信号与系统PPT-cp3-连续时间信号的频谱

1、 LTI LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意激励信系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号元。号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号元。 频域分析是将正弦函数或虚指数函数频域分析是将正弦函数或虚指数函数 作为基本信号元，作为基本信号元，任意信号可以由不同频率的正弦函数或虚指数信号之和表示。任意信号可以由不同频率的正弦函数或虚指数信号之和表示。j te 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，的频率特性以及信号时间特性与

2、其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。重要概念。 无论采取何种方式对信号进行分解、逼近或变换，最终的目的是无论采取何种方式对信号进行分解、逼近或变换，最终的目的是要寻求一种方法既能方便地求解系统的响应，又能使获得的结果要寻求一种方法既能方便地求解系统的响应，又能使获得的结果具有明显的物理意义，并用于解释或设计实际系统。具有明显的物理意义，并用于解释或设计实际系统。 如果已知如果已知LTI系统对正弦信号的响应，利用系统对正弦信号的响应，利用LTI系统的叠加、比系统的叠加、比例与时不变性就可以得到

3、任意信号的响应。例与时不变性就可以得到任意信号的响应。#3.1 #3.1 用完备正交函数集表示信号用完备正交函数集表示信号 3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数3.3 3.3 周期矩形脉冲的频谱分析周期矩形脉冲的频谱分析 3.4 3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质3.6 3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换#3.7 #3.7 能量谱和功率谱能量谱和功率谱-帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理3.1.1 3.1.1 正交矢量正交矢量平面空间两个矢量正交的条件是平面空间两个矢量正交的条件是 021 AA1

4、122AC AC A112233AC AC AC A1222nnAC AC AC A推广：推广： 3.1.2 3.1.2 正交函数与正交函数集正交函数与正交函数集 正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以时间函数来表示，故信号的分解，也就是时间函数的分解。时间函数来表示，故信号的分解，也就是时间函数的分解。仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。 1 1、实函数的正交、实函数的正交设设)(1tx和和)(2tx是定义在是定义在12( ,)t t区间上的两个实变函数区间上的两个实变函数12( , )t

5、t区间上有区间上有0)()(2121dttxtxtt则称则称)(1tx和和)(2tx在在12( , )t t内正交。内正交。 （信号），若在（信号），若在2 2、正交函数集、正交函数集设设是定义在是定义在12( ,)t t区间上的两个区间上的两个实变实变函数函数12( , )t t区间上有区间上有则称则称在在12( , )t t内构成内构成正交函数集正交函数集。 （信号），若在（信号），若在)(,),(),(21txtxtxnirttikdttxtx0)()(21 riri)(,),(),(21txtxtxn 10)()(21dttxtxrttiriri在在12( , )t t内构成内构成归一

6、化正交函数集归一化正交函数集。)(,),(),(21txtxtxn正交复变函数集正交复变函数集设设是定义在是定义在12( ,)t t区间上的两个区间上的两个复变函数复变函数12( , )t t区间上有区间上有则称则称在在12( , )t t内构成正交函数集。内构成正交函数集。 （信号），若在（信号），若在)(,),(),(21txtxtxnriri)(,),(),(21txtxtxn10)()(*21dttxtxrttiriri在在12( , )t t内构成归一化正交函数集。内构成归一化正交函数集。)(,),(),(21txtxtxnirttikdttxtx0)()(213 3、完备正交函数集

7、、完备正交函数集的每一个函数正交，的每一个函数正交，如果在正交函数集如果在正交函数集)(,),(),(21txtxtxn找不到另外一个非零函数与该函数集找不到另外一个非零函数与该函数集)(txi则称该函数集为完备正交函数集。否则为不完备正交函数集。则称该函数集为完备正交函数集。否则为不完备正交函数集。 之外，之外，有两个重要定理有两个重要定理 )()()()(2211txCtxCtxCtxnniC为加权系数，且有为加权系数，且有 21212)()()(ttittiidttxdttxtxC正交展开式，正交展开式，也称为欧拉一傅里叶公式也称为欧拉一傅里叶公式或广义傅里叶级数，或广义傅里叶级数，傅里

