精品27M物理金牌教练培训讲义(绝密)附答案

1、物理竞赛力学知识讲解物理五问：物理问题的难点在哪里？物理知识、物理过程分析、数学运算。知识如何构建？加强思考、进行推理推导、讨论拓展。解题的三部曲是什么？分析、表达、演算。如何分析过程？4个Wh。做题需要注意什么？应该由易到难、坚持一气呵成、切忌毁题不倦。力学的主要内容：力是改变物体运动状态的原因。其问题有：1、参照系的选择；2、运动的描述；3、以牛顿运动定律为主线的能量、动量、角动量，质心运动理论；4、天体运动；5、静力学；6、振动和波动。第一讲 运动学一、伽利略变换；二、速度加速度关联。三、典型运动：抛体运动、圆周、椭圆、双曲线运动。1、 2、从位于同一条水平直线上的、两点，以同样大小速度

2、 m/s同时抛出两块石头一块沿曲线1轨道飞行，另一块沿曲线2轨道飞行，每一块石头恰落在另一块石头起飞点已知石头在点的抛射角为75°（如图），问：抛出后经过多少时间两块石头之间距离最近？这距离等于多少？在图上标出此刻两石头位置解析：研究从点抛出的石头的飞行情况它在竖直轴上的运动方程为，由此飞行时间、两点之间距离等于 m同理，对从点抛出的石头可列出类似方程于是得出，又据题意，所以，即转入另一参照系里作更详细研究，在此参照系里两石头作匀速运动取点作为参照系的原点由于且，所以相对速度是以速度矢量所作的正方形的对角线，于是从图121可见，是两石头之间最短距离， m因此10 m两石头运动到它们之

3、间距离最短时间所需时间最少，等于 s平行移动线段直到它的起点和终点分别位于石头曲线射轨道和平直轨道上（图122），这时3、如图所示，杆的两端分别沿成直角的两边滑动如果杆的端以恒定速度运动，当杆与水平所成角度为时，求杆中点（点）加速度与角的关系解析：如图110，为杆的瞬时转动中心，杆的瞬时角速度：，易得杆中点的速度：注意到点在以为圆心，以为半径的圆周上运动，其向心加速度：，点的合加速度方向必为竖直向下，由图示几何关系可得：4、一根细棒斜搁在半径为的固定半圆柱面上，棒与地面接触的端以速度沿水平面作匀速直线运动，如图所示当棒与地面夹角为时，试求：（1）棒上与圆柱面接触的点此时的速度；（2）棒与圆柱面

4、的交点位置变动的速度题解108 （1）取棒与地面的接触点为运动参照系，在此系中，棒绕点转动，故棒上与圆柱的接触点点的速度（相对速度的方向为垂直于棒的方向，即沿圆柱半径指向圆心的方向，设棒此刻绕点转动的角速度为，故有（1）上式中为棒上点到点的棒长由于受到了固定半圆柱体的限制，棒上点的绝对速度不可能有垂直于棒斜向下（即指向点）的分量，当然也不可能有垂直于棒斜向上的分量，否则必然导致棒与柱面脱离，故此时的方向一定沿棒指向点由相对运动公式可得图1表示了上式的矢量关系，由图示的几何关系可得（2）同时，也可得（3）（2）联立（1）、（3）式，并注意到，于是可得（4）此为在点的参照系中，棒绕点转动的角速度由

5、于这是平动参照系，故也是棒相对地面参照系的转动角速度由图2可知，当棒转过角时，棒与圆柱面的交点点绕点作圆周运动也转过了角即其圆周运动的角速度也是于是有（5）将（4）式代入（5）式，即可得5、由四根长为和四根长为的细杆构成合页构件，各交叉点均由铰链铰接，如图所示现铰接点以速度匀速地沿方向运动当各杆与轴成角时，求：（1）铰链的速度与加速度的值；（2）细杆的转动角速度和角加速度；（3）各铰链的运动轨迹方程题解109 （1）当铰链以速度轴运动时，铰链、的速度分别，铰链、沿方向的分速度分别为由于点绕作圆周运动，故的方向垂直于杆由几何关系可知：的方向与轴的夹角为由此可求得（1）同时可求得点沿方向的分速度的

6、值为由于点的方向分速度的值与点相同即于是，得（2）本题中除铰链以外，其余所有铰链沿方向均作匀速运动所以、的加速度沿轴方向，其值分别设为，而铰链作圆周运动的法向加速度为（3）故有（4）铰链的加速度值与一样，即（2）由于各杆转动角速度与角加速度均相同，故只需求杆的角速度与角加速度即可，（5）由（3）、（4）式可求得的切向加速度为由切向加速度便可求得，（6）（5）、（6）式即是杆的转动的角速度和角加速度的表示式（3）铰链、沿轴运动，其轨迹方程可表示为铰链、可用符号表示，其位置坐标为故轨迹方程为为椭圆方程第二讲 牛顿运动定律一、物体的加速度关联；二、惯性力；三、质点组牛顿第二定律1、质量为的珠子可以沿

