两角和差正余弦公式的证明

1、两角和差正余弦公式的证明之邯郸勺丸创作两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。由角也,刃的三角函数值暗示 °±力的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换 言之,要推导两角和差的正余弦公式,就是希望能得到一个等式或方程,将曲比5 或血±闻 与a,尸的三角函数联系起来。根据诱导公式，由角日的三角函数可以得到 V的三角函数。 因此，由和角公式容易得到对应的a) =cosa差角公式,也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 2,即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此，只要

2、解决这组公式中的一个 ，其余的公式将很容易得到。(一)在单位圆的框架下推导和差角余弦公式注意到单位圆比较容易暗示圧,尸和口士P,而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值暗示,因此,我们可以用单位圆来构造联系Ka宜Q与比,戸的三角函数值的等式。1.和角余弦公式(方法1)如图所示,在直角坐标系 呦"中作单位圆° ,并作角比,尸和一，使角比的始边为 ,交° °于点A,终边交叱于点B;角始边为创,终边交口 °于点C;角一Q始边为血,终 边交D °于点。从而点A, B, C和D的坐标分别为如叭£(cosa) C(cns(A41-

3、 fff)由两点间距离公式得AC1 = (cns(a+/r)= 2-2cns(a + Z?>5D3 工(eoK/J-cosfl"!(-鈕鈕任)"二2-S(cos(zaK/?血伍品。注意到AC=BD,因此 冋在*Q muss戸suKTsm尸。注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段,从而得到我们所要的等式。注意 ,公式中的C和Q为任意角。2.差角余弦公式仍然在单位圆的框架下，用平面内两点间距离公式;的三角等式。这就是和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望（方法2）如图所示,在坐标系呦中作单位圆° ,并作角

4、"和&，使角°和Q的始边均为金,交口°于点c,角尬终边殳DO于点A,角*终边殳口°于点。从而点A, B的坐标为(casasiiia)fi), 。由两点间距离公式得AB2 =(cos<E-cosJJ)3 4-(on a-an/93 = 2-2(cnsczcas+sinasn)。由余弦定理得=Of OS2 -20fDBcMZJOB二4 OSP 一(任一历= 22cxflfi)。口右士 GOS(此gds<Zcds#sinaGllQ从而有。注记：方法2中用到了余弦定理,它依赖于厶°8是三角形的内角。 因此,还需要弥补讨论角比和/的终

5、边共线,以及厶伽大于招的情形。容易验证,公式在以上情形中依然成立。在上边的证明中,用余弦定理计算曲 的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。1/i)>111 O'sltl（方法3）如图所示，托"为的M边上的高,皿为处边上的高。设曲一白N血巳/叫"则。从而有yl£ = &cas(Z C£ = irsin aBE=CEaA #=sL&acflt“,还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式1.和角正弦公式（一）除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式的正弦公式。呱(k (ros

6、 a, %m a )由向以鉉城积的定文.有(k ()fi-=oA ofi c<>b( a t1) 由向ht数常积的坐标表示.有(ZA * ( (cos a. si n a> * (cos sincos ocoh 0+sdn asin R因此 AH Al£ TJA 一 /jfgs a i sin crml /)注意到河和 A"siri（tr I旳 片石n仃4乂#石!1（厲I /D从而有. （口 征+m ast氐 一 an 口 mcQ 宝O整理可得 .石"0 9/0 石声 "grrsin/f。注记：在方法3中，用事：和与底角",丿

7、"相关的三角函数，从两个角度来暗示*：边上高代訂,从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的，对基于直角或锐角三角形的,证明过程类似。利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式 ，可以得到下面的厶0盘=0 ZDCB=fl，则。（方法4）如图所示,M为氐吸7的M边上的高，皿为"边上的高。设-aAE AD注意到儿心：1 2M，则有济R"，即。on(a+>?)= =竺乞勾些AERD严QM)ADE( RD占E从而有'.利用正弦定理和射影定理，将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法 3,4所用的图形框架是相同的。（方

8、法5）如图所示,切为MJC的曲边上的高。设ZGdjJ= <L , CRA = fl ,则有ZJGff =ff-（a+Z?）,。由正弦定理可得AC SC AB an fl ana其中d为人4AC的外接圆直径。由 Alf jdUcLKjcr I T?C uk/J 得(！血(口 F Q tiin/l_Lios(r F t/jduccLujs 胃从而有sn(a A-fi)=snacDsJJ+cossn p- o2.和角正弦公式（二）方法3,4和5利用的图形框架是将角口，*F放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角，将会有下面的几种证法（方法611）oZdiff = fi 则

9、= a ZCSff 二戸fiAJ改：的外接圆直径为d, 则有坟0 二 R£cos# = £fsiiiac»s尸 CK = dsn fl CD = CEcds2= dsan ficasa,oRE=dma（方法6）如图所示，作恋丄必于D,交 '细U外接圆于E,连肚和&匹。设山也-口crnl . BC = BB +CD =rf(sncrcns/t+ciisrrsm/5所以有。注意到叱 卫品9 '旳,从而品Q 的品Gg" 1口眉"品川。=施an 在 + tan 戶)（方法7）如图所示,劲为MSC的血边上的高,CE为曲边上的高。设