8、叶级数系数傅里叶级数系数定理定理3-13-1 设设)(,),(),(21txtxtxn在在12( ,)t t信号（函数）的信号（函数）的完备正交函数集完备正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号，则这一类信号中的任何一个信号)(tx 都可以精确地表示为都可以精确地表示为)(,),(),(21txtxtxn的线性组合。即的线性组合。即区间内是某一类区间内是某一类定理定理3-23-2 （帕塞瓦尔定理）在（帕塞瓦尔定理）在dttxCdttxittiitt222121)()()(tx的能量等于各个分量的能量之和，即反映的能量等于各个分量的能量之和，即反映能量守恒。能量守恒。)()()()(2211tx

9、CtxCtxCtxnn条件下，满足条件下，满足 例例: : 已知余弦函数集已知余弦函数集ntttcos,2cos,cos（1 1）证明该函数集在区间（）证明该函数集在区间（0 0，2 2）内为正交函数集；）内为正交函数集；（3 3）该函数集在区间（）该函数集在区间（0,2）内是正交函数集吗？）内是正交函数集吗？（n n为整数）为整数）（2 2）该函数集在区间（）该函数集在区间（0 0，2 2）内是完备正交函数集吗？）内是完备正交函数集吗？002)sin()sin(21coscos20ritriritrirtdtitirir022sin21212sin121coscos2020ititdtitr

10、tdtit（0,2）内是一个正交函数集）内是一个正交函数集 解解：（：（1 1）1n 20sin cos0tntdt1n 20sin cos0ttdt即即sint在区间（在区间（0,2）内与）内与 cosnt 正交。故函数集正交。故函数集ntcos在区间（在区间（0,2）内不是完备正交函数集。）内不是完备正交函数集。ir2sin2cos2cos2sin1coscos2220rirriirirtdtit对于任意整数对于任意整数, ,i r此式并不恒等于零。该函数集此式并不恒等于零。该函数集 cosnt 在区间在区间)2, 0(内不是正交函数集。内不是正交函数集。 （2 2）（3 3）4 4、典型

11、的完备正交函数集、典型的完备正交函数集1)1)三角函数集：三角函数集：,sin,2sin,sin,cos,2cos,cos, 1111111tntttmtt TtnmTttdtntmtdtntm111111110costtsinsincos TtTtTtdtntdtn111112122sincostt 三角函数的公共周期12T不记在三角函数集内但00210osin,n为任意整数 Ttnmtdtinntm1111,0costs 12)0, 1, 2)jnten 复指数函数集：（其中TdteenmdteeTtttjntjnTtttjntjm111111110为指数函数的公共周期12 T 为一完备的

12、正交函数集当tjne1, n3)()0, 1, 2)SatnTnT函数集：（其中对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集。对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集。 三角函数集是最重要的基本正交函数集，正、余弦函数三角函数集是最重要的基本正交函数集，正、余弦函数都属于三角函数集。它具有以下优点：都属于三角函数集。它具有以下优点： (1) (1) 三角函数是基本函数；三角函数是基本函数；(2) (2) 用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；理量之间的联系；(3) (3) 单频三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、

13、单频三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、处理；处理；(4) (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便。函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便。周期信号通常被表示（分解）为周期信号通常被表示（分解）为- - 无穷多个正弦信号之和；无穷多个正弦信号之和；- - 利用欧拉公式还可以将三角函数表示为利用欧拉公式还可以将三角函数表示为复指数函数复指数函数， 周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数之和，周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数之和， 优点与三角函数级数相同。优点与三角函数级数相同。- -

14、 用这两种基本函数表示的级数，分别称用这两种基本函数表示的级数，分别称三角形式傅里三角形式傅里叶级数叶级数及及指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数。 它们是傅里叶级数中两种不同的表达形式，它们是傅里叶级数中两种不同的表达形式， 都简称都简称傅氏级数。傅氏级数。-利用傅氏级数表示信号利用傅氏级数表示信号 用于：研究周期信号的频域特性用于：研究周期信号的频域特性 建立信号频谱的概念建立信号频谱的概念3.2.1 周期信号周期信号x(t)表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 由数学分析知，当周期信号由数学分析知，当周期信号x(t)满足狄氏条件时，可展开为满足狄氏条件时，可展开为三角傅里叶级数或复指数傅里叶

15、级数。三角傅里叶级数或复指数傅里叶级数。狄氏条件：狄氏条件：（1）在一周期内，间断点的数目有限；）在一周期内，间断点的数目有限；（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3）在一周期内，）在一周期内，dttxTtt11)(电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当x(t)满足满足狄氏条件时，狄氏条件时， 才存在。才存在。nnncba, nTtxtxtnbtnaannn0010sincos tx0a dttxTTtt001an tdtntxTTtt0cos200bn tdtntxTTtt0sin200是基波角频率，有时

