基于容错观测器的一种新方法

1、基于观测器的一种新的方法基于观测器的一种新的方法T-S 模糊状态时滞系统的容错控制的设计模糊状态时滞系统的容错控制的设计1摘要：摘要：.2 21 简介 .42 系统描述 .63 主要结果： .93.1 基于传统自适应算法的故障估计 .93.2 FAFE 算法设计 .103.3 基于观测器的主动容错控.144 仿真结果.175 结论.252摘要：摘要：本文论述了基于模糊自适应故障模糊系统诊断观测器（AFDO）的主动容错控制（FTC）的时滞问题 Takagi-Sugeno（T-S）。一种新的模糊快速自适应故障估计算法（FAFE）。针对 T-S 模糊模型，提出了故障估计器存在的充分条件，给出了线性矩

2、阵不等式（LMI）来提高性能的故障估计。利用所获得的在线估计信息的故障，设计一个基于观测器的主动容错控制器，补偿故障对稳定的闭环系统的影响。模拟一个追踪系统的结果和非线性的数值例子来说明所提出方法的有效性。这项工作是由中国国家自然科学基金资助项目（90816023，60811120024），中国航空科学基金（2007zc52039），自然科学江苏省基础（bk2007195），江苏研究生创新研究基金会省（cx08b_090z），南京大学航空学博士生创新基金航天（bcxj08-03）和英国工程和物理科学研究委员会（EP / f029195）。College of Automation Engine

3、ering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016, P.R. Chinae-mail: K. Zhang e-mail: zhang_ P. Shi Faculty of Advanced Technology, University of Glamorgan, Pontypridd, CF37 1DL, UK e-mail: pshiglam.ac.uk P. Shi ILSCM, School of Science and Engineering, Victoria University, Me

4、lbourne, Australia P. Shi School of Mathematics and Statistics, University of South Australia, Adelaide, Australia关键词关键词：主动容错控制 故障估计 T-S 模糊模型 时滞系统 LMI1 简介简介故障检测和隔离（FDI）和容错控制（FTC）的研究和一个广泛的工业和商业流程的应用已经的深入调查，在过去的二十年里， 1，3 。这是公认的最真实的系统在本质上是非线性的，需要一个非线性模型。Takagi-Sugeno（T-S）模糊模型由一组 IF-THEN 描述的非线性系统规则，这个规则

5、给出了一个局部线性表示一个基本的非线性系统，众所周知，T-S 模型可以近似为一大类非线性系统。在过去的二十年中，相当大的注意已经引起描述非线性 T-S 模糊系统的使用模型。因此，许多重要的结果已在 2，5，6，11，17，18，20，21，33，34，37 给出，但这些结果只有稳定性分析和状态反馈稳定的问题。在过去的十年中，一些研究人员已经注意到自适应故障诊断观测器（AFDO）方法 14，15，36，40 。一个 AFDO 的优点是系统的状态向量和向量的估计执行器故障的同时可以实现。然而，在 40 所示，在使用常规的自适应故障估计的主要问题是（CAFE）算法，故障估计性能的要求不能满足，因为

6、CAFE 算法只适用于恒定的故障情况。但在实际情况中，故障是时变的，有时可能是快速时变的。同时，现有的大多数结果是线性和非线性系统满足 Lipschitz 相关条件 13，27，29，38 ，但它是制约应用范围的约束非线3性状态观测器。如何扩展线性 AFDO 结果到更一般的非线性系统，对一类非线性系统满足Lipschitz 条件，是很困难的。因此，获得解决上述问题的一个有效的方法是必要的，这促使我们研究。此外，据我们所知，一些成果已获得的非线性时滞系统的模糊 AFDO 设计。在 4，9，15 得到了一些结果的故障估计和调节相关的非线性系统，但非线性假设满足Lipschitz 条件。设计一个 A

