几类常微分方程的求解与应用

1、China University of Mining & Technology-Beijing本科生毕业设计(论文)几类常微分方程的求解及其应用学 院理学院专业班级数学与应用数学2012级学号1210710138姓 名杨舜指导教师翟羽2016年6月中国矿业大学（北京）本科生毕业设计（论文）中文题目：几类常微分方程的求解及其应用英文题目：The solution and application of several types of the ordinary differential equations姓 名：杨舜学 号：1210710138学 院：理学院专 业：数学与应用数学班 级：2

2、012级指导教师：翟羽职 称：讲师完成日期：2016年 6月1日诚信声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导教师的指导下独立完成的. 除文中已经注明引用的内容外,毕业设计（论文）中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果. 对本文做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明. 作者签名： 日期： 关于使用授权的说明本人完全了解中国矿业大学（北京）有关保留、使用毕业设计（论文）的规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅或借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名： 导师签名： 日期： 中国矿业大学（北京）本科生毕业

3、设计（论文）任务书学院：理学院专业：数学与应用数学班级：2012级数学姓名：杨舜学号：1210710138任务下达日期：2016年1月14日任务完成日期：2016年 6月1日论文题目：几类常微分方程的解决及其应用专题题目：主要内容和要求：  教学院长签字： 指导教师签字：中国矿业大学（北京）本科生毕业设计（论文）结合科研说明书学院：学生姓名专业班级题目名称题目种类题目类型指导教师专业职称科研课题基本情况科研课题名称科研课题来源科研立项起止时间20 年至20 年主要研究内容:学生参与科研课题研究情况参与课题研究的内容：参与研究的工作量:系（教研室）意见学院意见毕业设计（论文）

4、内容与科研课题相关，并且学生参与科研课题研究，同意认定毕业设计（论文）结合科研课题。系（教研室）主任签字：20 年 月 日毕业设计（论文）结合科研课题，并且符合学生创新学分认定要求，同意给予学生毕业设计（论文）结合科研创新学分。主管院长签字： 20 年 月 日中国矿业大学（北京）本科生毕业设计（论文）指导教师评阅书学院：理学院专业：数学与应用数学班级：2012级数学姓名：杨舜学号：1210710138论文题目：几类常微分方程的解决及其应用专题题目：指导教师评语：成绩：指导教师签名：2016年 6 月 1日中国矿业大学（北京）本科生毕业设计（论文）评阅教师评阅书学院：理学院专业：数学与应用数学班

5、级：2012级数学姓名：杨舜学号：1210710138论文题目：几类常微分方程的解决及其应用专题题目：评阅教师评语：成绩：评阅教师签名：2016年 6 月 1 日摘 要在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支. 这不是偶然的, 因为许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达. 微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言. 它从生产实践与科学技术中产生, 而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中, 一般很难完全依靠实验观测认识到该规律, 反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到, 而这种规律用数学语言表达出来, 其结果往往形成一个

6、微分方程, 而一旦求出方程的解, 其规律则一目了然. 实际上, 微分方程的应用也已经深入到许多学科中. 为此, 我们需要熟悉其中一些基础的内容. 而微分方程在实际学习的领域中也已被数学家们细分成常微分方程与偏微分方程, 而本文则针对其中的常微分方程领域进行了深入的研究探讨. 要深入的研究这一课题, 我们首先就要熟悉常微分方程的基础知识, 例如定义, 分类, 求解方法（变量分离, 降价法, 线性化法等）, 应用等. 在一阶微分方程中, 主要针对一阶线性微分方程, 齐次方程, 里卡蒂方程, 恰当微分方程的定义求解及其应用; 在二阶微分方程中, 主要针对二阶线性齐次方程, 线性齐次常系数方程, 非齐

7、次线性方程的定义求解及其应用进行研究.关键字: 微分方程; 常微分方程; 一阶微分方程; 二阶微分方程 ABSTRACT In the application of mathematics, differential equations is an active branch. It is no accident, because many of the law of natural science can get accurate expression by differential equation. Differential equation is a kind of natural m

8、athematical language to express the nature. It generated from the production practice and science and technology, and become a powerful tool to analyze and solve problems in the modern science and technology. In the process of the exploration of the physical world, People are generally difficult to