16、也简称基波频率。是基波角频率，有时也简称基波频率。T20利用三角函数的边角关系，可以将一般三角形式化为利用三角函数的边角关系，可以将一般三角形式化为标准三角形式标准三角形式 tnbtnaatxnnn0010sincostnbabtnbaabaannnnnnnnn0220222210sincostntncannnn0010sinsincoscosnnntncc010cos,00ca 22nnnbacnnnab1tan22sinnnnnbab22cosnnnnbaannncacosnnncbsinn 次谐波振幅；次谐波振幅；n 次谐波初相位次谐波初相位直流幅度直流幅度示波器示波器-观察信号的波形观

17、察信号的波形ncn0n、是频率是频率的函数，的函数，它们从频率的角度反映了信号的特性，称为信号的频谱。它们从频率的角度反映了信号的特性，称为信号的频谱。信号的波形与频谱是同样客观存在的信号的波形与频谱是同样客观存在的通过频谱，更容易理解耳朵的听觉过程通过频谱，更容易理解耳朵的听觉过程频谱分析仪频谱分析仪-观察或度量信号的频谱观察或度量信号的频谱信号的频谱信号的频谱傅里叶级数准确地反映了周期信号分解的结果，但直观性差，傅里叶级数准确地反映了周期信号分解的结果，但直观性差，为自变量为自变量相位特性。周期信号的频谱图是以频率相位特性。周期信号的频谱图是以频率位随频率变化的情况，人们借助位随频率变化的

18、情况，人们借助频谱图频谱图来描述信号的频率及来描述信号的频率及为了简单、直观地表示信号所包含主要频率分量的振幅、相为了简单、直观地表示信号所包含主要频率分量的振幅、相两部分组成两部分组成振幅图振幅图nc线线图图相位图相位图n每条线长代表该频率相位大小每条线长代表该频率相位大小每条线长度代表该频率振幅大小每条线长度代表该频率振幅大小频谱图频谱图频谱图的引入频谱图的引入例：已知周期信号如下，画出其频谱图。例：已知周期信号如下，画出其频谱图。 f ttttt00003sin21sin2452coscos21解：将解：将整理为整理为标准形式标准形式 f t f t23cos21452cos4cos21

19、000ttt23cos2142cos4cos21000ttt振幅谱与相位谱如图所示振幅谱与相位谱如图所示 ( (b) )相位图相位图( (a) ) 振幅图振幅图0 02 21/21/21 11 1nc030200 0n034/024/2/3.2.2 傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质1、对称性、对称性2、奇偶性、奇偶性nnnnbbaa, nTttTttnadttntxTdttntxTa)cos(2)cos(2000000 tdtntxTaTttn0cos200同理可证同理可证nnbb3.2.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数复指数形式的傅氏级数复

20、指数形式的傅氏级数 tjnnenXtx00 dtetxTnXtjnTtt00010是复常数是复常数0nXnXnjnneXX tnbtnaatxnnn0010sincos简写为简写为表示成模和幅角的形式表示成模和幅角的形式nXnjnneXX000000cos2sin2jntjntjntjnteenteentjntjnjnntjnntjnnnntjnnneecenXejbaejbaatxn000021)(22)(0110 11000100022sincosntjnnnntjnnnnnnejbaejbaatnbtnaatx,)0(,2)(00aXjbanXnn令nnnnbbaa,且000000cos

21、2sin2jntjntjntjnteenteentj 000012tTjntnntajbX nx t edtT tdtntxTbtdtntxTaTttnTttn00sin2cos20000000caXnXnjneXnnjba 21njnec21nXnnjba 21njnec21nXnc21nXnnnab1tannnnnaXXXRe2nnnnbXjXXjIm2由于复指数引入了由于复指数引入了n ( (指数形式的频谱是双边谱指数形式的频谱是双边谱, ,实际频谱分量实际频谱分量幅度应是正负谱线矢量和幅度应是正负谱线矢量和) )使得我们的谐波引入了负频率使得我们的谐波引入了负频率实际负频率是不存在的实

