专题15：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之等腰旋转-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）

1、专题15：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之等腰旋转一、单选题1如图，正方形abcd的边长是2，对角线ac、bd相交于点o，点e、f分别在边ad、ab上，且oeof，则四边形afoe的面积是（）a4b2c1d二、填空题2已知：如图，四边形abcd是边长为1的正方形，对角线ac、bd相交于点o过点o作一直角mon，直角边om、on分别与oa、ob重合，然后逆时针旋转mon，旋转角为（0°90°），om、on分别交ab、bc于e、f两点，连接ef交ob于点g，则下列结论中正确的是_(填序号)；s四边形oebf：s正方形abcd=1：2；ogbd=ae2+cf2；在旋

2、转过程中，当bef与cof的面积之和最大时，3已知直角三角形abc，abc=90°，ab=3，bc=5，以ac为边向外作正方形acef，则这个正方形的中心o到点b的距离为_4如图，折线中，将折线绕点按逆时针方向旋转，得到折线，点的对应点落在线段上的点处，点的对应点落在点处，连接，若，则_°三、解答题5如图，已知等腰直角三角形abc中，abac，bac90°，bf平分abc，cdbd交bf的延长线于点d，试说明：bf2cd6如图（a），（b），（c）所示，点e、d分别是正、正四边形abcm，正五边形abcmn中以c点为顶点的相邻两边上的点，且，db交ae于点p（1）

3、在图（a）中，求的度数（2）在图（b）中，的度数为_，图（c）中，的度数为_（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由7（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，小明发现，你认为正确吗？请说明理由（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立请你给出证明探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由 8

4、已知在中，点d是bc上的任意一点，探究与的关系，并证明你的结论.9如图所示，等腰直角中，点在上，且，将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求的长10如图，在四边形abcd中，c=60°，a=30°，cd=bc（1）求b+d的度数（2）连接ac，探究ad，ab，ac三者之间的数量关系，并说明理由（3）若bc=2，点e在四边形abcd内部运动，且满足de2=ce2+be2，求点e运动路径的长度11问题背景如图（1），在四边形abcd中，b+d180°，abad，bad，以点a为顶点作一个角，角的两边分别交bc，cd于点e，f，且eaf，连接ef，试探究：线段be，df

5、，ef之间的数量关系（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当badbd90°时”如图（2），小明很快写出了：be，df，ef之间的数量关系为_（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段be，df，ef之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由（3）解决问题如图（3），在abc中，bac90°，abac4，点d，e均在边bc上，且dae45°，若bd，请直接写出de的长12如图，在线段ab上任取一点m（）、把线段mb绕m点逆时针旋转90°至mc连接ac，作ac的垂直平分线交am于n点，此时an、m

6、n、bm为边的三角形是一个直角三角形，我们称点m，n是线段ab的勾股分割点.如下右图，已知：点m，n是线段ab的勾股分割点，abc、mnd分别是以ab、mn为斜边的等腰直角三角形，且点c与点d在ab的同侧，若mn=3，连接cd，则cd=_.13如图，o为正方形abcd对角线的交点，e为ab边上一点，f为bc边上一点，ebf的周长等于bc的长（1）若ab=12，be=3，求ef的长；（2）求eof的度数；（3）若oe=of，求的值参考答案1c【解析】【分析】根据正方形的性质可得oaob，oaeobf45°，acbd，再利用asa证明aoebof，从而可得aoe的面积bof的面积，进而可

7、得四边形afoe的面积正方形abcd的面积，问题即得解决【详解】解：四边形abcd是正方形，oaob，oaeobf45°，acbd，aob90°，oeof，eof90°，aoebof，aoebof（asa），aoe的面积bof的面积，四边形afoe的面积正方形abcd的面积×221；故选c【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键2【解析】【分析】证明boecof，结合正方形的性质可判断；证明，结合boecof的性质即可证得；作ohbc，表示出sbef+scof，即可判断【详解】四边

8、形abcd是正方形，ob=oc，obe=ocf=45°，boc=90°，bof+cof=90°，eof=90°，bof+coe=90°，boe=cof，在boe和cof中，boecof（asa），oe=of，be=cf，ef=oe；故正确；s四边形oebf=sboe+sboe=sboe+scof=sboc=s正方形abcd，s四边形oebf：s正方形abcd=1：4；故错误；be+bf=bf+cf=bc=oa；故正确；在中，故正确；过点o作ohbc，bc=1，oh=bc=，设ae=，则be=cf=1-，bf=，sbef+scof=bebf+cf

9、oh=（1-）+（1-）×=-（-）2+，0，当=时，sbef+scof最大；即在旋转过程中，当bef与cof的面积之和最大时，ae=；故错误；故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知以上知识点是解题的关键3 【解析】如图，延长ba到d，使ad=bc，连接od，oa，oc，四边形acef是正方形，aoc=90°，co=ao，abc=90°，abc+aoc=180°，bco+bao=180°，bco=dao，在bco与dao中，bcodao（sas），ob=od，boc=doa，bod=coa=90°，bod