7、水平直杆无摩擦地滑动（如图）珠子上系有一根长为的不可伸长的轻线现拉线的自由端，使此端速度总是沿线方向且大小等于当线的方向与杆成角时，应当以多大力拉线？线总是位于水平面内解析：线是不可伸长的，这使在指定角值时线端的速度与此有关系采用微元法，求经过十分短的时间后珠子新的位置和新的角度，进而表示新的速度并且求出珠子在此内速度增量这样我们能够计算加速度，再求力就非常简单设角为时珠子速度等于（图347），则经过短时间，线端位移移动，珠子滑过，现在可以列出新的等式为去掉括号，利用熟悉的和角正弦公式以及用角度值代替图上小角度的正弦值，得到角的增量可以利用几何知识来得到根据正弦定理，用角本身值代替小角度的正弦

8、值，得到经简单化简得到对珠子列出牛顿第二定律，由此得2、彼此相切的圆木和劈沿着光滑的斜面运动，两斜面与水平面成相同的角，劈的一面是竖直方向（如图），圆木质量为，劈的质量为试求劈对圆木的压力圆木与劈之间的摩擦不计解析：设圆木的加速度大小为，劈的加速度大小为，若劈的加速度方向沿斜面向下，则圆木的加速度方向一定沿斜面向上把加速度、分解，如图323所示，由加速度相关关系可得，即对、的受力分析如图324所示由牛顿第二定律可得：，解得劈对圆木的压力3、一根绳的一端连接于点，绳上距端为处系有一个质量为的质点，绳的另一端通过固定在点的滑轮，、位于同一水平线上。某人握住绳的自由端，以恒定的速率收绳，当绳收至如图

9、所示的位置时，质点两边的绳与水平线的夹角分别为和，求这时人收绳的力。忽略绳与滑轮的质量以及滑轮的摩擦。第三讲 能量 知识要点：动能定理、功能原理、机械能守恒定律； 虚功原理。1、如图，长度为L的轻杆上端连着一质量为m的体积可忽略的小重物B。杆的下端被用铰链固接于水平面上的A点。同时，置于同一水平面上的立方体C恰与B接触，立方体C的质量为M。今作微小扰动，使杆向右倾倒，设B与C，C与水平地面间均无摩擦，而B与C刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为，求：B、C的质量之比。解：B、C分离前，B对C有作用力，使C沿水平方向加速,且两者相接触时，两者在水平方向上的速度总是相等。在水平方向上的加速度也总是相

10、等。直至B、C分离瞬间，B与C在水平方向上的速度还相等，水平方向的加速度也相等，且其间应刚好无相互作用力。由于其间无相互作用力，可见此刻C的加速度为零，则B的加速度的水平分量为零。则杆对B的作用力的水平分量必为零，由于杆为轻杆，它对B如有作用力则必沿杆身方向，而其水平分量要为零。故可肯定此刻杆对B的作用力为零。现以B球为研究对象，如图二，设此刻B球的速度大小为V，杆与水平面夹角以q表示（），则B此刻是仅仅受重力作用而绕A点作半径为L的圆周运动，其向心力由重力沿杆方向的分力（mgsinq）提供，由向心力的公式，有所以，并且由图二还可见此刻B的速度的水平分量为又由上述知此刻C的速度和相等，即有对于

11、由BC组成的系统，在此过程中满足机械能守恒定律的条件，故有将以及代入上式，可以解得2、一列长为L的过山车由许多节车厢组成，以某一速度在水平轨道上行驶,然后进入半径为R的在竖直平面内的轨道。已知R比车厢的尺寸大很多，且。求：过山车在水平轨道上的速度应满足条件，才能使过山车安全的驶过竖直圆轨道。不计车与轨道间的摩擦。解：由于不考虑摩擦，则整车运动中机械能守恒。列车进入竖直面内的圆轨道时，有部分车厢的位置升高，整车的重力势能逐渐增加，则车的动能将随之减少，车速也随之减小。设列车单位长度的质量为l，当整个圆轨道上都分布有列车车厢时，这部分车厢较在水平轨道上时增加的重力势能为，此时列车的速度达到最小值，

12、设其为V，则由机械能守恒定律，有 （1）列车的安全行驶应不脱离竖直圆轨道，在竖直圆轨道内，列车最容易脱离轨道的是处于轨道最高点处的车厢。为研究列车在最高点处的运动情况，需分析处于最高点处列车的受力情况，位于最高点处的车厢与车厢之间有张力作用。为求这一张力，不妨如图二假想将运行中的列车断开，则断开后右部的车厢受到左部车厢的拉力T。又设在此拉力T作用下，右部车厢发生了一极小的位移，则此过程中拉力T对右部车厢做功，以这一做功过程的前后两状态比较，相当于将整列车尾长的一段移至圆轨道的最高点处，其重力势能增加了，而列车的速度不变，则其动能不变，可见上述重力势能的增加是由于拉力T做功的结果，乃有即 （2）

