概率论与数理统计 4.1 随机变量序列的两种收敛性_第1页
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文档简介

1、1一一. 依概率收敛依概率收敛 定义定义 设设Xn为随机变量序列为随机变量序列, , X 为一随机变量，若任为一随机变量，若任给给 0, 使得使得lim|0 (1)nnPXX 则称则称Xn依概率收敛于依概率收敛于X. . 可记为可记为.PnXX 4.1 随机变量序列的两种收敛性随机变量序列的两种收敛性注注 （1）式等价于）式等价于lim|1 (2)nnPXX 特别地，若特别地，若 ，则称，则称Xn依概率收敛于依概率收敛于常数常数c.即即1 P Xc c.PnX 二二. 按分布收敛、弱收敛按分布收敛、弱收敛 定义定义 设随机变量设随机变量X1，X2， ， Xn 的分布函数分别为的分布函数分别为

2、, , 若对随机变量若对随机变量X X的分布函数的分布函数 的任意连的任意连续点续点x x , , 都有都有1( ),Fx2( ),( ),nFxFx( )F xlim( )( )nnFxF x 则称则称 弱收敛于弱收敛于 . . 记为记为( )nFx( )F x()().wnFxFx 也称也称Xn按分布收敛于按分布收敛于X. . 记为记为X .LnX 定理定理1 1 如果如果 ，则必有，则必有 cPnX X .LnX 注意，此定理的逆命题不成立注意，此定理的逆命题不成立. .例例1 设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为111 , 122P XP X 令令 ，则，则 同分布，同分布，nX

3、X 与nXX与nXX即即 有相同的分布有相同的分布函数，故函数，故X .LnX 但对给定的但对给定的 ，有，有0=1 0|11 2 |1|102nnPXXPXXPXPX 这说明这说明Xn不能依概率收敛于不能依概率收敛于X. 定理定理2 2 如果如果c c 为常数，则为常数，则 等价于等价于 .LnXc PnXc 设设Xn 的分布函数分别为的分布函数分别为 ( ) (1,2,)，nFxn 又已知又已知X= c的分布函数为的分布函数为0 ( )=1, ，xcF xxc 则则在在F(x)的连续点的连续点 x 处，总有处，总有lim( ) =( )nnFxF x 对任意给定的对任意给定的 ，有，有0 |nnnPXcP XcP Xc 证明证明 必要性定理必要性定理1已证，下证已证，下证充分性充分性 (已知已知 ） .LnXc | 2nnnnnPXcP XcP XcP X

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