7、FDO 利用时滞系统的 CAFE 方法是在 14，39 表示，但故障估计的性能不能满足。故障诊断滤波器的设计进行了详细的研究在 10，12，19，23，25 ，但故障估计问题不包括。同时，研究了一个强大的故障估计的不确定时滞 T-S 模糊模型 22 ，但故障估计的性能不是很好。在本文中，一个模糊的快速自适应故障估计（FAFE）通过提高 40 最近的结果提出了基于 T-S 模型的非线性系统的算法，其中 FAFE 算法首次提出了提高故障估计的性能，但线性系统只考虑 FTC 不包含。因此，本文的目的是提出一个基于 T-S 模糊模型的模糊非线性时滞系统故障估计方法。然后，根据得到的故障信息，设计一个基

8、于观测器的主动容错控制器的补偿故障的影响。本文扩展了以前的结果，故障估计与主动 FTC 使用自适应观测更一般的情况。 本文的其余部分安排如下。第 2 节给出了 T-S 模糊时滞系统的描述。在 3 ，给出了T-S 模糊系统的模糊 CAFE 算法；然后提出了一种新的基于模糊 T-S 模糊 AFDO FAFE 算法对故障估计器存在的充分条件中的线性矩阵不等式（LMI）。同时，基于故障的在线估计和观测器的主动容错控制器的设计是为了补偿故障的影响。使用一个追踪系统及数值非线性时滞的例子，所提出的模糊 FAFE 算法的有效性与 CAFE 相比在 4 给出了。其次总结部分在 5 中给出。2 系统描述系统描述

9、T-S 模糊模型的模糊 IF-THEN 规则的描述，它代表的非线性系统的局部线性的输入输出关系。T-S 模糊模型的规则，是以下列形式。IF 是是.THEN1(t)z1 i(t)szis (t)A( )()B( )() ( )idiiifxx tA x tdu tEttf t（1） ( )C( )iy tx t（2）4其中为状态向量， 是输入向量，是输出向量与 nx tR( )mu tR(t)Rpy表示执行器故障向量。矩阵,，和具有合适维度的实矩阵。它应(t)RrfiAdiAiBiEiC该是该矩阵是列满秩，即等级。假定的导数相对于时间的范数是有界的，iE()iEr( )f t即和。1|( )|f

10、 tf10f 代表时间分布的故障和表示发生故障1r()()(tt )Rr rfffttdiagtt ft时的时刻。是前提变量，是由隶属函数的模糊集，q( )(j1)jz t s(i1q,j=1s)ij 是 IF-THEN 规则的数目和 s 是的前提变量的数目。全局模糊模型的每个规则模糊融合实现（局部模型）是由 1( )( ( )( )()( )() (t)qiidiiifix th z tAx tA x tdBu tEttf（3） 1( )( ( )(t)qiiiy thz t C x（4）其中 111( ( )( ) (t),z ( ),( ( ).( ( )( )( ( )sisiiijj

11、qjiiz tz tzth z tz tz tz t（5）在是的隶属函数()ijij假设 1(z(t)0,i1,q,( ( )0qiiiz t（6）任意。因此满足( )z t( ( )ih z t 1( )( ( )( )()(t)E() ( )qiidiiifix th z tAx tA x tdButtf t（7）5任意。通常，由于输出向量可以用在很多实际系统中的传感器的测量，( )z t假设，T-S 模糊模型可改写为,iqCCC 1( )( ( )( )()( )() ( )qiidiiifix th z tAx tA x tdBu tEttf t（8） ( )( )y tC x t（9

12、）注注 1：每个被假定为以下形式 28 ：()iftt (),tt()1,iffift tfo iftteiftt（10）其中是一个未知的常数代表率。通常情况下，起故障的每个很小，而突发性故障0ii的变大。此外，作时间剖面成为一个阶跃函数，即当时，ii i()0ifttftt当。因此，为研究早期和突发性故障，上面的公式提供了一个结构。()1ifttftt为了检测和估计的故障。为了检测和估计的故障，以下 AFDO 模糊被建立。观察规则 i：IF 是，是，然后(t)iz1 i( )sz tis ( )()( )( )( ( )(t)idiiiix tAxA x tdBu tE f tL y ty（