10、是等腰直角三角形，bd=，bd=ab+ad=ab+bc=8，ob=.故答案为.4【解析】【分析】连接ac 、ae ，过点a作afbc于f ,作ahec于h再证明四边形afch是矩形,可得af=ch ,由旋转的性质可得ad=ab=3、bc=de=5，abc=ade，则abcade，即ac=ae ；再由等腰三角形的性质和勾股定理可得bf、af、ec、cd的长，最后根据正切定义解答即可【详解】解：如图：连接ac 、ae ，过点a作afbc于f ,作ahec于hcebc，afbc，ahec四边形afch是矩形，af=ch，将折线ab-bc绕点a按逆时针方向旋转，得到折线ad-dead=ab=3、bc=

11、de=5，abc=adeabcadeac=ae，ac=ae，ab=ad，afbc，ahec，bf=df，ch=ehbf=，af=故答案为：2【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，根据题意求得ec、cd的长是解答本题的关键5见解析【解析】【分析】作bf的中点e，连接ae、ad，根据直角三角形得到性质就可以得出aebeef，由bd平分abc就可以得出abedbc22.5°，从而可以得出baebaeacd22.5°，aef45°，由bac90°，bdc90°就可以得出a、b、c、d四点共

12、圆，求出addc，证adcaeb推出becd，从而得到结论【详解】解：取bf的中点e，连接ae，ad，bac90°，aebeef，abdbae，cdbd，a，b，c，d四点共圆，dacdbc，bf平分abc，abddbc，dacbae，ead90°，abac，abc45°，abddbc22.5°，aed45°，aead，在abe与adc中，abeadc，becd，bf2cd【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键6（1）证明见解析；（2），；（3）见

13、解析【解析】【分析】（1）根据sas证明，得出，再根据计算得出的度数；（2）方法与（1）相同；（3）由（1）、（2）可得出规律：等于这个正n边形的一个内角的度数【详解】（1）abc是正三角形，abbc，abe=c=，在和中 ，（2）如图（b）:abcm是正四边形，abbc，abe=c=，在和中 ，如图（c）:abcmn是正五边形，abbc，abe=c=，在和中 ，（3）问题：如图（d）所示，点e，d分别是正n边形中以c点为顶点的相邻两边上的点，且，db交ae于p点则等于这个正n边形的一个内角的度数，即【点睛】考查了全等三角形的判定、性质和三角形外角的性质，解题关键是利用sas方法求证三角形全等

14、和三角形外角的性质7（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）连接dm并延长，作bnab，与dm的延长线交于n，连接cn，先证明emdbmn，得到bn=de=da，再证明cadcnb，得到cd=cn，证明dcm是等腰直角三角形即可；（2）探究一：延长dm交bc于n，根据平行线的性质和判定推出dem=mbc，根据asa推出emdbmn，证出bn=ad，证明cmd为等腰直角三角形即可；探究二：作bnde交dm的延长线于n，连接cn，根据平行线的性质求出e=nbm，根据asa证dcancb，推出dcn是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出cmd

15、为等腰直角三角形【详解】解：（1）如图一，连接dm并延长，作bnab，与dm的延长线交于n，连接cn，eda=abn=90°，debn，dem=mbn， 在emd和bmn中， ，emdbmn（asa），bn=de=da，mn=md，在cad和cnb中， ，cadcnb，cd=cn，dcn是等腰直角三角形，且cm是底边的中线，cmdn，dcm是等腰直角三角形，dm=cm；（2）探究一，理由：如图二，连接dm并延长dm交bc于n，eda=acb=90°，debc，dem=mbc，在emd和bmn中，emdbmn（asa），bn=de=da，mn=mdac=bc，cd=cn，dc

16、n是等腰直角三角形，且cm是底边的中线，cmdm，dcm=dcn=45°=bcm，cmd为等腰直角三角形 dm=cm；探究二，理由：如图三，连接dm，过点b作bnde交dm的延长线于n，连接cn，e=mbn=45°点m是be的中点，em=bm在emd和bmn中， emdbmn（asa），bn=de=da，mn=md，dae=bac=abc=45°，dac=nbc=90°在dca和ncb中 ，dcancb（sas），dca=ncb，dc=cn，dcn=acb=90°，dcn是等腰直角三角形，且cm是底边的中线，cmdm，dcm=dcn=45

17、76;=cdm，cmd为等腰直角三角形dm=cm【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大8【解析】【分析】作aebc于e，可得be=ce=bc，然后再使用勾股定理即可完成解答.【详解】. 证明如下：如图：作aebc于e， 由题意得：ed=be-bd=cd-ce，在abc中，bac=90°，ab=ac，be=ce=bc，由勾股定理可得： 即.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的知识，解题的关键是做辅助线构造直角三角