9、depend entirely on the experimental observation to realize the law, it is in accordance with certain laws exist contact often easily captured by us, and if the rule is expressed in mathematical language,its result often form a differential equation. Once the solution of equation, the law is clear. I

10、n fact, the application of differential equations have also been deeply into the many disciplines. To this end, we need to be familiar with some of the basic content. And differential equation in the practical field of study has also been mathematicians subdivided into ordinary differential equation

11、s and partial differential equations, and this article is aimed at the field of ordinary differential equations discussed in-depth research. To deeply research the topic, the first thing we will be familiar with the basic knowledge of ordinary differential equations, such as definition, classificati

12、on, method(method of separation of variables, the price and the straightening etc), application and so on. In first order differential equation, we are aimed at a first order linear differential equation of homogeneous equation, Katie in the equation, the proper definition of differential equation s

13、olution and its application; In the second order differential equation, we are aimed at second-order linear second equation, linear homogeneous equation of constant coefficient, the definition of non-homogeneous linear equations to solve the study and application. Keywords: The differential equation

14、; Ordinary differential equation; A first order differential equation; Second order differential equation目 录第一章 绪论1第二章 2类常微分方程及其求解方法22.1 常微分方程的定义22.2 一阶常微分方程及其求解22.2.1 变量分离的方程22.2.2 一阶线性微分方程42.2.3 齐次（微分）方程62.2.4 里卡蒂方程72.2.5 恰当（微分）方程92.3 二阶常微分方程及其求解112.3.1 二阶微分方程的降阶法112.3.2 线性齐次（微分）方程122.3.3 线性齐次常系数微

15、分方程142.3.4 非齐次线性微分方程16第三章 常微分方程的相关应用183.1 微分方程的应用求解步骤183.2 几种常见类型的微分应用183.2.1 一阶常微分方程183.2.2 二阶常微分方程23参考文献29致 谢30 中国矿业大学（北京）2016届本科毕业论文（设计） 第一章 绪论数学发展的历史告诉我们, 300年来数学分析是数学的首要分支, 而微分方程又是数学分析的心脏, 它还是高等分析里大部分思想和理论的根源. 人所共知, 常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律, 研究人类社会结构, 生态结构和工程技术问题的强有力工具. 它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.

16、常微分方程的发展史大致可分为五个阶段: 第一阶段是十七世纪前半期, 即它的萌芽阶段; 第二阶段是十七世纪后半期到十八世纪末, 即常微分方程发展成为一个数学分支的阶段. 这个阶段主要是讨论各种具体类型方程的积分法, 把解表示为初等函数或初等函数的积分形式. 这个阶段可化为积分的方程的基本类型已经被研究明白, 如果精确解找不到就求近似解; 第三阶段是十九世纪上半期, 这个阶段数学分析的新概念（如极限, 无穷小, 连续函数, 微分, 积分等）和新方法, 大大影响了微分方程理论的发展. 这是建立常徽分方程基础的阶段; 第四阶段是19世纪80年代至20世纪20年代, 是常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段;

17、 第五阶段是20世纪30年代直至现在, 是常微分方程全面发展的阶段. 本文则是主要针对常微分方程中的一阶, 二阶常微分方程, 系统地阐述了一阶, 二阶常微分方程的定义, 有关的常用的名词, 几种常用的求解方法, 及其在物理化学领域的应用.29 中国矿业大学（北京）2016届本科毕业论文（设计） 第二章 2类常微分方程及其求解方法2.1 常微分方程的定义 凡是联系自变量和这个自变量的未知函数以及直到它的n阶微商(亦即导数)在内的方程 叫做常微分方程, 其中实际出现导数的最高阶数叫做常微分方程的阶.2.2 一阶常微分方程及其求解2.2.1 变量分离的方程 2.2.1.1 定义 设一阶微分方程 (1

18、)其中在平面上的区域内是连续的. 若考虑下面的特殊形式: (2)此时相应的微分方程为 (3)称之为变量分离的方程. 2.2.1.2 变量分离方程的求解初等积分法 1、假设是常数(不妨设). 此时变量分离方程变成 (4)其中函数在区间上是连续的. 由此可得 (5)其中是一个任意函数. 则我们得到上述(4)式的通解. 为了确定此通解的任意常数,我们考虑初值条件 (6)其中初值在上是任意给定的. 则利用(5)(6)得到 因此, (7)是所求初值问题(4)+(6)的解. 2、假设不是常数. 此时变量分离方程(3)的右端依赖于未知函数, 因此不能像前面那样对微分方程直接进行积分. 类似于对所做的假定,