13、11） ( )( )y tCx t（12）其中观测器的状态向量，是观测器的输出向量，估计故障(t)Rnx(t)Rny( )nf tR和状态观测器增广矩阵。然后综合模糊观测器表示如下：( )f tn niLR6 1(t)( ( )( )()(t)E( )( ( )( )qiidiiiiixh z tAx tA x tdBuf tL y ty t（13） (14)( )( )y tCx t表示：(t)x(t)x(t),e ( )( )( ),( )( )xyfety ty t ef tf t动态误差： (15)1( )( ( ) ()( )()( )qxiiixdixifie th z tALC

14、e tA e tdEet (16)( )( )xxe tCe t为简单起见，表示下列变量：, , 1( )( ( )qiiiA th z tA1( )( ( )qdidiiA th z tA, , 1( )( ( )qiiiiE th z t E1( )( ( )qiiiL th z t L3 主要结果：主要结果：3.1 基于传统自适应算法的故障估计基于传统自适应算法的故障估计给予之前的主要结果，首先介绍 CAFE 算法的相关结果。因为 CAFE 算法只能处理常见故障，即（假设当故障发生时，在瞬态期间造成的影响略） ，相对于于时间( )0f t ( )fet的导数为 ( )( )fetf t（

15、17）定理定理 1 1 如果存在对称正定矩阵和矩阵,QRn nP,(1, )n pr piiYRFRiq7 0,1,iEiq（18） ,1,TiiE PFC iq（19）然后模糊 CAFE 算法 1( ( )( )qiiyifh z t Fe t （20）可以实现和，其中lim( )0ftetlim( )0ftet,*TTTiiiidiiiiPAA PYCC YQPAYPLQ 对称正定矩阵是学习率，表示在对称矩阵的对称元素。r rR考虑以下Lyapunov函数证明： 1( )( )( )( )(s)ds e ( )( )tTTTxxxxfft dV tet Pe tes Qetet（21）然后

16、， 相对于时间导数是( )V t( )( )( ( (t)L(t)C)( ( )(t)C)( )2( )( )()2( ) ( )( )TTTTxxxdxfyV tet P AA tLP e tet PA t e tdet F t e t (22)其中. .从（19），得到1( )( ( )qiiiF th z t F (23)2( ) ( )( )2( )2( )( )e ( )TTTfyxxfet F t e tetet PE tt 然后我们可以进一步获得( )( )(P(A(t)L(t)C)(A(t)L(t)C)( )2( )(t)e(t d)TTTxxxdV tetPQ e tet P

17、A (24)1e ()()( )( )( ( )( )( )qTTTxxiiitd Qe tdt Eth z ttt其中( ( )( ) )( ( )( ) )(t)*TdP A tL t CA tL t CPQPAQ 8( )( )()xxe tte td如果我们有，可以保证误差动态渐近稳定。0(1, )iEiq( )0V t 3.2 FAFE 算法设计算法设计现在我们可以提出我们的主要结果。一种新的自适应故障估计算法将推出旨在提高故障性能对 T-S 模糊模型的估计。此外，我们考虑时变故障而非恒定的故障；然后的导数与时间有关的 (25)( )( )( )fetf tf t定理定理 2 2 如

18、果存在对称正定矩阵，和矩阵,n nP QRr rMR，（19）和下面的 LMI：,(1, )n pr piiYRFRiq (26) 0,1,ijjiijq然后模糊 FAFE 算法 (27)1( )( ( )( )( )qiiyyif th z t F e te t 可以实现和最终一致有界，其中( )xe t( )fet*TTTTTiiiidiijijTijdijTTijjiPAA PYCC YQPAA PEC YEQA PEE PEE PEMiiYPL表示对称正定矩阵学习率,表示对称矩阵的对称元素。r rR考虑以下Lyapunov函数证明： 1(t)e ( )(t)(s)Qe ( )( )(

19、)tTTTxxxxfft dVt Pees dsetet（28）然后相对于时间导数为( )V t( )( )(P(A(t)L(t)C)(A(t)L(t)C)( )2( )( )()TTTxxxdxV tetPQ e tet PA t e td 1(t)()2e ( ) ( )( )2( )( )TTTxxfyfed Qe tdt F t e tetf t（29）9一个对称正定矩阵，有r rMR11112( )e ( )( )( )( )TTTTfffeftt MetftMf t 21111max( )( )()Tffet MetfM（30）因此，可以进一步得到( )( )(P(A(t)L(t)

