5 设函数f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，则()Af(2)>f(1) Bf(1)>f(2)Cf(1)>f(2) Df(2)>f(2)答案A解析f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，a24，a，f(x)|x|2|x|，f(2)>f(1)，故选A.题型一指数幂的运算例1(1)计算

5、：(12422)27162×(8)1；(2)已知xx3，求的值思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可；(2)注意x2x2、xx与xx之间的关系解(1)(12422)27162×(8)1(11)2×33×24×2×8×(1)113232×23×118811.(2)xx3，(xx)29，x2x19，xx17，(xx1)249，x2x247，又xx(xx)·(x1x1)3×(71)18，3.探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算

6、的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数 计算下列各式的值：(1)(0.002)10(2)1()0；(2)(1)0；(3) (a>0，b>0)解(1)原式150010(2)11010201.(2)原式21(2)1(2)1.(3)原式a1b12ab1.题型二指数函数的图像、性质的应用例2(1)函数f(x)axb的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<0(

7、2)求函数f(x)3的定义域、值域及其单调区间思维启迪：对于和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手(1)答案D解析由f(x)axb的图像可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)axb的图像是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)解依题意x25x40，解得x4或x1，f(x)的定义域是(，14，)0，f(x)3301，函数f(x)的值域是1，)令u，x(，14，)，当x(，1时，u是减函数，当x4，)时，u是增函数而3>1，由复合函数的单调性，可知f(x)3在(，1上是减函数，在4，

8、)上是增函数探究提高(1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论 (1)函数y的图像大致为()答案A解析y1，当x>0时，e2x1>0，且随着x的增大而增大，故y1>1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减又函数y是奇函数，故只有A正确(2)若函数f(x)e(x)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m_.答案1解析由于f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即e(x)2e(x)2，(x)2(x)

9、2，0，f(x)ex2.又yex是R上的增函数，而x20，f(x)的最大值为e01m，m1.题型三指数函数的综合应用例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围思维启迪：方程的解的问题可转为函数图像的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决解(1)函数y|3x1|的图像是由函数y3x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示当k<0时，直线yk与函数y|3x1|的图像无交点，即方程无解；

10、当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线yk与函数y|3x1|的图像有两个不同的交点，所以方程有两解(2)当x<0时，f(x)0，无解；当x0时，f(x)2x，由2x，得2·22x3·2x20，看成关于2x的一元二次方程，解得2x2或，2x>0，x1.当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t1>0，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范围是5，)探究提高对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg

11、(x)图像交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构 已知f(x)(axax) (a>0且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围解(1)因为函数的定义域为R，所以关于原点对称又因为f(x)(axax)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)当a>1时，a21>0，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数，当0<a<1时，a21<0，yax为减函数，yax为增函数，从而yaxax为减函数，所以f(x)为增函数故当a>

12、;0，且a1时，f(x)在定义域内单调递增(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间1,1上为增函数，所以f(1)f(x)f(1)，所以f(x)minf(1)(a1a)·1，所以要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1，故b的取值范围是(，1利用方程思想和转化思想求参数范围典例：(14分)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范围审题视角(1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)0，f(1)f(1)(2)可考虑将t22t,2t

13、2k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式规范解答解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，从而有f(x).4分又由f(1)f(1)知，解得a2.经检验，a2，b1符合题意，a2，b1.7分(2)方法一由(1)知f(x)，又由题设条件得<0，即(22t2k12)(2t22t1)(2t22t12)(22t2k1)<0.9分整理得23t22tk>1，因底数2>1，故3t22tk>0.12分上式对一切tR均成立，从而判别式412k<0，解得k<.14分

14、方法二由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)<0等价于f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t22t>2t2k.12分即对一切tR有3t22tk>0，从而412k<0，解得k<.14分温馨提醒(1)根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立所以还要注意检验(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t22t)f(2t2k)

15、<0恒成立等价转化为t22t>2t2k恒成立这个转化易出错其次，不等式t22t>2t2k恒成立，即对一切tR有3t22tk>0，也可以这样做：k<3t22t，tR，只要k比3t22t的最小值小即可，而3t22t的最小值为，所以k<.方法与技巧1判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较2指数函数yax (a>0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成失误与防范1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来2复合函数

16、的问题，一定要注意函数的定义域3对可化为a2xb·axc0或a2xb·axc0 (0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 设2a5bm，且2，则m等于()A. B10C20 D100答案A解析2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.2 函数yx22x的值域是()AR B(0，)C(2，) D.答案D解析x22x(x1)211，x22x，故选D.3 函数y(0<a<1)图像的大致形状是()答案D解析函数定义域为

17、x|xR，x0，且y.当x>0时，函数是一个指数函数，因为0<a<1，所以函数在(0，)上是减函数；当x<0时，函数图像与指数函数yax(x<0,0<a<1)的图像关于x轴对称，在(，0)上是增函数4 若函数f(x)a|2x4| (a>0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，a (a舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)5 已知a，函数f(x)

18、ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为_答案m<n解析0<a<1，函数f(x)ax在R上是减函数又f(m)>f(n)，m<n.6 函数f(x)ax (a>0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，则a的值为_答案或解析当0<a<1时，aa2，a或a0(舍去)当a>1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.7. 已知函数f(x)axb (a>0且a1)的图像如图所示，则ab的值是_答案2解析，ab2.三、解答题(共22分)8 (10分)设函数f(x)2|x1|x1|，求使f(x)2的x的取值范围解y2x是

19、增函数，f(x)2等价于|x1|x1|.(1)当x1时，|x1|x1|2，式恒成立(2)当1<x<1时，|x1|x1|2x，式化为2x，即x<1.(3)当x1时，|x1|x1|2，式无解综上，x的取值范围是.9 (12分)设a>0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解令tax (a>0且a1)，则原函数化为y(t1)22 (t>0)当0<a<1时，x1,1，tax，此时f(t)在上为增函数所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因为a>0，所以a.当a>1时，x1,1，tax，此时f(t)在上

20、是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 设函数f(x)若F(x)f(x)x，xR，则F(x)的值域为()A(，1 B2，)C(，12，) D(，1)(2，)答案C解析当x>0时，F(x)x2；当x0时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，)2 若关于x的方程|ax1|2a (a>0，a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A(0,1)(1，) B(0,1)C(1，) D.答案D解析方程|ax1|2a (a>0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0<a<1时，如图(1)，0<2a<1，即0<a<.当a>1时，如图(2)，而y2a>1不符合要求图(1)图(2)综上，0<a<.3 设函数f(x)，x表示不超过x的最大整数，则函数yf(x)的值域是()A0,1 B0，1C1,1 D1,1答案B解析f(x).12x>1，f(x)的值域是.yf(x)的值域是0，1二、填空题(每小