22、际负频率是不存在的n项谐波分量的三角形式写成项谐波分量的三角形式写成两个复指数形式后出现的两个复指数形式后出现的奇对称奇对称偶对称偶对称ntjnntjnnnenXejbatx00)(2)(0指数形式频谱如图所示指数形式频谱如图所示0n034/024/2/0302002/011/21/41nX030200302101/21/41(b) 相位图相位图(a) 振幅图振幅图021/211nc0n4/4/2/03020030202-T-TT TE E0 02 txt解解 tx其它2/2/0tE其中：其中：T20周期矩形脉冲的波形如图所示周期矩形脉冲的波形如图所示, , 求周期矩形脉冲频谱求周期矩形脉冲频

23、谱。1000)sin()cos()(nnntnbtnaatxTEEdtTdttxTaTT222201)(1)sin(2)2cos(2)cos()(222022TnnEdttTnETdttntxTaTTn式中式中dteETtjnn0221X22001tjnejnTE22000221njnjeejnTE2sin200nnTE20nSaTE 00X2njntjnnnnEx tSaeeT 2X0nSaTEn20nSa20nSa是实数，是实数，有正、负的变化有正、负的变化0X nnX也有正、负变化也有正、负变化时相位为时相位为 0 0时相位为时相位为0X n020nSa使使)(0n的的 为其零点为其零点

24、n21n2零点为零点为（1）频率间隔）频率间隔T202X0nSaTEn（2）零点）零点（3）相位）相位052nX4030005零点为零点为0525522nTnTnn设设T 5E 15T，cn 5522nSaXnncncnX讨论：讨论：1. 频谱图是离散的频谱图是离散的 频率间隔频率间隔T20T0T000X n离散谱线间隔离散谱线间隔特别是特别是离散谱离散谱连续谱。连续谱。不同不同T T值下周期矩形信号频谱值下周期矩形信号频谱 )(tx)(txc cn nc cn n零点为零点为n22. 直流、基波及各次谐波分量的大小直流、基波及各次谐波分量的大小 正比于脉冲幅度正比于脉冲幅度E 及脉冲宽度及脉

25、冲宽度 反比周期反比周期T。各谐波幅度按。各谐波幅度按 的包络线变化的包络线变化nSaT2X0nSaTEn)(tx)(txcncn不同不同 值下周期矩形信号频谱值下周期矩形信号频谱 3. 有无穷多根谱线，但主要能量集中在第一个零点有无穷多根谱线，但主要能量集中在第一个零点实际应用时，通常把实际应用时，通常把220记为记为B，于是，于是的频率范围定义为的频率范围定义为频带宽度频带宽度2B1fB或或内。内。周期矩形信号的频谱特点周期矩形信号的频谱特点(1)离散性离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间谱线是离散的而不是连续的，谱线之间 的间隔为的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。这种频谱常称为离散

26、频谱。(2)谐波性谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频的整数倍。谱线在频谱轴上的位置是基频的整数倍。(3)收敛性收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐 减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小 T203.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换一般把非周期信号看作是周期信号一般把非周期信号看作是周期信号T txtxTTlim的极限情况。的极限情况。以周期矩形脉冲为例以周期矩形脉冲为例0nXT000nX离散谱离散谱连续谱连续谱T T20离散谱线间隔离散谱线间隔:T周期信号就变成单脉冲信号的非周

27、期信号周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号仍有差别。为了表明这种振幅、相位随频率变化的相对仍有差别。为了表明这种振幅、相位随频率变化的相对但其频谱分布规律依然存在，它们之间的相对值但其频谱分布规律依然存在，它们之间的相对值关系，我们引入关系，我们引入频谱密度函数频谱密度函数。已知周期函数的傅里叶级数为已知周期函数的傅里叶级数为 txTtjnnneX0 dtetxTnXXtjnTTTn02/2/01对两边乘以对两边乘以 ,取极限取极限T dtetxTXtjnTTTTnT022limlimjX dtetxtjjX002limlim0nnTXTX频谱密度函数简称频谱函数，表示单位频带的频谱值频谱密度

28、函数简称频谱函数，表示单位频带的频谱值T周期信号周期信号 txT变成非周期信号变成非周期信号tx变为连续变量变为连续变量离散频率离散频率0n0nX但但02nnXTX 不为零，不为零，nTTXlim记为记为或或jX X txT tjntjnTnedtetxT00102T tjntjnTnTedtetxtx0020由傅氏级数由傅氏级数 dedtetxtxtjtj21 dejXtxtj21T txtxT0nnd0 dtetxjXtj)( 表明非周期号可以分解为无穷多个复振幅为表明非周期号可以分解为无穷多个复振幅为的复指数分量。的复指数分量。djX2 dejXtxtj21jXjX jeX X 是是振幅