20、C)(A(t)L(t)C)( )2( )( )()TTTxxxdxV tetPQ e tet PA t e td21111max()()( )Me ( )2( )E ( )( )()TTTTxxfffxetd Qe tdettett Pe tfM ( )( ( (t)L(t)C)(A(t)L(t)C)( )2( )( )()TTTxxxdxet P APQ e tet PA t e td()()( )( )2( ) ( ( )( ) )( )( )()TTTTxxfffxdxetd Qe tdet Mete Et P A tL t C e tA t e td21111max( )( )()fE

21、 t etfM( ) ( ) ( )Tttt11( (t)h ( ( )( )( ) ( )qqTijijijh zz tttt211( ( )( )( ) ( )( ( )( )( )( ) ( )qqqTTiiiiijjiiiijhz tttth z ttttt其中( ( )( ) )( )( ) )( )( ( )( ) )( )( )*( )( )*2 ( )( )TTdTdTP A tL t CA tL t CPQPA tA tL t CPE ttQAt PE tE tPE tM21111max( )( )() ,()( )xxfe tte tdfMet如果，则存在一个标量使因0(1

22、, )ijjiijq02( )|( )|V tt 此，当时，这意味着收敛到一个小的集合( )0V t 2|( )|t (t)根据 Lyapunov 稳定理论可知，估计的状态和故障误差最终一致2( )|( )/Stt 有界。注注 2 2 显而易见，CAFE 算法和提出的 FAFE 算法可分别表示为10 ( )(s)e ( )ftytf tFs ds （32）和 ( )( )( )( )ftyytf tF s e se s ds （33）这个在提高速度起着重要的作用故障估计，这将在模拟结果验证。同时，从证明( )ye t程序中可以得，如果，即， FAFE 算法可以实现恒定故障的一个渐近估计，( )

23、0f t 10f 这意味着特征 CAFE 功能仍然在新算法中。当被删除时 FAFE 算法可以转换为普通的( )fet状态，这意味着 CAFE 算法可以被视为一个特殊的情况下的 FAFE。此外，如果是不容( )ye t易得到的特定的系统，我们可以引入一个近似为它的替代品。更多的细节可以在 35 获得。注注 3 3 用 T-S 模糊模型的故障估计问题，一个强大的故障估计滤波器的设计是在 22 LMI条件提出的，但它是假设故障属于。这一假设的比较，可以得到在这进行2( )0,f tL的故障假设（即）具有更少的限制可以覆盖上述情况。1( )f tf注注 4 4 在 6 ，它表明如果定理 1 和 2 是

24、可行的，那么和()(E )iir CEr是最小相位的，这意味着这两个约束条件的定理 1 和 2 可行性的()(1, )iiC sIA E iq必要条件。因此，AFDO 的应用范围得到进一步阐明，和更多的细节在 8，40 。注注 5 5 这是很容易通过使用 LMI 工具箱求解不等式定理 1 和 2。方程（19）中的定理 1 和定理 2，我们可以转换为下面的优化问题 7，40 ：最小值服从 0,1,()TiTTiiIeiqE PFCI（34）一般来说，标量 0 是第一选择非常小，为了保近似于充分。TiE PiFC3.3 基于观测器的主动容错控制器基于观测器的主动容错控制器注注 6 6 在本文中，我

25、们主要集中在两个故障估计的设计算法和容错控制器；故障检测的延迟是不包括在内的。故障检测延时问题可以解决使用渐进的调节方法在31。11我们首先给出一些预备知识相关的广义逆矩阵 16，26 ，这主动容错控制器的设计是有用的。对于一个给定的实矩阵，考虑以下四个方程：AX（1） （2） （3） （4）AXAAXAXX()TAXAX()TXAXA矩阵满足所有这些方程四由被称为 A 的 Moore-Penrose 的逆，它存在唯AX(1,2,3,4)AA一性，即。同样，一个矩阵，只有满足第一和第四个方程表示为和被称为AA(1,4)A的逆。任何逆的表示由和满足的方程（1）和（3），等等。 1,4A 1,3(