19、设函数对是连续的, 其中是轴上的某一区间. (1)假设, 使得, 此时是微分方程(3)的特解(常数解). (2)假设, 使得.设是微分方程(3)满足条件的解, 则有 (8)所以自变量与未知函数得到分离, 从而在(8)的两边可以直接对进行积分, 即得 (9)其中是一个任意常数, 而和是任意取定的常数. 令 .由此可见, 如果微分方程(3)的解满足, 则它是隐函数方程 (10)的解. 反之, 设是隐函数方程(10)的解. 因此, 是微分方程(3)的解. 因此, (只要)是微分方程(3)的解当且仅当它是隐函数方程(10)的解. 因此, 求解变量分离方程(3)等价于求解隐函数方程(10). 所以(10

20、)的解为 (11)从而它是微分方程(3)的解. 2.2.2 一阶线性微分方程 2.2.2.1定义 设一阶微分方程 表示对求导）右边的函数关于是线性的; 亦即 ,其中和对是连续的; 而相应的微分方程 (12)称为线性微分方程. 2.2.2.2 一阶线性微分方程的求解 1、设, 则线性微分方程(12)变成 (13)称它为齐次方程(相对于线性微分方程来说).(1)变量分离法: 显然齐次方程(13)是可变量分离的. 因此, 用变量分离法可求得它的通解为 () (14)其中是任意常数.(2)积分因子法: 对于(13), 可将(13)式写成 (15)然后. 以函数乘方程两边, 我们得到 由此推出 (其中是

21、一个任意常数);所以我们得到(13)的通解为 (16) 在上面的解法中, 函数 被称作积分因子. 则相应的解法为积分因子法. 2、设. 显然, (12)可写成 然后, 用积分因子 乘方程的两边, 我们得到 然后对直接积分得到 .从而我们得到线性微分方程(12)的通解为 (17)其中, 是任意常数. 2.2.3 齐次(微分)方程 2.2.3.1 定义如果微分方程(2)可写成如下的形式 (18)则称它为齐次(微分)方程.2.2.3.2 求解对于齐次(微分)方程(18), 我们做变换 ， (19)其中是新的未知函数. 然后, 代入方程(18), 即得 它是变量分离的, 即 因此, 可以按变量分离法求

22、出它的通积分 .然后利用变换(19)得到齐次(微分)方程(18)的通积分 2.2.4 里卡蒂方程2.2.4.1 定义当一阶微分方程 的右端函数对是二次多项式时, 称它为里卡蒂方程. 因此, 里卡蒂方程的一般形式为 (20)不妨设系数函数, 和在区间上假设连续的. 里卡蒂方程是二次的非线性方程; 可以说, 它是最简单的非线性微分方程.2.2.4.2 求解在多数情况下, 里卡蒂方程是不能用初等方法求解的. 因此在求解时需要介绍以下2个命题及其证明.命题1、若已知里卡蒂方程的一个特解, 则可求得它的通解. 证明:令是里卡蒂方程(20)的一个特解. 令(其中是新的未知函数)代入方程(20)得到 (21

23、)因为是里卡蒂方程的特解, 所以 从而它与(21)蕴含 或 (其中)这是一阶线性的微分方程, 我们可以求出它的通解, 然后, 通过变换以及, 可得里卡蒂方程(20)的通解.命题2、设里卡蒂方程 ， (22)其中, , 都是常数, 且, 若条件 (23)成立, 则存在初等变换使里卡蒂方程(22)变成变量分离的方程.证明:首先注意, 只要把换成(其中为待定常数), 可使. 因此, 不妨把里卡蒂方程(22)考虑为 (24)当时, 我们有 ， 它是变量分离方程.当时, 做变换，则里卡蒂方程（24）化成如下形式 它也是变量分离的方程.当时, 做变换 (25)其中分别是新的自变量和未知函数, 则由(24)

