CH小波变换导引PPT课件

1、CH12 CH12 小波变换导引小波变换导引第1页/共52页内容l 小波变换动机l Harr小波变换l Harr基函数l Harr小波函数l Harr小波变换第2页/共52页引言傅里叶变换应用非常广泛的原因可能是:直观性数学上的完美性计算上的有效性仍有局限性：在整个时间轴上积分,表示了信号的全局特征(变换后,时间是亚元)如果需要分析信号的局部信号怎么办?乐谱油田勘探时频变换第3页/共52页时频展开希望定义一种工具能帮助计算信号x(t)的瞬时傅里叶变换，记为X(,F)如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函数，该基函数必须包括两个基本变量时间和频率F第4页/共52页时频展开主要内容短时傅里叶变换S

2、TFTGabor变换GT连续小波变换CWT小波变换WT第5页/共52页短时傅里叶变换STFT确定信号局部频率特性的比较简单的方法是在时刻附近对信号加窗，然后计算傅里叶变换。X(,F)=STFTx(t)=FTx(t)w(t- )其中，w(t-)是一个以时刻为中心的窗函数，注意信号x(t)中的时间t和X(,F)中的。第6页/共52页窗函数w根据进行了时移，扩展傅里叶变换表达式2( ,)( ) ()jFtXFx t w tedt短时傅里叶变换操作示意第7页/共52页Gabor变换引言STFT将一个连续时间变量t的信号x(t)变换为有两个连续时间变量的X(,F)意味着STFT包含了很多的冗余信息将频率

3、F离散化，F=Kf0将时间离散化，在=mT0采样Gabor变换：变换：Xm,k=X(mT0,kF0)第8页/共52页Gabor变换通过Gabor变换，信号x(t)被展开为：0,2,0( ) , ( )( )()m km kjkF tm kx tX m k etetw tmT e其中：Gabor变换公式：0_20 , ( )()jkF tX m kx t w tmT edt第9页/共52页问题实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反：给定一个信号，希望能够在时域和频域上定位信号发生的事件，因此时间和频率F都是不确定的，即按上述的分析不可行（结果不确定或有误差）分析中，分辨率的损失是由于窗函数w(t

4、)的时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的；信号不能同时在时域和频域准确定位测不准定理测不准定理第10页/共52页l 小波变换是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模式识别等。l 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类是非常有用的。l 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系数来刻画。小波变换数学显微镜数学显微镜第11页/共52页基本小波基本小波l也称为小波母函数l定义如下：22R)( ),)|)|)ttL Rwwd

5、wwt 令 （ 为一平方可积函数，即 （如其傅里叶变换 （满足条件：（则称 （ 是小波。紧支性紧支性:在有限区域内迅速衰减到在有限区域内迅速衰减到0容许性条件容许性条件第12页/共52页小波的特点小波的特点l具有有限的持续时间、突变的频率和振幅l波形可以是不规则的，也可以是不对称的l在整个时间范围里的幅度平均值为零l比较正弦波第13页/共52页部分小波波形第14页/共52页小波基函数小波基函数12,)(),0,),aatttaaRata将小波母函数 （ 进行伸缩和平移，令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为 ，则：（则称（ 是依赖参数的小波基函数。将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换

6、将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换第15页/共52页缩放缩放(scaled)(scaled)的概念的概念l示例：正弦波的Scaled算法第16页/共52页l示例：小波的缩放第17页/共52页平移平移(translation)(translation)的概念的概念第18页/共52页Haar小波变换l 小波有很多种，其中Harr小波是小波系列中最简单的一种 Harr基函数 Harr小波函数 Harr小波变换第19页/共52页Harr基函数l 基函数 是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号；l Harr基函数 1990年提出，由一组分段常值函数组成的函数集 函数集定义在0,1），

7、分段常值在一定的范围内是1，其他为0第20页/共52页021000000如果一图象仅含有个像素，该图象在整个0,1）上就是一个常值函数（(x)）,用V 表示这个常值函数生成的矢量空间，即：1 0 x1V ：(x)=0 其他第21页/共52页1220111110111如果一图象仅含有个像素，该图象在整个0,1）上就是2个等间距的子区间0,1/2)和1/2,1),每个区间都有一个常值函数，记作：(x)和(x),用V 表示这2个区间的常值函数生成的矢量空间，即：1 0 x1/21 1/2x1V：(x)= (x)=0 其他0 其他第22页/共52页2224j01222230222212如果一图象仅含有

8、个像素，该图象在0,1）上就是4个等间距的子区间0,1/4),1/4,1/2),1/2,3/4)和3/4,1),每个区间都有一个常值函数，记作：(x)，(x)，(x)，(x),用V 表示这4个区间的常值函数生成的矢量空间，即：1 0 x1/41 1/4x1/2V ：(x)= (x)=0 其他23220 其他1 1/2x3/41 3/4x1 (x)= (x)=0 其他0 其他第23页/共52页jjjijjjijixHarrxxHarrxxiijspxj我们可以按照上述的方法继续定义基函数和由他们生成的矢量空间。即：为了表示矢量空间中的矢量，每个矢量空间V 都需要一个基，为生成矢量空间V 而定义的