26、1,3)A由表示集合的逆，和的存在，但 1 ,1,3 ,1,4AAA 1 , 1,3 , 1,4A 11,3,AA1,4A不是唯一的。一般来说，和是最常用的广义逆矩阵。 11,31,4,AAA1,2,3,4A由于状态向量是不可用的，估计值取代。因此，基于观测的控制器，给( )x t( )x t x t出了普通的形式： ( )( ) ( )hu tK t x t （35）其中的状态反馈增广矩阵和。1(t)( ( )qiiiKh z t K1( )( ( )qiiiK th z t K假设假设 1 1 1qBBB注注 7 7 假设 1 拥有许多实际系统，如追踪系统混沌系统，直流电机系统 6 等。

27、2,5 , 17假设假设 2 2 ,( )r B E tr B引理引理 1 1 在假设 2，存在一个矩阵。*m nBR *( )0IBBE t（36）从假设 2 很容易证明，向量空间的列的一个子空间的列向量，即(t)EB，存在非零矩阵，例如其中 1span(t)spanEB( )m rE tR( )( )E tBE t。1( )( ( )qiiiE th z t E从广义逆矩阵的基本概念，存在一个矩阵例如这样等式：*B12 *0IBBB（37）其中属于*B 1B很容易证明 *0IBBE tIBBBE t（38）因此，矩阵存在并不是唯一的。*B注注 8 8 当矩阵为行满秩时，这意味着控制数输入大

28、于或等于状态变量的数目，假设()mn2 适用于任何。但这些情况很少在实际中发现。另一方面，当控制输入的数 24,32E t量是小于状态变量的数量，假设 2 只符合满足。因此，mn E t E tBE t4,15假设 2 意味着容错控制器可以弥补仅在控制输入通道发生故障的影响，其中一个特殊的情况是，即。1qEEB E tB剩余的可以被视为一个信号监测系统。在故障检测中，容错控制器被激活以补 yet偿故障的影响： *( )( )fhutu tB E t f t（39）替代（39）到（8），得到 dfx tA t x tAt x tdButE t f t dA t x tAt x tdBK t x

29、tBE t x tBK t x t *BB E t f tE t f tE t f tE t f t *dxA tBK tx tAt x tdBK t etIBBE t f t fE t et( ( )( ) ( )( ) ()( )( )( )( )dxfA tBK tx tA t x tdBK t e tE t et (40) ( )dA tBK tx tAt x tdt13其中 xftBK t etE t et 该可以被认为是作为一个外部的干扰和有界性，和可以由定理 2 的保 t x te fet证。所以，如果状态反馈控制器可以确保以下系统是渐近稳定的 u tK t x t (41) d

30、x tA t x tBx tAt x td然后，状态向量是一致最终有界的基于观测器的容错控制器（39）根据状态稳定 x t性理论输入。的状态反馈增益矩阵的设计方法是古典的，这里省略了。 30 K t 20注注 9 9 与 CAFE 算法相比，由于 FAFE 算法可以提供更快速、准确的联机故障估计，基于 40FAFE 算法的闭环系统的稳定性优于 CAFE 算法。注注 1010 在本文中，尽管系统的不确定性和外部干扰都没有考虑，我们采用 FAFE 算法和基于观测器的容错控制器对原非线性系统而不是在下面的仿真结果的 T-S 模糊模型。目的是为了验证所提出的方法的建模误差的准确性。4 仿真结果仿真结果

31、在这一部分中，给出了两个例子来说明本文提出的方法的有效性。例例 1 1 考虑以下追踪时滞系统：2,5 1110001vtvtvtx tax tax tdu tLtLtlt 211001()vtvtxtax tax tdLtLt 3210sin122vtvtvtxtxtaax tdtLL当00.7,2.8,5.5,1.0,2.0,0.5,0.5alLvttd 它是假定以下是可用的，然后采用模糊规则：( ) t规则 1：IF 大约是 0，211( )( )(/ 2 )( )(1)(/ 2 )()tx ta vtL x ta vtL x tdTHEN 1111dx tAx tA xdBu t14(