29、谱振幅谱密度函数，简称振幅谱密度函数，简称振幅谱 是是相位谱相位谱密度函数，简称相位谱密度函数，简称相位谱用振幅与相位表示为用振幅与相位表示为 jXtxjX dtetxtxtjF的频谱密度函数的频谱密度函数jX tx jX tx是是是是的原函数的原函数 dttxX)0( dXx210F tx X1dejXtj21（1）傅里叶变换存在的充分条件是无限区间内函数绝对可）傅里叶变换存在的充分条件是无限区间内函数绝对可积，即积，即 x t dt （2）可方便计算积分）可方便计算积分3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换1. 冲激函数冲激函数由定义直接得到由定义直接得到由上式可知，

30、时域冲激函数由上式可知，时域冲激函数 1dtetXtj亦称白色谱。亦称白色谱。 t的频谱为常数，是均匀谱，的频谱为常数，是均匀谱，1F0 t(1)0t t3.4.2 常用函数的傅里叶变换对常用函数的傅里叶变换对3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换 2121detxtj频域冲激频域冲激 的原函数亦可由定义直接得到的原函数亦可由定义直接得到由上式可知频域冲激的反变换是常数由上式可知频域冲激的反变换是常数12 21频域冲激函数、原函数如图频域冲激函数、原函数如图 (1)0F0 12/1t t12. 单边指数函数单边指数函数1）单边因果指数函数）单边因果指数函数 tetxat0

31、a dtedtetejXtjatjat00jaetjaja 1ajea1tan221jajX1jX221a a/arctan0 2/2/0 Xa21a/1a3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换2) 单边非因果指数函数单边非因果指数函数 tetxat0adtedtetejXtjatjat00jaetjaja 1ajea1tan221jX221a a/arctan0 txt Xa21a/1a0 2/2/3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换3. 双边指数函数双边指数函数或或 taetx t0a tetetxatat利用以上单边指数函数的变换结果我们有利

32、用以上单边指数函数的变换结果我们有即即jXja 1ja 1222aa XaajX222 03.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换0 0 txt0 0 Xa21a/2a振幅谱振幅谱3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换这个函数不满足绝对可积条件，不能用定义直接求这个函数不满足绝对可积条件，不能用定义直接求4. 符号函数符号函数tsgn0011sgnttt tt符号函数也称正负函数，记为符号函数也称正负函数，记为tsgn可用以下极限形式表示可用以下极限形式表示 tetetetatatataa00limsgnlimsgn-110tsgnt3.4 非周期信号

33、的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换jX2 002/2/jXj2jajaa11lim00 X0 2/2/振幅谱振幅谱相位谱相位谱3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换5、门函数、门函数门函数门函数 tg 22tttx tgjX dtetgtjdtetj222sin22/2/sin2Sa tg也称矩形脉冲信号也称矩形脉冲信号0)(tx2/2/t3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换0 42420 X4422振幅谱振幅谱相位谱相位谱0 X4422信号主要能量集中信号主要能量集中在频谱函数的第一在频谱函数的第一个零点之内，它的个零点之内，它的频带宽度

34、频带宽度或或门函数在时域中是门函数在时域中是时宽有限的信号，时宽有限的信号，而它的频谱是按而它的频谱是按2Sa的规律变化、无的规律变化、无限频宽的频谱。限频宽的频谱。2B1fB3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换0)(tx2/2/tE)()()(2222jjtjtjeejEdtEedtetxXsin2()22EE Sa0 X4422E推广：推广：3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换6. 阶跃函数阶跃函数阶跃函数不满足绝对可积条件阶跃函数不满足绝对可积条件对上式两边取傅氏变换对上式两边取傅氏变换 t t 1212sgntF t j221 j10 2

35、/2/0 X 3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。为此对傅氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。为此对傅氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。除了明白信号时频之间的内在联系，如能简化变换的运算，除了明白信号时频之间的内在联系，如能简化变换的运算，例如我们希望清楚，当一个信号在时域中发生了某些变化，例如我们希望清楚，当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中的什么样变化？反之亦然。会引起频域中的什么样变化？反之亦然。需要对信号的时、频特性之间的对应关系进行深入的研究：需要对信号的时