24、推出 (26)其中, 再做变换 (27)其中和又分别是新的自变量和未知函数, 则(26)变成 (28)其中, 显然, 方程(28)与(24)属于同一类型. 而且满足条件 与由此可见, 只要把上面的过程重复次后就可把方程(26)化成的情形(从而得到变量分离的过程).当时, 只要注意此时方程(24)属于方程(26)的类型. 从而我们可以把(24)化成变量分离的情形.总结以上结论, 即得命题2的证明.2.2.5 恰当（微分）方程2.2.5.1 定义对于一阶微分方程或它的对称形式 (29)如果存在光滑的函数, 使得条件 (30)成立, 则称(30)为恰当(微分)方程.2.2.5.2 相关定理及证明 设

25、函数在区域 上是连续可微的(而且), 则微分方程(30)是恰当的“充分必要条件”为: (31)证明 设微分方程(30)是恰当的, 则存在光滑函数, 满足 ，由此推出 (32)因为假设偏导数是连续的, 所以二阶偏导数也是连续的, 从而它们是相等的; 亦即 , ,从而它与(32)蕴含恒等式(31)成立. 反之, 设条件(31)成立, 令函数 (33)其中是一个待定的函数. 因此, 我们有 ;从而 .然后, 利用条件(31)推出 由此可见, 为了使函数满足条件, 我们只需令 由此推出 因此, 我们得到 这样一来, 我们找到了一个满足条件(29)的函数 , (34)其中和.所以当条件(31)成立时,

26、(29)是一个恰当方程.2.2.5.3 求解 显然, 当时恰当方程(29)的解时, 我们有 它蕴含 (35)其中是积分常数.因此(35)是恰当方程(29)的通积分.2.3 二阶常微分方程及其求解2.3.1 二阶微分方程的降阶法方程右端只含未知函数考虑二阶微分方程 (36) 其中函数对是连续的. 对于这类二阶的微分方程, 我们用降阶法可以求出他的通积分 , (为积分常数) (37)方程的右端不显含自变量.考虑微分方程 (38)其中函数对变量是连续的. 令, 则 因此, 由(38)可得 (39)从而降阶为关于的一阶微分方程, 再依次求解(39)(38)最后可得到(38)的通积分为 , 其中为积分常

27、数, (40)2.3.2 线性齐次(微分)方程2.3.2.1 定义不失一般性, 考虑非线性微分方程 (41)满足初值条件 (42) 的线性近似为 (43)其中 当时, (43)叫做线性齐次微分方程.2.3.2.2 求解对于线性齐次微分方程 (44)设 , 其中是新的未知函数.则 从而线性微分方程（44）等价于里卡蒂方程 由此可见, 线性齐次的二阶微分方程一般是不能用初等积分法求解的. 由此需要引入相关定理定义研究通解的一般性质.令集合 因为是(44)的显然解, 所以集合不是空集.引理1 设, 则它们的线性组合 其中和是任意常数. 定义1 设在区间上有个函数 (45)如果存在个不全为零的常数,

28、使得 , 则称函数组(45)是线性相关的; 否则, 称他们为线性无关的.定义2 设函数组(45)的每一个函数有阶的导数, 则 称为函数组(45)的朗斯基行列式. 引理2 若函数组的朗斯基行列式, 则相应函数组在区间上是线性相关的.推论 若函数组的朗斯基行列式不恒等于0, 则相应函数组在区间上是线性无关的. 引理3 若是(44)的解, 则它们时线性相关的充分必要条件是: 它们的朗斯基行列式.引理4 若是(44)的解, 则它们时线性无关的充要条件是: 它们的朗斯基行列式.定义3 设是(44)的两个线性无关的解, 则称它们为该方程的基本解组.引理5 线性齐次微分方程(44)基本解组是存在的.定义4

29、设是(44)的基本解组, 令 (46)其中, 是任意常数, 则称(46)是(44)的通解.定理1 线性齐次微分方程(44)的通解表示它的所有的解.定理2 线性齐次微分方程(44)的基本解组唯一确定了方程的系数函数.定理3 已知线性齐次微分方程(44)的一个非零解，则它的通解为 (47)其中是两个任意常数.2.3.3 线性齐次常系数微分方程2.3.3.1 定义 现在考虑一个简单的(常系数的)方程 (48)其中和是实的常系数, 即上式为线性齐次常系数微分方程.2.3.3.2 求解 根据(48)式的特点, 容易猜想它有形如的特解, 其中是待定的常数. 这样, 把代入方程(48), 得到 它等价于一个