32、)( )y tCx t规则2：IF 大约是或者211( )( )(/ 2 )( )(1)(/ 2 )()tx ta vtL x ta vtL x tdTHEN222( )( )()( )dx tA x tA x tdB u t( )( )y tCx t其中 0102200000002vtaLtvtAaLtv tvtaLtLt 010220(1)00(1)00(1)002dvtaLtvtAaLtv taLt0100vtltB 0202200000002vtaLtvtAaLthv thvtaLtt 020220(1)00(1)00(1)002dvtaLtvtAaLthv taLt0200vtltB

33、 100001C010th模糊规则：11111 exp( 3( ( )0.5 )1 exp( 3( ( )0.5 )htt 211hh 据推测 和;可以通过求解定理2条件下得到以下解决方案：11EB22EB. 3.21540.00000.06520.00003.56500.83410.06520.83412.8574P2.20030.00110.00150.00113.93230.03030.00150.03034.2415Q1.1660M 15. 11.38600.09490.50513.83630.52682.6216L 21.38530.14230.48335.87970.82163.2

34、540L 4.59340.0931F 状态反馈增广矩阵和计算公式如下：(1,2)iK i *B 17.537827.32052.6076 .K 27.298126.48102.4595K *0.700000B 假定突变故障信号被创建( )f t0,03( )1 0.2sin( ),310tf ttt 仿真结果进行比较，首次提出使用模糊CAFE算法。以学习率和采样时间0.01 s，得1 到如图的故障估计的输出响应分别为图1和图2图图1 1 输出响应使用CAFE算法（在正常的控制：虚线；在容错控制：实线）16图图2 2 故障（虚线）和估计（实线）使用的CAFE算法然而，当选择合适的学习率，基于所提

35、出的FAFE算法，主动容错控制器可以快速故5 障存在恢复系统的性能，它表现为在图3的输出响应。故障是具有令人满意的精度和( )f t速度如图4所示的估计。例例2 2 考虑以下的非线性时滞系统：5,18 3211122( )0.1( )0.0125 ()002( )0.67( )x tx tx tdx tx t 3220.1()0.005()( )x tdx tdu t 21( )( )( )x tx tu t2( )( )y tx t图图3 3 输出响应使用FAFE算法（在正常的控制：虚线；在容错控制：实线）图图4 4 故障（虚线）及其估计（实线）使用FAFE算法17模糊规则为和，提出了以下的

36、T-S模糊模型：221( )1 ()2.25x th 211hh ， 10.11250.020010A10.01250.005000dA， 111B 01C ， 20.11251.527010A20.01250.230000dA， 211B 01C 图图5 5 输出响应使用CAFE算法（在正常的控制：虚线；在容错控制：实线）18图图6 6 故障（虚线）及其估计（实线）使用的CAFE算法它是假定的和，并通过计算在定理2的条件下得到下面的解决方案：11EB22EB， ， 5.24355.24355.243512.7229P4.03951.94901.94904.7799Q1.5404M ， ， 1

37、2.06931.7510L20.60031.6381L7.4794F 状态反馈增益阵的和计算如下：(1,2)iK i *B， 10.38933.4267K 20.30423.1127K *0.50000.5000B 图图7 7 输出响应使用FAFE算法（在正常的控制：虚线；在容错控制：实线）图图8 8 故障（虚线）及其估计（实线）使用FAFE算法19假定突变故障信号被创建( )f t0,03( )0.3,310tf tt 同样的例子1，仿真结果说明图5，6，7，8。学习率为和，分别从仿真结果0.3 5 中，可以得到，传统的算法性不能满足要求，所以FAFE算法优于传统算法。5 结论结论在本文中，

38、我们提出延长FAFE算法一类T-S模糊模型和获得的线性矩阵不等式的充分条件。基于故障的快速、准确的信息，构建了基于容错控制器保证闭环系统的稳定性观察。仿真结果表明，与CAFE算法相比，所提出的主动容错控制器使用FAFE算法可以实现更好的性能。由于实际系统中存在的不确定性和外部干扰的确定性，FDI与主动容错控制是很有趣的问题，这将是我们未来的研究工作的研究。参考参考1. M. Blanke, M. Kinnaert, J. Lunze, M. Staroswiecki, Diagnosis and Fault-Tolerant Control (Springer,Berlin, 2006)2.

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