36、、频特性之间的对应关系进行深入的研究： F f t信号在时域信号在时域在频域中用频谱密度函数在频域中用频谱密度函数一一对应一一对应研究傅里叶变换性质及定理的必要性研究傅里叶变换性质及定理的必要性3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理1.线性线性若若则则 11Xtx 22Xtx 2121bXaXtbxtax式中式中为任意常数。为任意常数。ba、 dtetbxtaxtj21 2121bXaXdtetxbdtetxatjtj证证 ：利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干基本信号之和。基本信号之和。3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变

37、换性质及定理2. 时延（时移、移位）性时延（时移、移位）性若若则则时延（移位）性时延（移位）性说明说明波形在时间轴上时延，不改变信号波形在时间轴上时延，不改变信号 Xtx 0101tjeXXttxtx证：证：0t线性相位。线性相位。振幅频谱，仅使信号增加振幅频谱，仅使信号增加dtettxttxFtj)()(00令令0tt dexedexttxFjtjtj)()()(00)(00)(tjeX0)()(0tjeXttx同理同理3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理例例: 求如图示信号求如图示信号 tx1的频谱函数的频谱函数 1X解：解：由上节门函数的变换由上节门函数的变换再由线性与时移性

38、，得到再由线性与时移性，得到 tx1与门函数的关系为与门函数的关系为 21tExtx 2SaXtx 01tjeEXX22jeSaEt tx1E0jX2Sa0)(tx2/2/t3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理 21SaEX 2/10 X4422E04422042423.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理3.频移性频移性傅里叶变换的频移傅里叶变换的频移(调制调制)特性表示为特性表示为证：证：若若则则)()(Xtx)()(00XetxFtj000()( )( )( )jtjtj tjtF x t ex t eedtx t edt 0X3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性

39、质及定理)()(00XetxFtj0信号乘以信号乘以信号在时域中与复因子信号在时域中与复因子tje0相乘相乘在频域中使整个频谱搬移在频域中使整个频谱搬移0通信技术中的调制通信技术中的调制tje00频谱在频谱在附近的低频信号乘以附近的低频信号乘以使其频谱搬移到使其频谱搬移到附近附近附近的高频附近的高频其频谱被搬回到其频谱被搬回到0附近附近解调解调c0c变频变频是将频谱在是将频谱在附近的信号附近的信号0tje03.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理实际实际调制解调调制解调的的载波载波信号是正（余）弦信号，借助欧拉公式信号是正（余）弦信号，借助欧拉公式若有若有则则这正是调制解调过程中频谱搬

40、移情况，所以这一性质这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质也称也称调制特性调制特性。)()(Xtx2cos000tjtjeet2-in000jeetstjtj)(21)(21cos)(000XXttx2)(cos)(000tjtjeetxttxtjtjetxetx00)(21)(21调制信号调制信号3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理高频高频-载波信号载波信号被调制信号被调制信号t0costtx0cos)()(tx-)(tx)(Xttx0cos)(3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理例：例： 求求解：解： 已知已知 tttx0cos的频谱函数，并画出频谱图。的频

41、谱函数，并画出频谱图。，利用频移性，利用频移性 jt1 tt0cos000021212jj220002j3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理0 2/2/0 X2/2/0000-110 txt220002j的波形以及频谱如图所示的波形以及频谱如图所示 tx3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理解：解：， tAgtx1 ttxtx01cos 2/1SaAX则则 010121XXX 22200SaSaA例：求如图所示例：求如图所示 tx X并作图。并作图。的的 tx-AA22t令令/203.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理0 1X4422A以及以及 1X X X02

42、/A00/203.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理4.尺度变换尺度变换傅里叶变换的尺度变换特性表示为傅里叶变换的尺度变换特性表示为若若则则证：证：0a0a)()(Xtx )(1)(aXaatx dteatxatxFtj)()()(11)()()()(aXadaexadexatxFajaj0a)(11)()()()(aXadaexadexatxFajaj)(X)(tx3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理特别特别尺度特性小结尺度特性小结频谱亦为原频谱的折叠频谱亦为原频谱的折叠1a txtx Xtx的折叠函数的折叠函数信号的脉宽与频宽成反比信号的脉宽与频宽成反比信号在时域中扩