30、二次的多项式方程 (49)称(49)为微分方程(48)的特征方程; 由此我们得到特征根: 令. 现在, 分别按下述情况进行讨论. 此时特征根都是实的. 而且, 相应地, 我们得到微分方程(48)的两个实值解 (50)因为它们的朗斯基行列式 所以解组是(50)是线性无关的; 从而 是所求的通解, 其中是两个任意常数.: 此时我们有两个(非实)的特征根 其中 相应地, 我们得到微分方程(48)的两个复值解 其中 (51)显然, 是两个实解; 而且他们的朗斯基行列式. 因此, 是线性无关的实解; 从而我们有通解 (其中和是任意常数). : 此时我们得到两个相等的（实的）特征根: 相应地, 只能得到一

31、个实的特解 然后, 利用公式（47）得到所求的通解 从而我们得到:.2.3.4 非齐次线性微分方程2.3.4.1 定义设非齐次的线性微分方程 (52)其中系数函数在区间上是连续的;称为非齐次项(或强迫项).2.3.4.2 求解此方程求解时要用” 常数变易法” . 其中出发点为: 已知是相应齐次微分方程 的两个线性无关的解.为此还需引入以下引理:设已知非齐次的线性微分方程（52）的一个特解为 则它的通解为 (53)其中和是任意常数. 因此, 此方程的通解为(53)式. 第三章 常微分方程的相关应用3.1 微分方程的应用求解步骤 微分方程在各个领域中都有大量的应用, 这里主要涉及几何与物理学中的应

32、用. 求解过程通常可分为三个步骤: 建立方程, 解方程, 对结果作必要的讨论(简单问题无须此步). 建立方程是解决问题的核心. (1)建立方程的主要步骤第一步: 根据实际问题确定要研究的量(自变量, 未知函数, 必要的参数等), 建立适当的坐标系.第二步: 找出这些量所满足的基本规律(几何的, 物理的, 化学的等). 第三步: 运用这些规律列出微分方程和定解条件. (2)列方程常用的方程第一种:由已知规律直接列出方程. 在数学, 物理, 化学等领域, 许多自然现象所满足的规律已为人们所熟知, 并直接由方程所描述如牛顿第二定律, 基尔霍夫定律等.第二种: 微元分析法. 自然界中许多现象所满足的规

33、律可通过变量的微元之间的关系来描述, 对这类问题我们不能直接找到变量之间或变量与导数的关系式, 但我们可以通过对变量的局部线性近似(均匀化), 并利用已知的规律建立这些微元之间的关系, 然后通过极限或在任意区间上作积分的方法来建立微分方程. (3)列方程中常见的几何量与物理定律几何量: 切线, 法线, 曲率, 弧长, 面积, 体积等;物理定律: 力学中的牛顿第二定律, 万有引力定律; 弹性问题中的胡克定律; 电学中的基尔霍夫定律; 浓度问题.3.2 几种常见类型的微分应用3.2.1 一阶常微分方程例1 在13时到14时的什么时间, 一个时钟的分针恰好与时针重合.分析: 若时刻分针与时针分别位于

34、就可求得两针重合的时间, 所以问题的关键是求得的表达式. 由于分针与时针都是做匀速运动, 其位置函数是容易求得的.解: 将圆周角60等分, 设每份为一个单位, 又设时刻分针与时针分别位于处, 由于初始时间为13时, 分针与时针的速度分别为1(单位/)与5/60(单位/), 故有 解得, 即两针在13时5分27秒重合. 例2 设是区间上具有连续导数的单调增加函数, 且, 对任意的, 直线, 曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体, 若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍, 求得表达式.分析: 只需由分别表示其旋转体的体积与侧面积就可写出方程.解: 旋转体的体积, 侧面积.由题设条

35、件知 上式两边对求导得 , 即 分离变量积分可得通解 , 由得, 故 .例3 求一曲线, 使其上每一点的向径与切线的夹角等于切线斜角的.分析: 要刻画曲线上点的向径与角度, 用极坐标表示更为方便, 利用已知条件及导数的几何意义就可建立微分方程.解: 设曲线的极坐标方程为, 表示曲线上点处极径与曲线切线的夹角, 切线的斜角为, 则 由于, 代入上式化简得 (54)由题意, 代入(54)式得微分方程 分离变量积分得曲线方程.例4 如图所示, 设河宽为, 一条船从岸边一点出发驶向对岸, 船头总是指向对岸与点相对的一点. 假设船在静水中的船速为常数, 河流中水的速度为常数, 试求船过河所走的路线(曲线

