CH连续型随机变量及其概率密PPT课件

1、 3 3 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布返回主目录第1页/共55页一一. .连续型随机变量的概念与性质连续型随机变量的概念与性质 3 连续型随机变量的概率密度定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意 实数 x，有则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度.xdttfxF,)()(连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定返回主目录第2页/共55页 3 连续型随机变量的概率密度 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：. 0

2、)(10 xf. 1)(20dxxff (x)0 x1返回主目录第3页/共55页)( .)()()(3211221021xxdxxfxFxFxXxPxxf (x)x01x2x).()()(40 xfxFxxf处连续，则有在点若 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第4页/共55页注注 意意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！我们不能认为： ！afaXP 3 连续型随机变量的概率密度，对任意的实数是连续型随机变量，则设aX0 aXP有连续型随机变量的一个重要特点返回主目录第5页/共55页 3 连续型随机变量的概率密度证明： 所以有aXP0

3、 aXP0 aanndxxf1lim返回主目录aXnaPn1lim第6页/共55页说说 明明由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 3 连续型随机变量的概率密度 ，的密度函数为若已知连续型随机变量xfX取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX GdxxfGXP返回主目录第7页/共55页例例 1 1设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 其它020242xxxcxf解： 由密度函数的性质；求：常数 c1XP 1dxxf 3 连续型随机变量的概

4、率密度返回主目录第8页/共55页例例 1（续）（续） dxxf1得20224dxxxc2032322xxcc3883c所以， 11dxxfXP 221dxxfdxxf 2200dxxfdxxfdxxf 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第9页/共55页例例 1（续）（续）2122483dxxx213232283xx21 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第10页/共55页例例 2某电子元件的寿命（单位：小时）是以 10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.解： 设：A= 某元件在使用的前 150

5、 小时内需要更换 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第11页/共55页例例 2（续）（续） 150XPAP则检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验 B= 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时 150dxxf1501002100dxx31 32253231 CBP则24380 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第12页/共55页 3 连续型随机变量的概率密度的分布函数为设连续型随机变量 X xarctgxxF121的密度函数试求 X ，则的密度函数为设xfX xFxfxx2111例3返回主目录第13页/共55页例例 4的密度函数为设随机变量

6、X 其它021210 xxxxxf的分布函数试求 X xdttfxFx时，当00 xdttfxFx时，当10 xdttfdttf00 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第14页/共55页例例 4（续）（续）xtdt022x xdttfxFx时，当21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212xx 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第15页/共55页例例 4（续）（续） xdttfxFx时，当2 xdttfdttfdttfdttf22110021102dtttdt1 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第16页/共55页例例 4（续）（续）的分布函数量综上所

7、述，可得随机变X xxxxxxxxF21211221020022 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第17页/共55页二二. .一些常用的连续型随机变量一些常用的连续型随机变量 3 连续型随机变量的概率密度1均 匀 分 布若随机变量 X 的密度函数为 其它01bxaabxf上的均匀分布，服从区间则称随机变量baX记作 X U a , b返回主目录第18页/共55页密度函数的验密度函数的验证证 则有：是其密度函数，上的均匀分布，区间设xfbaX ；，有对任意的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxfbadxab11 确是密度函数其它01bxaabxf由此可知， 3 连续型随机变量

8、的概率密度返回主目录第19页/共55页说说 明明类似地，我们可以定义上的均匀分布；，区间ba 3 3 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度返回主目录上的均匀分布；，区间ba上的均匀分布，区间ba第20页/共55页均匀分布的概率背均匀分布的概率背景景该子区间的位置无关间的长度成正比，而与取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量baXbaX上取值是等可能的，在区间量这时，可以认为随机变baX 3 连续型随机变量的概率密度XXabxll0lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc返回主目录第21页/共55页均匀分布的分布函数

9、xbbxaabaxaxxF10 3 连续型随机变量的概率密度abxF (x)01返回主目录的分布函数为则上的均匀分布，服从区间若随机变量XbaX第22页/共55页例例 5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率解： 设该乘客于7时X分到达此站 3 连续型随机变量的概率密度其密度函数为 其它0300301xxf返回主目录上的均匀分布，服从区间则300X第23页/共55页例例 5（续）（续）令：B= 候车时间不超过5分钟 30251510XPXPBP则30251510301301dxdx3

10、1 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第24页/共55页例例 6上的均匀分布，服从区间设随机变量63试求方程02442xx有实根的概率的密度函数为随机变量 其它06391xxf 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第25页/共55页例例 6（续）（续）有实根方程设：02442xxA 024442PAP则021P21或P62139191dxdx949232 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第26页/共55页2指指 数数 分分 布布如果随机变量 X 的密度函数为 000 xxexfx的指数分布参数为服从为常数，则称随机变量其中0 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第27页/共55页