43、展，频域中就一定压缩信号在时域中扩展，频域中就一定压缩信号在时域中压缩，频域中就扩展信号在时域中压缩，频域中就扩展时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理5、时域微分特性、时域微分特性若若则则证：证：推广到高阶导数的傅里叶变换推广到高阶导数的傅里叶变换)()(Xtx)()(Xjdttdx)()()(XjdttxdnnndeXtxtj)(21)(deXjdttdxtj)(21)()()(Xjdttdx表示时域的微分特性，它说明在时域中)(tx对对取取t 的的n 阶导数等效于在频域中阶导数等效于在频域中的频谱乘以的频

44、谱乘以)(Xnj3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理时域微分举例时域微分举例表示时域的微分特性，它说明在时域中)(1)(jtF1)(1)(jjtFjtF )(3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理6、时域积分特性、时域积分特性若若则则特别地，当特别地，当 00 X Xjdxt1证：证： dtedtxtj ddtetxtj dexj dejxj1 0X Xj1 dejxj1 dx Xj1)()(Xtx)()0()()(XjXdxtdtedxdxFtjtt)()(时移阶跃函数的时移阶跃函数的FT3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理0例例: 求如图示求如图示的频谱函

45、数的频谱函数 tx。 X2/2/t txE（a）解：解： tx22021tttE3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理0 0(b)(b) 2/002/2/21ttEEtxtx 441422jjeeSaEX4sin42ESaj2/2/t/2E/2E tx 22222 tttEtxtx Xtx 2SaAX 0101tjeXXttxtx3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理 22222jjeeEX22cos22E4sin82E 00021 XX因为因为最后最后 221XjX4sin8122E422SaE0 0 tx 2/2/4E/2E/2Et3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换

46、性质及定理7. 频域微分频域微分/积分特性积分特性傅里叶变换的频域微分特性表示为傅里叶变换的频域微分特性表示为若若则则一般频域微分特性的实用形式为一般频域微分特性的实用形式为对频谱函数的高阶导数亦成立对频谱函数的高阶导数亦成立或或 ttxddXj nnnndXdjtxt txjtddXnnn若若则则 Xjdttdx对比：时域微分特性对比：时域微分特性)()(Xtx)()(txjtddX)()(Xtx3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理 证：证：或或 ddX dtetxddtj dteddtxtj dtetjtxtj交换微、积分次序交换微、积分次序 txjtddX ttxddXj所以

47、所以 txjtddXnnn nnnndXdjtxt3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理例：求例：求解：利用解：利用的频谱函数。的频谱函数。，则，则 ttetxat jateat1 jaddjXtteat1221jajajj3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理频域积分特性频域积分特性若若)()(Xtx则则 )()0()()(txjttxdX)()(Xtx)()0()()(XjXdxt对比对比 3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理8.对称（偶）性对称（偶）性若：若：则则或或证：证： xtX21 deXtxtj21将变量将变量与与互换互换t deXtxtj21 d

48、tetXxtj2特别地特别地或或 tx偶函数偶函数 xxtX22 tXx21)()(Xtx)(2)(xtX3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理时域与频域的完全对称性关系时域与频域的完全对称性关系 tx x时域函数时域函数偶函数偶函数，频谱为频谱为 tX21 X频谱函数频谱函数 21 t13.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理例：例： 已知已知解解如图所示，利用对称性求如图所示，利用对称性求 1X tx101 1XE1 111101EX tx22021tttE 422SaEX对称三角波对称三角波02/t txE2/t xtX2 422tSaEtX x2频谱函数为三角波频谱函

49、数为三角波42212tSaE x tx三角波偶函数三角波偶函数 422SaEX221121tSaE 1X抽样平方抽样平方抽样平方抽样平方0 xE2/2/t01 1XE13.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理9. 时域卷积定理时域卷积定理交换积分次序交换积分次序利用时延性利用时延性若：若：则则证：证： dtedtxxtj21 ddtetxxtj21 deXxj21 21XX可用于频域法求解信号通过系统的响应可用于频域法求解信号通过系统的响应频域频谱函数的相乘频域频谱函数的相乘时域两个函数的卷积时域两个函数的卷积)()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(2121XXtxtx)(

50、)(21txtx3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理10.频域卷积定理频域卷积定理傅里叶变换的频域卷积定理表示为傅里叶变换的频域卷积定理表示为若：若：则则利用移频性利用移频性证：证： 21XX duuXuX21 deduuXuXtj2121 dudeuXuXtj2121 txtxduetxuXjut21212212交换积分次序交换积分次序)()(11Xtx)()(22Xtx)()(2)()(2121txtxXX3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理11. 奇、偶、虚、实性奇、偶、虚、实性 为实函数时，为实函数时， tx X的模与幅角、实部与虚部表示形式的模与幅角、实部与虚