36、方程); 并讨论什么条件下船能到达对岸; 以及船能到达点.分析: 船的实际速度是其航行速度(大小为静水速度, 方向指向点)及水流速度的合成, 由此可建立其航迹的微分方程. 若船的航迹方程为, 则船能到达对岸的标志是在有意义或存在; 船能到达点的标志是.解: 如图建立坐标系, 则点的坐标为, 设在时刻船的位置为, 船实际速度是在船的航行速度与水流速度的合成, 所以有 两式作商, 消去得 .这是齐次方程, 解此初值问题, 得, 变形为 讨论: (1)当 即时, 则, 即船可到点;(2)当 即船可达对岸点;(3)当，即船不能到达对岸。例5 设桥墩的水平截面是圆.桥墩上端载有均匀分布的压力, 其总压力

37、为. 又设建桥材料的密度为, 每个截面园上允许压强为, 求使材料最省的桥墩形状.分析: 桥墩侧面是旋转曲面, 只需求得一条母线即可. 当每个截面圆上的压强等于允许压强时, 是材料最省的情况. 可由此建立方程.解: 如图所示, 设桥墩侧面由曲线绕轴旋转而成, 在点处截面上所受的总载荷为上端的压力与区间上桥墩的自重之和, 即, 而该截面的面积为 它允许承受压强为 , 得 两边对求导得 由初始条件.例6 设甲容器中有100升盐水含盐10升. 乙容器中有100升清水.现以2升/分的速率的清水注入甲, 搅拌均匀后以2升/分的速率的盐水注入乙容器, 搅拌均匀后又以1升/分的速率流出乙容器, 求乙容器中含盐

38、量的变化规律.分析: 应先求得甲容器中含盐量的变化规律. 为此可考虑经过较短时间段, 甲容器中含盐量的变化(等量关系: 含盐改变量=流入量-流出量), 取极限建立微分方程, 再求解; 类似可求得乙容器中含盐量的变化规律.解: 设时刻, 甲容器中含盐量为, 则其浓度为, 由到时间段甲容器中盐的改变量为 解出.再设时刻, 乙容器中含盐量为, 由到时间段流入乙容器的盐量约 , 流出乙容器的盐量为, 从而 两边除以, 取极限 解出 例7 设一礼堂的顶部是一个半椭球面, 其方程为, 求下雨时过房顶上点处的雨水流水的路线方程(不计摩擦).分析: 雨水会沿着房顶曲面下降最快的方向向下流, 也就是的梯度负方向

39、, 所以容易建立所需的微分方程.解: 雨水沿着下降最快的方向向下流, 即沿着的梯度的负方向向下流. 因而雨水从椭球面上流下的路线在坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与 平行.设雨水流下的路线在面上的投影曲线的方程为, 那么在它上面任一点处的切向量为, 它应与 平行, 所以有 z而 所以, 解得. 这就是投影曲线方程, 以它为准线, 母线平行于轴的柱面方程为. 令 故过房顶上点的雨水流下的路线方程为 3.2.2 二阶常微分方程例8 在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点), 且曲线在点处的切线与轴平行.分析: 要表示法线段法线,

40、需知道点的坐标, 从而需要先写出在点的法线方程.解: 设曲线方程为, 则它在点P处的法线方程为 令, 得它与x轴的交点 则, 由题设 且 得 (不显含)解得 例9 一小船从原点出发, 以匀速沿轴正向行驶, 另一小船从轴上的点出发, 朝追去, 其速度方向始终指向, 速度大小为常数. (1)求船的运动方程;(2)如果, 问船需要多少时间才能追上船.分析: 这是追击问题. 它所隐含的等量关系有两个:一是船的运动方向(切线方向)始终为方向; 二是两船在相同的时间段所走过的路程比等于其速度比. 若船的运动轨迹为, 则船能追上船的标志是在有意义或存在.解: (1)设小船的轨迹线为, 经过时间, 两船的位置分别为. 因为小船的速度的方向指向船, 故 即 (55)船所走过的路程为, 船所走过的路程为, 它们的路程比等于其速度比, 有 即 (56)将(56)代入(55)得 两边对求导, 得方程