13、只要车厢与轨道处于接触状态，轨道对车厢就有反作用力。轨道最高点对车的反作用力最小，在临界状态下，这一反作用力为零。此时处于这一位置的车厢仅受重力和两侧车厢拉力作用，而这几个力的合力则提供车厢作圆周运动的向心力。现就这一节车厢的运动情况来进行研究，设有一节长为L（则其质量为）的车厢处于轨道最高点，如图三，令其所对的轨道圆心角为a，则它两端所受张力T分别与水平方向的夹角为，由于a很小，则此两张力的合力应为又由图中可见应有，故得到 （3）此时车厢在作圆周运动，由圆周运动向心力的公式，应有，以代入上式，即得 （4）联立（1）（2）（3）（4），可得即列车初速度应不小于，才能保证其安全地通过圆轨道。3、

14、两只质量为的小球用长为的轻杆相连，该系统从竖直位置开始靠着竖直的光滑墙运动上球沿竖直线运动，下球无摩擦地沿水平面滑动（如图）求当上球离开竖直墙时下球的运动速度解析：当上球沿竖直墙方向的加速度时，上球只受重力作用，杆对球的作用为0，上球将离开竖直墙，此时下球的运动速度达到最大，因此下球加速度为0设杆与竖直墙成角时，上球离开墙，如图58所示因为杆上各点沿杆方向速度相等，即式中，、依次为上球离开墙时上球和下球的速度大小此时，上球相对下球的速度大小为，方向垂直于杆根据机械能守恒定律可得由式可得因此在上球离开墙时，上球相对下球在沿杆方向上的加速度为=，由于上球离开墙时，下球的加速度为0，故上球离开墙时，

15、上球相对下球在沿杆方向上的加速度即上球相对地在沿杆方向上的加速度由于离墙时上球只受重力作用，上球的加速度大小为，方向竖直向下把上球的加速度分解成沿杆方向上的分量和垂直杆方向上的分量，由图58中加速度矢量关系可得解得代入式，可得，解得因此当上球离开竖直墙时下球的运动速度为4、如图所示，三个半径为、质量均为的匀质光滑球放在光滑的水平桌面上，用一根不可伸长的均匀橡皮筋把它们约束起来。将一个半径也为、质量为的匀质光滑球放在上述三个球中间正上方。试求，将橡皮筋剪断后，上面的球体碰到桌面的速度。 5、如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，

16、B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为。求铁链A端受的拉力T。6、在山上架设一条输电线（如图），两座支架之间导线的质量为、长为导线固定在上支架点处，导线最低点为点与点之间沿竖直线距离为，导线段长为求导线的最大张力解析：以最低点为分点，把导线分成左右两部分，这两部分导线受力情况相同以导线中段为研究对象点受拉力，沿点的切线方向；点受导线另一部分的拉力，沿点的切线方向，即水平向右，重力段相当于一平衡的“三力杆”，受力关系如图221所示现设想在处以力将导线沿方向拉过一极小距离在此过程中，力所做的元功；力所做的元功；导线的势能增加相当于端长为的一段导线移到处，即为由功能原理，得由平衡条件，得由/，得由

17、+，得因此，导线在处张力最大，第四讲动量知识要点：动量定理、动量守恒定律。1、长又柔软的均匀小链以速度沿直线运动，链的前端向后“拐弯”且以恒定速度拉它（如图）要维持这样的运动，必须以多大的力作用于链的前端？小链长为，质量为解析：取如图48所示元过程，取后端链条最右边一个链元段研究，长度设为，质量设在时间内，这个微元段走过，图中，动量从（向右）变到（向左），动量的变化是由作用与链前端的力引起的，对微元段，根据动量定理，得，注意到在极短的时间内，微元段的运动可视为匀变速运动，平均速度等于始末速度的算术平均，即，故有因此必须以的力作用于链的前端2、小球从水平地面上以初速斜抛出去，小球落地时在竖直方向

18、上发生的非弹性碰撞恢复系数为e，小球与地面间的摩擦因数为。若要求小球第一次与地面碰撞后能竖直弹起，试求小球可能达到的最大水平射程。解：小球与地面第一次碰撞中，若地面摩擦力的作用可使小球水平分速度降为零，小球便能竖直弹起。显然小球速度不可太大，这对抛射角是一种限制，在这一种限制内寻求。小球竖直方向初速度，水平方向初速度及水平射程分别为落地后竖直方向反弹速度，对应的法向冲量为其中m为小球的质量。小球受地面摩擦力提供的冲量大小为为使小球竖直弹起，要求将两式联立后，即要求下面分两种情况讨论。（1）若，可取到，则得（2）若，则可取的抛射角范围为此时随增大而减小，为使取最大，应取2为最小，即取，故有即代入