51、部表示形式 dtetxXtj tdttxcos tdttxjsin jIR jeX RtdttxRcos ItdttxIsinXIRX22RI1tan3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理特别地特别地 tx为实偶函数为实偶函数 0I tdttxXcos20 tx为实奇函数为实奇函数 0R tdttxjjIXsin0上式表明上式表明若是若是 txt的实偶函数，的实偶函数， X必为必为的的实偶函数实偶函数若是若是 txt的实奇函数，的实奇函数， X必为必为的的虚奇函数虚奇函数3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理时延特性时延特性tje1的傅氏变换的应用实例的傅氏变换的应用实例0

52、0tjett对称性对称性0jtte0022tt 0t1变换成变换成tjtjeet1121cos111tjtjeejt1121sin111 j偶函数偶函数延伸延伸1：1jte12 3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理 X -1-1-1-11 11 1t1cost1sin ttx1costtt1sin0 00 0 X 1111 3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理由由tje1傅氏变换，还可以推导任意傅氏变换，还可以推导任意周期函数周期函数的频谱函数的频谱函数 txTtjnnneX1ntjnneXF1nnXtjne112nXnnFF证证F tjnnnTeXtx112nXnn延

53、伸延伸2： 任意任意周期函数周期函数的傅里叶变换的傅里叶变换3.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理例例 求周期单位冲激序列求周期单位冲激序列解：先将周期单位冲激序列展开傅氏级数解：先将周期单位冲激序列展开傅氏级数 nTttnT的傅氏变换的傅氏变换. tjnnnTeXt10T/1nXnX TdttTdtetTTTtjTTT1112222 tjnnTeTt1111123.5 傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理再求这个级数的傅氏变换再求这个级数的傅氏变换FtjnneT1112nTn tT11nn的频谱函数如图所示的频谱函数如图所示01 X单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。单

54、位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。 11)(0XnX)(X单个冲单个冲激信号激信号白色谱白色谱周期冲周期冲激序列激序列周期离散谱周期离散谱（傅里叶级数）（傅里叶级数）周期冲激序列周期冲激序列( (傅里叶变换傅里叶变换) )从周期性脉冲序列中截取一个周期，从周期性脉冲序列中截取一个周期，得到所谓单脉冲信号得到所谓单脉冲信号3.5.2 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期性脉冲序列的傅里叶级数与单脉冲的傅里叶变换的关系周期性脉冲序列的傅里叶级数与单脉冲的傅里叶变换的关系 tjnnneXtx1)(TdtetxTXTTtjnn221111)(1)(txdtetxXTTtj22011)(

55、)(1)(101nnXTXnX)(0X1n11T傅里叶系数傅里叶系数 ，其傅里叶变换，其傅里叶变换等于单脉冲的傅里叶变换等于单脉冲的傅里叶变换在在频率点的值乘以频率点的值乘以利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列的利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列的傅里叶系数。傅里叶系数。 3.5.2 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换)(tx1T112T例例: 已知周期矩形脉冲信号已知周期矩形脉冲信号的幅度为的幅度为E，脉宽为，脉宽为，角频率为，角频率为求：周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅里叶变换。求：周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅里叶变换。周期为周期为2)(0S

56、aEX2)(111011nSaTEXTXnn解：解：tjnnenSaTEtx12)(11T)(X 12nXXnn1112nnSaEn的傅里叶变换的傅里叶变换)(0XnX)(X)(tx)(txT周期矩形脉冲信号的傅里叶级数系数与傅里叶变换周期矩形脉冲信号的傅里叶级数系数与傅里叶变换12 ET 在在MATLAB中，中，信号的傅里叶变换主要包括信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运符号运算和算和MATLAB数值分析两种方法。数值分析两种方法。MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换和傅里符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换和傅里叶反变换的函数叶反变换的函数fourier( )及及ifourier( )。缺点：缺点：fourier( )和和ifourier( )函数的一个局限性是，如果返回函函数的一个局限性是，如果返回函数中有诸如狄拉克函数数中有诸如狄拉克函数 等项，则用等项，则用ezplot( )函数无法作图函数无法作图。ft=sym(exp(-2*t)*Heaviside(t);Fw=fourier(ft);subplot(211)ezplot(