9、基函数叫做尺度函数，这种函数用( )来表示。基函数定义为：1 01( )=0 其他则尺度函数( )= (2)其中： 为平移参数， 是尺度因子,空间V 定义为：V( )第24页/共52页10121.jjjjjjj基于上面关于基和矢量空间的定义，我们就可以把2个像素组成的一维图象看成是矢量空间V 中的一个矢量，由于这些矢量都是在0,1)上定义的函数，所以在V 矢量空间中的每个矢量都被包含在V矢量空间中，即V 是嵌套的，即：VVVVV第25页/共52页Harr小波函数)1 01/ 2)1 1/210 )jijijjixHaarxxxHaarxxxi 小波函数通常用(表示，与框函数对应的小波称为小波函

10、数，定义如下：(其他小波尺度函数( 定义为：(21 0 x1(x)=0 其 他第26页/共52页001 01/ 2)1 1/210 WHaarxxx 0生成矢量空间的小波：(其他第27页/共52页10111 01/ 4)1 1/41/ 20 1 1/23/ 4)1 3/410 WHaarxxxxxx 1生成矢量空间的小波：(其他(其他第28页/共52页2201221 01/81 2/83/8)1 1/81/ 4 )1 3/84/80 0 1 4/85/8)1 5/86WHaarxxxxxxxxx 2生成矢量空间的小波：(其他其他(231 6/87/8/8 )1 7/810 0 xxx (其他其

11、他第29页/共52页Harr小波变换l 小波变换有很多种，其中Harr小波是小波系列中最简单的一种第30页/共52页哈尔变换原理哈尔变换原理l假设两个信号的数值分别为a和b，计算它们的和与差s=a+bd=a-bl从s和d重新求得a和ba=(s+d)/2b=(s-d)/2第31页/共52页哈尔变换举例哈尔变换举例【例】假设有一幅分辨率只有4个像素 的一维图像，对应的像素值或者叫做图像位置的系数分别为： 9 7 3 5计算它的哈尔小波变换系数步骤1：求均值(averaging)。计算相邻像素对的平均值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目变成了2个，即新的图像的分辨率是原来的1/2，相应的像

12、素值为：8 4第32页/共52页步骤2：求差值(differencing)用2个像素表示这幅图像时，图像的信息已经部分丢失。为了能够从由2个像素组成的图像重构出由4个像素组成的原始图像，就需要存储一些图像的细节系数(detail coefficient)，以便在重构时找回丢失的信息。原始图像可用下面的两个平均值和两个细节系数表示，8 4 1 -1步骤3：重复步骤1和2把由第一步分解得到的图像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。在这个例子中，分解到最后，就用一个像素的平均值6和三个细节系数2,1和1表示整幅图像：6 2 1 -1第33页/共52页哈尔变换过程l 把由4像素组成的一幅图像用一个

13、平均像素值和三个细节系数表示l 这个过程就叫做哈尔小波变换(Haar wavelet transform)，也称哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition)l 这个概念可以推广到使用其他小波基的变换第34页/共52页哈尔变换过程图形示意9，7，3，58，41，-126第35页/共52页哈尔变换的特性哈尔变换的特性l变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中重构出原始图像。l对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中重构出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为1的图像基础上重构出分辨率为2的图像，在分辨率为2的图像基础上重构出分辨率为4的图像l通过变换之后产生的细节系数

14、的幅度值比较小，这就为图像压缩提供了一种途径。例如，去掉一些微不足道的细节系数并不影响对重构图像的理解第36页/共52页一维哈尔小波变换一维哈尔小波变换l求均值和差值的过程实际上就是一维小波变换的过程，现在用数学方法重新描述小波变换的过程 用V2 中的哈尔基表示 用V 1, W 1中的函数表示 用V 0, W 0和W1中的函数表示第37页/共52页9，7，3，58，41，-126V2W 1V 1V 0W 0第38页/共52页（1 1）用）用V2 V2 中的哈尔基表示中的哈尔基表示l图像9 7 3 5有2j =22=4个像素，因此可以用生成矢量空间中的框基函数的线性组合表示， 222222220

15、0112233( )( )( )( )( )I xcxcxcxcx其中的系数 是4个正交的像素值9 7 3 5，因此，22220123,c c cc和22220123( )9( )7( )3( )5( ) I xxxxx第39页/共52页图I(x)用V2中的哈尔基表示 第40页/共52页l生成矢量空间V 1的基函数为l生成矢量空间W1的小波函数为l根据lI(x)可表示成0111( )( )xx和1101( )( )xx和2001VVWW0000111100000011( )( )( )( )( )I xcxdxdxdx（2 2）用）用V 1, W 1V 1, W 1中的函数表示中的函数表示第4

16、1页/共52页l生成矢量空间V 0的基函数为 ，生成矢量空间W 0的小波函数为 ，生成矢量空间W1的小波函数为 和 ，根据lI(x)可表示成00( ) x00( )x10( )x11( ) x2001VVWW0000111100000011( )( )( )( )( )I xcxdxdxdx（3 3）用）用V0, W0V0, W0和和W1W1中的函数表中的函数表示示第42页/共52页l其中，4个系数 ， ， 和 就是原始图像通过哈尔小波变换所得到的系数，用来表示整幅图像的平均值和不同分辨率下的细节系数。4个函数 , , 和 就是构成空间V2的基。 l 用图表示为00c00d10d11d00(

17、)x00( )x10( ) x11( ) x第43页/共52页扩展：小波变换方法扩展：小波变换方法l执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码l用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号A表示信号的近似值(approximations)D表示信号的细节值(detail)3月10日第44页/共52页l在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。l比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确

18、实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。l在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。双通道滤波过程第45页/共52页l离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树(wavelet decomposition tree)分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要小波分解树小波分解树第46页/共52页小波包分解树小波包分解树 l小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整的二进制树。第47页/共52页cAj