19、，即得3、有一质量及线度足够大的水平板，它绕垂直于水平板的竖直轴以匀角速度旋转。在板的上方h处有一群相同的小球（可视为质点），它们以板的转轴为中心、R为半径均匀的在水平面内排成一个圆周（以单位长度内小球的个数表示其数线密度）。现让这些小球同时从静止状态开始自由落下，设每个球与平板发生碰撞的时间非常短；而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变，仅是方向反向；而在水平方向上则会发生滑动摩擦，摩擦系数为。（1）试求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比值1。（2）如果（g为重力加速度），且，试求这群小球第三次和第一次与平板碰撞时的小球数线密度之比值2。4、如图所示，A是放置在光滑水平面

20、上的滑块，其质量为M，滑块的上端面是一水平台面，台面的长度和高度均为h，滑块的侧面有一条长度为1/8圆周的圆弧形光滑槽，槽底跟水平面相切另有一条高为H的固定光滑导轨，导轨的底端正好对准A的滑槽B是一个质量为m的小球，m=0.4M，它由导轨的顶端滑下，初速为零试问，欲使小球击中A的平台，高度比H/h的数值范围是多少？5、水平光滑大桌面上有一质量为M的均匀圆环形细管道，管道内有两个质量同为m的小珠，位于管道直径AB的两端。开始时，环静止，两个小珠沿着朝右的切线方向，具有相同的初速，如图所示。设系统处处无摩擦。（1）当两个小珠在管道内第一次相碰前瞬间，试求两个小珠之间的相对速度大小；（2）设碰撞是弹

21、性的，试分析地判定两小珠碰后，能否在管道内返回到原来的A，B位置。（3）若能，再通过计算确定两小珠第一次返回到A，B时，相对桌面的速度方向（朝左还是朝右）和速度大小。解：（1）此时，管道与两小珠具有共同的右行速度，记为，两小珠相对管道的速度大小相同，记为。有两小珠相对速度大小便为（2）弹性碰撞后，两小珠相对管道速度反向，大小仍为，系统动能守恒。如果不能返回A，B，某时刻必相对管道停下，则据动量守恒，此时管道与两小珠一起右行的速度即为。系统动能便是与系统动能守恒矛盾。故碰后，两小珠必能返回到A，B。（3）两小珠返回A，B位置时，管道右行速度记为u，小珠相对桌面朝右的速度记为。有得两组解：小球返回

22、A，B过程中，相对管道有朝左的运动速度，故小珠相对桌面的右行速度（带正负号）必定小于管道相对桌面的右行速度u，即必有<u解，应舍去；解，选定。结论如下：2m>M时，小珠相对桌面速度方向朝右，2m=M时，小珠相对桌面速度为零，2m<M时，小珠相对桌面速度朝左，第五讲 角动量知识要点：冲量矩定理；角动量守恒定律。1、质量均为m的小球1、2用长4a的柔软轻细线相连，同以速度沿着与线垂直的方向在光滑水平面上运动，线处于伸直状态。在运动过程中，线上距离小球1与a处与固定在水平面上的竖直光滑细钉相遇，如图所示。设在以后的运动过程中两球不相碰，试求：小球1与钉的最大距离（给出4位有效数字）

23、。解：（1）参考题解图，以钉为参考点，球1和球2所受绳中拉力的力矩都为零，各自角动量守恒。线与钉接触后的过程中，球1、2的速度可分解为沿线长方向的径向分量和垂直于线长方向的角向分量。当球1与钉的距离达最大时，必有，得（1）（2）过程中系统动能守恒，即有三个方程，三个未知量均可解。联立三式，消去，可得引入参量后，可展开成数学解为，即，对应初态，舍去；引入函数由x:-101247y:<0>0>0<0<0>0可知，x在(-1，0)，(1，2)，(4，7)三个区间内，有y=0的三个根。因，故可取在根在(1，2)区间内，取二分逼近法，用计算器可找到此根的数值为，对应此

24、值即为小球1与钉的最大距离，即2、如图所示，在半顶角为的倒立固圆锥面光滑内壁上，一小球在距锥顶H0高度处作水平圆周运动。（1）试求小球的圆运动速度；（2）若在某时刻，小球的速度不改变方向地其大小从增为，其中，假设而后的运动中小球不会离开锥面内壁，试讨论小球而后的运动。解：（1）将小球受锥面内壁法向支持力的大小记为N0，则由：小球质量可解得（2）小球因速度已超过，不能在H0高处继续作水平匀速圆周运动。小球速度增为时，在极短时间内可作的空间曲线运动仍可处理为无穷小的原水平面内的圆弧段运动，曲率半径仍为。此时所需向心力必定增大，这只能通过作为被动力的法向支持力的大小从N0增为相应的N>N0来满