18、形.9【解析】【分析】将ceb绕点c逆时针旋转90°，得到ace，连结de，根据旋转的性质可得cec e，aebe，再求出ade是直角三角形，然后勾股定理得出，再根据acebce，caeb45°，然后求出dce45°，从而得到dcedce，再利用“边角边”证明ecddce，根据全等三角形对应边相等可得de= de=，【详解】解：如图，由旋转性质知，即，在中，ecb=eca，ecb+dca=eca+ dca=ecd=45°=dce，又ec=ce，cd=cdecddce，de= de=.【点睛】本题考查了作图旋转变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰

19、直角三角形的性质，勾股定理，难度适中准确作出旋转后的图形是解题的关键10（1）d+b=270°；（2）ad2+ab2=ac2；理由见解析；（3）点e运动路径的长度是【解析】【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可； （2）如图，将abc绕点c顺时针旋转60°，得到qdc，连接aq，证明qda=90°，根据勾股定理可得结论； （3）如图中，将bce绕c点顺时针旋转60°，得到cdf，连接ef，想办法证明bec=150°即可解决问题.【详解】（1）在四边形abcd中，c=60°，a=30°，d+b=360°-a-c=

20、360°-60°-30°=270°（2）如图，将abc绕点c顺时针旋转60°，得到qdc，连接aq，acq=60°，ac=cq，ab=qd，acq是等边三角形，ac=cq=aq，由（1）知：adc+b=270°，adc+cdq=270°，可得qda=90°，ad2+dq2=aq2，ad2+ab2=ac2；（3）将bce绕c点顺时针旋转60°，得到cdf，连接ef，ce=cf，ecf=60°，cef是等边三角形，ef=ce，cfe=60°，de2=ce2+be2，de2=ef2

21、+df2，dfe=90°，cfd=cfe+dfe=60°+90°=150°，ceb=150°，则动点e在四边形abcd内部运动，满足ceb=150°，以bc为边向外作等边obc，则点e是以o为圆心，ob为半径的圆周上运动，运动轨迹为，ob=bc=2，则=点e运动路径的长度是【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题11（1）be+dfef；（2）成立；（3）de【解析】【分析】（1）将abe绕点a逆时针旋转90°，得到adg

22、，由旋转的性质可得aeag，bedg，baedag，根据eaf=bad可得bae+daf45°，即可得出eaffag，利用sas可证明afeafg，可得ef=fg，进而可得ef=be+fd；（2）将abe绕点a逆时针旋转得到adh，由旋转的性质可得abeadh，baedah，aeah，bedh，根据bad，eaf可得bae+fad，进而可证明faheaf，利用sas可证明aefahf，可得ef=fh=be+fd；（3）将aec绕点a顺时针旋转90°，得到aeb，连接de，由旋转的性质可得beec，aeae，cabe，eaceab，根据等腰直角三角形的性质可得abcacb45

23、°，bc4，即可求出ebd90°，利用sas可证明aefahf，可得dede，利用勾股定理求出de的长即可的答案.【详解】（1）be+dfef，如图1，将abe绕点a逆时针旋转90°，得到adg，adcbadg90°，fdg180°，即点f，d，g共线由旋转可得aeag，bedg，baedagbae+dafbadeaf90°bad=90°-45°45°，dag+daf45°，即fag=45°，eaffag，afeafg（sas），effg又fgdg+dfbe+df，be+dfef，故答

24、案为be+dfef（2）成立如图2，将abe绕点a逆时针旋转得到adh，可得abeadh，baedah，aeah，bedhb+adc180°，adh+adc180°，点c，d，h在同一直线上bad，eaf，bae+fad，dah+fad，faheaf，又afaf，aefahf（sas），effhdf+dhdf+be；（3）de，如图3，将aec绕点a顺时针旋转90°，得到aeb，连接de可得beec，aeae，cabe，eaceab，在rtabc中，abac4，bac=90°，abcacb45°，bc4，cd=bc=bd=3，abc+abe90

25、°，即ebd90°，eb2+bd2ed2易证aedaed，dede，de2bd2+ec2，即de2，解得【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.12【解析】【分析】如图中，连接cm、cn，将acm绕点c逆时针旋转90°得cbf，将cdm绕点c逆时针旋转90°得cfe只要证明四边形efdn是平行四边形以及mn=nf就可以了【详解】如图，连接cm、cn，将acm绕点c逆时针旋转90°得cbf，将cdm绕点c逆时针旋转90°得cfeabc，dmn都是等腰直角三角形，dmn=a=45°，cba=dnm=45°dmac，dnbc，1=2=3=4，efbc，efbcnd，dm=dn=ef，四边形efnd是平行四边形，ed=nf，由nbf=fbc+cba=90°则=+， 点m，n是线段ab的勾股分割点，（）则=+，又am=bf，可知mn=nf，mn=ed，在rtcde中