11、密度函数的验证密度函数的验证 是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设xfX ；，有对任意的0 xfx 00dxxfdxxfdxxf0dxex1由此可知，0 xe 确是一密度函数000 xxexfx 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第28页/共55页指数分布的分布函数指数分布的分布函数的分布函数为则指数分布，服从参数若随机变量XX 0100 xexxFx 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第29页/共55页例例 7分钟之间的概率钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电如果某人刚为参数的指数随机变量以（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时2010101X的密度函数为X 0001011

12、0 xxexfx 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第30页/共55页例例 7（续）（续） 2010XPBP则令：B= 等待时间为1020分钟 201010101dxex201010101xe21ee2325. 0 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第31页/共55页3 3正 态 分 布的密度函数为如果连续型随机变量 X正态分布记作的，服从，参数为则称随机变量2X xexfx22221 3 连续型随机变量的概率密度xf (x)0，为参数，其中02，NX第32页/共55页标准正态分布为标准正态分布，我们称，若1010N数为标准正态分布的密度函 xexx2221 3 连续型随机变量的概率密

13、度返回主目录第33页/共55页密度函数的验密度函数的验证证 是其密度函数，则有：，设xfNX2 xexfx021222 3 连续型随机变量的概率密度下面验证： 121222dxedxxfx返回主目录第34页/共55页密度函数的验证密度函数的验证( (续续) )下面验证： 121222dxedxxfx首先验证： 12122dxedxxx222dxex或验证： 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第35页/共55页密度函数的验证密度函数的验证( (续续) )dyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxeyx 222 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录为此，我们只需

14、证明：第36页/共55页密度函数的验证密度函数的验证( (续续) )02202222rdreddxerx0222re2222dxex因此， 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录则有，作极坐标变换：sincosryrx第37页/共55页密度函数的验证密度函数的验证( (续续) )下面验证：121222dxexdxedxexx2222122121则有1dueu2221 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录dxduxu则，作变换：第38页/共55页密度函数的验证密度函数的验证( (续续) )综上所述， xexfx22221 是一个密度函数确本条件，因此满足密度函数的两项基xf 3 连续型随机变量

15、的概率密度返回主目录第39页/共55页正态分布密度函数的图形性质正态分布密度函数的图形性质 我们有：由高等数学中的知识，数对于正态分布的密度函xexfx22221hXPXhPhx，有这表明：对于任意的对称，曲线关于直线0 3 连续型随机变量的概率密度xf (x)0hh第40页/共55页正态分布密度函数的图形性质正态分布密度函数的图形性质（续）（续） 越小落在该区间中的概率就变量越远时，随机间离同样长度的区间，当区对于的值就越小这表明，越远，离取到最大值时，当Xxfxfxfx21 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第41页/共55页正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（

16、续） 轴为渐近线以曲线处有拐点；在曲线Oxxfyxxfy 确定所图形的位置完全由参数因此其形状轴平行移动，但不改变图形沿的的值，则固定，而改变若xfyxxf 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第42页/共55页正态分布密度函数的图形性质（续） 的取值越分散形越平坦，这表明的图越大时，当附近的概率越大；反之落在图形越陡，因而越小时，可知，当的最大值为的值，由于固定，而改变若XxfyXxfyfxf21 3 连续型随机变量的概率密度xf (x)01返回主目录第43页/共55页正态分布的重要性正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常

17、见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 3 连续型随机变量的概率密度正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布返回主目录第44页/共55页标准正态分布的计标准正态分布的计算算，则其密度函数为，如果随机变量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221其分布函数为表，页列出了标准正态分布教科书上第 371 3 连续型随机变量的概率密度返回主目录第45页/共55页标准正态分布的计算（续）标准正态分布

18、的计算（续），我们可由公式如果0 x xXPxx 我们可直接查表求出对于0 xtxdtedttx2221 3 连续型随机变量的概率密度x0)(xx-x，得，作变换dudtutxuduex2221xudue2221xudue22211 x1第46页/共55页一般正态分布的计一般正态分布的计算算)1, 0(2NXYNX，则，设 yXPyYPyFYytdte22221，代入上式，得，则作变换dtdutu yuYdueyF2221 y 3 连续型随机变量的概率密度yXP)(xXPxFX)(xxXP第47页/共55页一般正态分布的计算（续）一般正态分布的计算（续） 函数是标准正态分布的分布其中，x 3 连续型随机变量的概率密度).()-b(bX Pa ,aba有故对任意的)(xXPxFX)(xxXP返回主目录第48页/共55页例 8 8；，试求：，设随机变量2121