25、足。如题解图所示，N的竖直分量必定大于mg，据此可以判定小球不会沿锥面向下运动，而是朝上运动。考虑到机械能守恒，小球爬高可到达的高度必有极大值，记为H，在该处速度v若不为零，也只能沿水平方向。从H0到H的过程中以锥面顶点O为参考点，小球相对O的矢r、所受重力mg和弹力N在同一竖直平面内，由此构成的力矩M必定与此竖直平面垂直，即为水平矢量。M的竖直分量为零，故角动量竖直分量守恒。于是得能量守恒方程：角动量竖直分量守恒方程：解得（初态），即小球爬高到H2高处因竖直方向速度为零而停止爬高。在H2高处小球不能爬高，而后的运动能否是在H2高处作水平匀速圆周运动？若能，则要求上述两个守恒方程解得的必须满足

26、方程于是共有三个方程，但只有两个未知量H和，为使方程组有解，增设为未知量，便可解得（过程略）这与题设矛盾。现在，小球只能从H2处沿锥面向下运动。运动过程中假设能到达一个最低高度，其速度方向水平，则可导出下述方程：将等号两边左右对称一下，将用代替，用代替，即为前面两个守恒方程，故现在所得解必定为即小球会从H2高度向下爬行到原来的初始状态的高度处。结论：小球将在H0高度和H2高度之间，沿锥面内壁往返运动。3、如图所示，均匀金属丝绕成正截面圆半径为R，螺距为H的等距螺旋线，两端用质量可略，长为R的杆固定在竖直固定转轴上，转轴与螺旋线中央轴重合。金属丝上穿着一个小球P，金属丝与小球的质量同为m。开始时

27、P在最高点，静止释放后，沿金属丝下滑，金属丝绕轴旋转。设系统处处无摩擦，试求P降落高度h时，受金属丝的合作用力大小N。解：金属丝各处与水平面的夹角同为，参考题解图，有金属丝相对地面参考系的反向旋转角速度记为，小球相对金属丝正向旋转角速度记为，小球相对地面系正向旋转角速度便为。小球相对金属丝水平、竖下方向的速度分别为小球下降高度h时，由转轴方向角动量分量守恒方程得其中是小球相对地面系的两个速度分量。由能量守恒方程得金属丝为P提供水平向心方向的弹力为金属丝为P提供沿“坡面”向上的弹力，其中水平方向分力为P提供水平切向加速度，竖直方向分力与重力合成为P提供竖直向下加速度。后者为参考题解图，有得P受金

28、属丝的合作用力大小为第六讲 质心运动理论知识要点： 1、半径为的环轴以速度沿水平面作纯滚动，完全非弹性地撞上高度为的台阶当环轴“爬”上台阶时（仍作纯滚动），具有多大的速度？当环轴最小速度为多少时，它可以“爬”上台阶而没有滑动？解析：原环轴在水平面上作纯滚动，即环轴完全非弹性地撞上台阶时，使环轴沿半径方向的速度损失，垂直于半径方向的速度为，如图55所示，其中在环轴“爬”上台阶过程中，设环轴与台阶间的平均滑动摩擦力为，经历的时间为，环轴质心的速度由变到，角速度由变到由质心动量定理可得：，由动量矩定理可得：，又环轴“爬”上台阶时仍作纯滚动，即，由上三式可得：，解得：，因此，环轴“爬”上台阶时，具有速

29、度为：在处环轴不发生滑动的情况下，环轴“爬”上台阶的过程，环轴的机械能守恒，即，解得，当环轴“爬”上台阶而没有滑动时，即，此时原环轴有最小速度：2、内外半径几乎同为R、质量为M的匀质圆环，静止地平放在水平桌面上，环内P处有两个质量同为m的静止小球。今以一个恒定的水平力F在P处拉环，F方向线过环心，如图所示。设系统处处无摩擦，且两小球在F开始作用时便因相互之间有微小的间隙而反向地在环内运动。试问：当两小球各自相对圆环转过90°时，小球相对圆环的速度为多大？解：开始时系统质心C的位置如题解图1所示，它与圆心O相距两小球各自相对圆环转过90°时，如题解图2所示，系统质心C位于圆心

30、O处，此时F作用点P相对质心总位移量大小即为l，力F作功量便为设小球相对质心C的左行（逆着F方向）速度大小为，圆环相对质心C的右行（顺着F方向）速度大小为，那么在质心系中有由此可解得故小球相对圆环的速度（与参照系选取无关）为3、如图，在光滑水平面上有质量为M且均匀分布、半径为R的圆环。质量为m（m<M）的质点可在环内壁作无摩擦滑动。开始时，圆环静止，环心在O点，质点位于（O，R）处，速度沿x方向，大小为。（1）试导出质点的运动方程。（2）试求质点运动轨迹转折处的曲率半径。4、质量均为的小球、由长为的轻杆连接，直立于光滑水平面上，如图所示若在下球上作用一水平恒力，使球移动了一段距离，此时杆