10、ZACE=a 。心二0则厶他二云尸。设CE = A,则AE = ftt;maM = Ai3n/JBC = hsmfi55JJ = jdSsmj4=jUcos<i = 'MMllCE+tal/s£I。又RD SC:inftf I /O A沁小诚盘I般从而(knee I Lu /i) cos a - six/sin(ix J 国整理可得 皿（口 "旳叫五"。ZA(心a,mg=p,则ZAOff=a+j?设创三r,从而（方法8）如图所示，作ED丄*于d,过d作°F丄血于f, I皿于G。设所以皿酿'也贡钉W I迪阳辽。注意到皿厂现Z，则有注记

11、：我们用两种分歧的方法计算卅冋，得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方法来计算OF OD casa：cns fleas H从而有倔二加一册二一血励。注意到O£： = rcos(a+fi),从而可得,从而构造出我们所方法6,7和8都是用角/ ,"的三角函数从两个角度暗示图形中的同一线段(方法9 )如图所示，设切为的血边上的高。设ZC45征，直 sca,从而有,4D = bca BD = acosj3因此S二 ABC = -ajx +民应又因为 从而可得= (sino； cos /?+ cos0(sin p)Sac=ACCmZACB = -aba + /3) 2sin(z +

12、呵=sin er cos + cos Of sin Q方法9利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所分歧。AR d cos P BC dsin flCD - sin a : DA -dees aBD = dsin(a-由托勒密定理知ACLBDABJCD +.4DZBC艮卩dTdsin(ac-r>ff) = dcoscos aCiisinp整理即得sin (or + Q 二 sin tr cos P 4-cosct sin P（方法10）如图所示，设水；为“取;的外接圆直径d,长度为d。设八二° ,山虬“ 则',从而45 = d CO5 y? 5C = i/

13、sioCD = sin a . DA = A cos aED =必 in(o 40)由托勒密定理知ACD = ABJCD H-.WZ0C艮卩dTd sin(o: += </cos sin tz + cos <zZif sin /?整理即得si n(cr + /?) = sin(X cos /?十匸o与 a sin 0注记：这一证明用到了托勒密定理：若山和盈O是圆内接四边形的对角线，则有JU/ sn(E-l- fi) = dcns（方法11）如图所示，C°为山此的M边上的高。设厶切二a ,mCD",则ZACB=flo 设切=h,则= AD 十 BD =拭tan t

14、z 十 tan由正弦定理可得屈且C _ £Csin(ct4-p) sinZf sin A即从而即 整理即得AB _ AC _ BC sin(ct + p) cos P cos(2!MB 二 AC + RC51tl(C< + P) COS /?+COS£Tct 卡 tan p) _ ft(seca+secj5)+/7) cosy?+ cos asi n(cr 十历二 Nn <z cos /? + c-os ttsin /?方法10和11将某一线段作为基本量，利用与角疔,"相关的三角函数暗示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理）,构

15、造出我们希望的等式关系。3.差角正弦公式仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法12和13即是用这种想法ZACB=-（方法12）如图所示,从而有2。设小，山叱匕记叩办，作m期于E,CD = 6 sin >5 DE = frsin(a-/7)DA DE sec ar = £?sintf-/J)seca因此有AC - CD + DA =共sin fi 4sec a)往意到BCp AC retail a hcos yStan a从面sin /?十sin(tz-Q 5氓 tz = cos/? tan a整理可得一 0) = sin(xcos cos at sin/

16、5（方法13）如图所示，为'W的外接圆直径，长度为d。设8D " ,一甘,则。从而£CBD = p ZCAB =flAD - d cos a BD = Jsin aBC = dsin(a-j3) AC =dcos(a ff)DE =£Dtan = £/cos iz tan 0BE = 5Csec/3 = ifsin(a-/7)se/3所以ED = BE 4- DE = d (sin(£t /?) sec /? + cos £t tan /7)sin a =$in(flf-/5sec /?+ cosflftan 0整理可得sin

17、(tr 闻=$ in crcos Q cos a sin 0廿是方法12和13的基本思路仍然是用两种分歧方法计算同一线段，借此来构造等式关系。很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。 换言之，这两种方法中出现的角任意角。而其余方法中，角/和"则有一定的限制，它们都是三角形的内角 （甚至都是锐角）。因此313,我们需要将我们的结果推广到角口和:意成立，则对任意角也成立。是任意角的情形。 具体而言，我们要证明：如容易验证，角处和Z7中至少有一个是轴上角（即终边在坐标轴上的角）,我们的公式是成立的。F面证明，角"和占都是象限角（即终边在坐标系的某一象限中的角）时，我们的公

18、式也成立。无妨殳柑为第二象限角，°为第三象限角，从而有tz = 2m + -+af. 0< c兰2.2 meZ：0 = 0 +v压以卫忙2#31因此有sinorcos a =510sin = -sin二一mg戸】从而sin（x-i-声）=5in（2）«jr 十一 +mj +（2”+ 1疋A）23=sin（2jn +2科+）弦 + （务=g或两十01）coscos + sin 务 sin=eas tyj-cos 卩）+ （- sin 缓J（- sin 禹）«cIc=smcr cos p + cos ct sin p同理可证，公式对于象限角 乩和"的其它组合方式都成立。因此，我们可以将方法313