31、与水平方向的夹角为，求此时水平面对球的作用力题解128 设在力作用下，经过时间球移动了一段距离，此时杆与水平方向的夹角为，如图1所示并设球的速度为，而球相对球的速度为由功能原理，得（1）体系质心沿水平方向的加速度为（2）此过程中质心沿水平方向的位移为（3）而由图1所示的几何关系，可得到质心沿水平方向的位移为（4）由（2）、（3）、（4）式，得（5）由动量定理可得（6）将（5）式代入（6）式，得（7）将（7）式代入（1）式，便可求得（8）设球受到杆的作用力为，方向沿杆，地面对它的支持力为球的受力情况如图2所示由此，球沿水平方向和竖直方向的运动方程分别为（9）（10）取球为参照系，则球的受力情况如

32、图3所示图中惯性力为球此时的加速度，于是可得球在此参照系中绕作圆周运动的法向运动方程为（11）将（8）、（9）式代入（11）式，可解得（12）将（12）式代入（10）式，即得此时水平面对球的作用力为 点评：本题为轻杆两端连接两小球的体系，这类体系不论作何运动，任意时刻杆对小球的作用力一定为沿杆方向，否则其反作用力作用于轻杆的两端，会使轻杆受力矩作用这与由转动定律得出的对于转动惯量为零的刚体所受合力矩为零的结论是相违背的此外，为球得杆对球作用力，可在球参照系（非惯性系）中讨论球的运动而球相对球的运动速度则可通过在惯性系中运用质心运动定律、功能原理及动量定理等原理求得5、如图，两根长度均为的刚性细

33、杆，一端用质量为m的球形铰链相连，两杆另一端分别安装质量为m和2m的小球。开始时两杆并拢，铰链球朝上，竖直放置在光滑桌面上，从静止释放，下面两球开始向两边滑动，两杆始终保持在同一铅垂面内。设三球一身的大小、轻杆的质量以及各种摩擦均可忽略。试求：（1）铰链球碰桌面时的速度；（2）当两杆夹角时，质量为2m的小球的速度。 6、三个钢球A、B、C由轻质的长为l的硬杆连结，竖立在水平面上，如图所示，已知三球质量mA=2m，mB=mC=m，距杆处有一面竖直墙。因受微小拢动，两杆分别向两边滑动，使B球下降，致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后的速度大小不变，且所有摩擦不计，各球直径都比l小很多，求B

34、落地瞬间三球的速度大小。解：（1）求碰撞前三球的位置视ABC三者为一系统，则AC在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。以图二表示C球刚好要碰撞前三球的位置。以a表示此时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为a，并令BA杆上的M点与系统的质心的水平坐标相同，则应有故得， （1）由上述知M点的水平坐标应与原来三球所在位置的水平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为a，即M点与C球的水平距离为a，由此有即由上式，得，故有 （2）（2）求碰墙前三球的速度由于碰墙前M点的坐标不变，则在AC沿水平面滑动的过程中的任意时刻，由于图中

35、的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的倍，可见任何时刻C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的倍。以分别表示图二中三球的速度，则有 （3）又设沿BC方向的分量为，则由于和分别为杆BC两端的速度，则此两速度沿杆方向的投影应该相等，即再设沿BA方向的分量为，同理可得注意到BA和BC两方向刚好互相垂直，故得的大小为以（2）（3）两式代入上式，得 （4）由于系统由图一状态到图二状态的机械能守恒，有将（1）（2）（3）（4）代入上式，解得 （5）（3）求C球刚碰墙后三球的速度如图三所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之

36、变化，这一变化的结果是：B球速度沿BC方向的分量与C球速度沿CB方向的分量相等，即 （6）由于BC杆只传递沿其杆身方向的力，故B球沿垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为。故得此时B球速度沿BA方向的分量满足 （7）得，刚碰墙后B球速度的大小为 （8）（4）求B求落地时三球的速度大小碰后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后系统质心速度在水平方向的分量应该方向向左，且由于此后系统不受水平外力，则应保持不变，由上解得的三球速度，可得应该满足以（3）（5）（6）（7）代入上式，解得 （9）当B球落地时，ABC三球均在同一水平线上，它们沿水平方

37、向的速度相等，显然，这一速度也就是系统质心速度的水平分量.而B球刚要落地时，AC两球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度则还有竖直分量，以表示此刻B球速度的大小。则由图三所示的状态到B球刚要落地时，系统的机械能守恒，由此有以（9）（8）（5）式代入上式，解得 （10）第七讲 力学综合知识要点： 量纲法解题、参考系转换、碰撞1、深水爆炸结果形成气泡，气泡体积周期性振动，周期与成正比，式中，压强、水密度、爆炸的总能量试求、解析：本题可运用量纲分析法来确定指数、的大小周期的量纲为，压强的量纲为，密度的量纲为，能量的量纲为得，解得即周期2、弦振动频率与弦长、张力以及线密度（弦单位长度质量）

38、有关试求它们之间的关系解析：从物理学角度思考（与摆的振动类比）可知，弦振动频率与其长度、张力和线密度的关系可以看作是如下类型：，式中、为没有量纲的常数应用量纲法来解题，据此、和应该满足等式在CN单位制中，同类项合并得若上式正确，则下列等式成立，由此得于是3、某惯性系中质量各为m，M的质点A，B，开始时相距l0，A静止，B具有沿A，B连线延伸方向速度v0。为抵消B受A的万有引力，可如图所示对B施加一个与v0同方向的变力F，使B从作匀速直线运动。（1）试求A，B间距可达到的最大值。（2）计算从开始时刻到A，B间达最大的过程中，变力F所作总功W。（3）直接（不用分析和证明）回答下述问题：在原惯性系中

39、，A受B的万有引力作为单独的一个力来考察，是否为保守力？在哪一个参考系中，此力为保守力？在原惯性系中，A，B间一对万有引力，是否为一对保守性的作用力、反作用力？在哪些参考系中这一对万有引力是一对保守性的作用力、反作用力？解：（1）、（2）方法1：只用能量定理，换参考系（1）在原惯性系中变力F作功W等于系统机械能增量，其中的势能变化与有关，一个方程包含W和两个未知量，不好求解。改取随B运动的惯性系，此参考系中变力F作功为零，机械能守恒，即得（2）在原惯性系中由机械能定理，得讨论：因只能取正，上述结果适用于如果则在随B运动的惯性系中，系统机械能A未达无穷远前速度不可能降到零，故上述关于所满足的机械

40、能方程失效。此时必有在该参考系，A，B相距无穷远时A速度大小可由算得在原惯性系中，A的速度大小为，B的速度大小仍为，于是F作功为方法2：能量定理、动量定理联合应用，不换参考系原惯性系：功能方程为冲量、动量方程为代入前两式，即得同时也已得讨论同前。（3）在原惯性系中，A受B的万有引力作为单独的一个力来考察，（因为力心B为动点）不是保守力；在随B一起平动的惯性系中，此力为保守力。在原惯性系中，A，B间一对万有引力是一对保守性的作用力、反作用力；在任何一个参考系（包括惯性系与非惯性系）中，这一对万有引力都是一对保守性的作用力、反作用力。4、质量为的粒子以速度运动，与质量为的静止粒子碰撞，求第一个粒子

41、在碰撞后运动方向的最大偏角（图422）碰撞是完全弹性的解析：选取与两个粒子质心相连的参照系I，质心速度等于在参照系I里，第一个粒子的初始动量为当弹性碰撞时，在参照系I里系统的动量和动能守恒（图423），即，即，因此，碰撞后在参照系I里第一个粒子速度的大小保持不变：矢量方向可以是任意的（图424）在取与地相连的静止参照系里，第一个粒子在碰撞后速度等于在矢量大小恒定情况下，在垂直矢量条件下，矢量偏离最大角度，这是从矢量起点向矢量终点形成圆周所作切线方向（图425）当时，形成最大偏角如果，那么当时，角可以为任意值5、在光滑水平面上，有两个质量均为的小球、用劲度系数为的轻弹簧相连，弹簧的自然长度为开始

42、两球静止，弹簧无形变，一质量也为的小铅粒以垂直于两球连线方向的水平速度，射入其中一小球，并留在其内，如图所示已知在以后运动过程中，弹簧的最大长度为，试求铅粒射入小球前的速度题解137 自铅粒射入小球，并留在其内后，弹簧开始以的初角速度绕质心旋转，同时两小球沿弹簧方向相对质心作振动，而体系的质心则始终作匀速直线运动设当弹簧长度为时，、球与质心之间的距离分别为则有（1）（2）由（1）、（2）式，可解得可见当弹簧处于原长和长度变为时，、球与质心的距离分别为在铅数射入小球前后，体系相对该时质心所在空间点角动量守恒，于是可得（3）由（3）式可得（4）取质心为参照系，在质心系中体系相对质心的角动量守恒，且

43、机械能守恒，设当弹簧长度达最大的时，其转动角速度为，故分别为（5）（6）联立（4）、（5）、（6）式，即可解得点评：本题是在质心系中讨论体系角动量守恒和机械能守恒的问题，由于体系的质心始终作匀速直线运动因此质心系是惯性系，由力学相对性原理可知，其力学规律与任何惯性系中的规律相同然而，质心系是个特殊的参照系，即使质心系是个非惯性系，在运用功能原理和角动量定理等求解问题时，可不必计入惯性力的作用，即与一般惯性系等同6、一根光滑的细杆被弯成如图所示的形状，并被固定在竖直平面内，形状曲线方程为为正的常数）杆上套有一质量为的小环（1）若小环从杆上处由静止释放，求运动到处时对杆的作用力；（2）若杆绕轴转动

44、的角速度转动，则为多大时，环在杆上任何位置均能相对杆静止？（3）若杆绕轴转动的角速度取（2）中值的倍，即，则小环从杆上处由相对杆静止释放，当小环运动到处时对杆的作用力又为多大？题解115 （1）由弯杆形状方程可得，小环在时的值分别为小环从处由静止释放，当到达处时的速度设为，则由机械能守恒定律，得（1）以下求处杆的曲率半径方法I：把杆的形状曲线与平抛运动的抛物线轨迹作类比即从点以初速（沿方向）抛出一物体，此物的重力加速度的方向取为沿方向，则此物的运动方程为（2）、（3）式中消去，可得（4）（4）式与弯杆形状方程相类比，可得（5）在处，将（5）式代入得故此时可见，此处轨道切线与轴夹角，故此处法向加

45、速度由此可求得此处曲率半径为方法II，用公式求解将此两式代入公式，可得当小环运动到处由图2所示的小环受力情况，可得其法向运动方程为（6）将（1）式代入（6）式，即可解出（2）在随杆一起旋转的转动参照系中相对杆不动的环受力情况如图所示故有（7）其中轨道切线的斜率（8）将（8）式代入（7）式，得即弯杆只需以的角速度绕轴转动，则小环在杆上任何位置均可相对杆静止（3）若，在随杆转动的参照系中，小环从处滑至处的过程中，重力所作的功为此外，惯性离心力所作的功，可与弹性力类比，于是可得，其功为由动能定理可得即（9）在处，小环除受重力、惯性离心力和支持力以外，由于小环沿杆方向有速度，故还受到科里奥利力的作用此

46、力方向为的方向，即垂直于纸面向里（在图4中未标出）而杆对小环的支持力应有两个方向的分力，即（10）其中在纸面内，其值由小环在纸面内的法向运动方程确定，（11）将（9）式及代入（11）式，得 （12）而（10）式中的与科里奥利力等值反向，即方向垂直于纸面向外，其值为 （13）由（12）、（13）式，可得杆对小环支持力的值，此值也是小环对杆的作用力的值，点评：在转动参照系里，小环除受重力、惯性离心力和支持力外，由于它有速度，还将受到科里奥利力的作用，此力可表示为科里奥利力很易被遗漏，且应注意此力的方向是既垂直于，也垂直于，即垂直于此两矢量构成的平面（纸面），由于小环在此方向上无运动，故科里奥利力被

47、支持力的分力所平衡，而支持力的另一分力在纸面内只需求得的值根据勾股定律，即可求得的合力的值碰撞典型的力学综合问题练习题：1、在光滑水平桌面上沿着一条直线放有三个小球，它们的质量分别为、和，质量为的球飞向质量为的球，它们之间发生完全弹性正碰撞求当之比为多少时在此系统里正好还要发生一次碰撞解析：球与球碰撞后，球向前与球发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒、能量守恒，设球与球碰撞前速度为，碰后速度为；球碰后速度为，有，解得，可见，球与球碰后速度反向若要满足题给条件，球与球碰后速度也必须反向，且，设球与球碰后速度为，则必有，由球与球发生弹性碰撞过程中动量守恒、能量守恒，即，式中为球碰前的速度解得，由上述条件

48、，得，故：，即由此条件下此系统只发生二次碰撞2、3、光滑水平桌上有质量为的球，质量为的劈（角在前）以速度m/s运动，与球发生弹性碰撞（如图）求经过多少时间，球又将与劈碰撞劈的倾角解析：由于没有摩擦，所以球与劈碰撞时劈对球的作用力垂直于劈面，使球具有的速度与竖直线成角（图530）求碰撞后球速和劈速，为此列出在水平轴上机械能守恒式和动量守恒式：，由式变形得到将式代入式，得到球速再利用式，求出求球相对劈的速度当时，速度，即球相对劈竖直向上运动，所求时间因为，所以s竞赛试题：1（24届决赛第1题）、（22分）A、B、C三个刚性小球静止在光滑的水平面上。它们的质量皆为m，用不可伸长的长度皆为的柔软轻线相

49、连，AB的延长线与BC的夹角，如图所示。在此平面内取正交坐标系Oxy，原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方向如图。另一质量也是m的刚性小球D位于y轴上，沿y轴负方向以速度（如图）与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短，设刚碰完后，连接A，B，C的连线都立即断了。求碰后经多少时间，D球距A，B，C三球组成的系统的质心最近。解答1分析刚碰后各球速度的方向由于D与B球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度方向仍在y轴上；设其方向沿y轴正方向，大小为v 由于线不可伸长，所以在D ，B两球相碰的过程中，A ，C两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A ，C两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向用表示B球的速度方向与x轴的夹角，则各球速度方向将如图所示因为此时连接A ，B ，C三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动2研究碰撞后各球速度的大小以v1 ，v2 ，v3 分别表示刚碰后A ，B ，C三球速度的大小，如图所示因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x方向有mv1mv3 cos + mv2 cos = 0 ； （1）沿y方向有mv0 = mv mv2 sin mv3 sin （2）根据能量守恒有 mv = mv + mv + mv + mv2 （3）因为碰撞过程中线不