chapter闭区间上连续函数的性质PPT学习教案

1、会计学1chapter闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质教学要求：教学要求：1. 了解闭区间上连续函数的性质了解闭区间上连续函数的性质, 并会应用这些性质并会应用这些性质.第1页/共20页 .最大值和最小值定理最大值和最小值定理一一 .介值定理介值定理二二 .应用举例应用举例三三第2页/共20页 .最大值和最小值定理最大值和最小值定理一一定义定义:.)()()()()()()(,),( 0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 并

2、不是每一个函数都有最值并不是每一个函数都有最值. . 1, 12 , 0 sin 最小值最小值上有最大值上有最大值在闭区间在闭区间 xy.)1 , 0( 内没有最值内没有最值在开区间在开区间而而xy 定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. .第3页/共20页如图所示如图所示ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: (1)证明从略证明从略. (2)定理为充分条件定理定理为充分条件定理, 条件缺一不可条件缺一不可, 否则就有可能否则就有可能 没有最值没有最值. xyo2 )(xfy xyo)(xf

3、y 211第4页/共20页定理定理2(2(有界性定理有界性定理) )在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. .Proof. ,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf第5页/共20页 .介值定理介值定理二二定理定理3(3(零点定理零点定理) ) . 0)(),( , 0)()()2( , , )()1( fbabfafbaxf使得使得则至少存在一点则至少存在一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实

4、根在在即方程即方程baxf 几何说明几何说明: xoyab1 2 3 4 5 6 7 第6页/共20页定理定理4(4(介值定理介值定理) ) .)(),( ,)()()3( ),()()2( , , )()1( CfbabfafCbfafbaxf 使得使得则至少存在一点则至少存在一点之间的任意一个数之间的任意一个数与与为介于为介于且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设Proof. ,)()( Cxfx 设设., )( 上连续上连续在闭区间在闭区间则则bax ,)()(Cafa ,)()(Cbfb . 0)()( ba 由零点定理得由零点定理得, 至少存在一点至少存在一点),(ba . 0)( 使

5、得使得.)( Cf 即即第7页/共20页推论推论: 闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数 f(x) 必取得介于最大值必取得介于最大值 M 与与最小值最小值 m 之间的任何值之间的任何值.Proof. ,)(,)( 21Mxfmxf 设设, ,)( 1221上连续上连续或或在函数在函数则则xxxxxf由介值定理由介值定理, ),( MCmC 对任何实数对任何实数.)( ),( ),(1221Cfxxxx 使得使得或或都有都有第8页/共20页 . 1 12 . 1的正根的正根至少有一个小于至少有一个小于验证验证 xxexSolution. , 12)( xxxf设设.1 , 0 )(上连续上连续在

6、闭区间在闭区间则则xf, 01)0( f又又, 01)1( f, 01)1()0( ff即即由零点定理由零点定理, . 0)( ),1 , 0( f使得使得至少存在一点至少存在一点 , 012 即即 . 1 12 的正根的正根至少有一个小于至少有一个小于即方程即方程 xx .应用举例应用举例三三第9页/共20页Proof.,)()( xxfxF 设设则则 F(x) 在闭区间在闭区间 0,1上连续上连续. , 0)0()0( fF又又. 01)1()1( fF由零点定理得由零点定理得, ),1 , 0( 至至少少存存在在一一点点, 0)( F使使得得.)( f即即.)(),1 , 0(: , 1

7、)(0,1 , 0 )( . 2 fxfxfex使得使得至少存在一点至少存在一点证明证明且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设第10页/共20页ex3. 设设 f(x) 在闭区间在闭区间 0,a上连续上连续, ,), 0(, 0)(0, 0)()0(上任一点上任一点为为时时当当alxfaxaff ).()( )(0, lffa 使使得得证证明明至至少少存存在在一一点点Proof.),()()( xflxfxF 设设, 0 )( 上连续上连续在闭区间在闭区间则则laxF , 0)()0()()0( lfflfF又又. 0)()()()( laflafaflaF), 0(), 0( ala 至至少少

8、存存在在一一点点, 0)( F使使得得).()( flf 即即第11页/共20页., )0, 0(sin . 4bababxaxex 并且它不超过并且它不超过正根正根至少有一个至少有一个其中其中证明方程证明方程Proof. ,sin)( bxaxxf 设设, 0 )( 上连续上连续在闭区间在闭区间则则baxf , 0)0( bf又又)sin()(baaabaf ,0)( )1(时时当当 baf. sin 的根的根是方程是方程即即bxaxba ,0)( )2(时时当当 baf, 0)( ), 0( fba使使得得至至少少存存在在一一点点.sin ba 即即 ., 0( sin上至少有一个根上至少

9、有一个根在在babxax . 0)sin(1 baa,由零点定理得由零点定理得第12页/共20页ex5. 设设 f(x) 在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续, ,21bxxxan ,1使得使得上必有上必有则在则在 nxxProof., )(1上连续上连续在闭区间在闭区间nxxxf.)( ,MxfmmM 且且与最小值与最小值最大值最大值,)( ,1Mxfm 从而从而,)(2Mxfm ,)(Mxfmn .)()()(21nMxfxfxfnmn .)()()()(21nxfxfxffn 第13页/共20页.)()()( 21Mnxfxfxfmn 即即由介值定理得由介值定理得, 使使得得至至少少存存

10、在在一一点点 ,),( 11nnxxxx .)()()()(21nxfxfxffn 第14页/共20页.)3 , 2( ,)2 , 1( 03162715 . 6内内另一根在另一根在内内有一根在有一根在试证方程试证方程 xxxexProof.)2)(1(16)3)(1(7)3)(2(5)( xxxxxxxf设设.3 , 2 or 2 , 1 )( 连续连续在闭区间在闭区间则则xf, 010)1( f, 07)2( f. 032)3( f. 0)( ),2 , 1( 11 f使使得得至至少少存存在在一一点点所以结论成立所以结论成立. 0)( ),3 , 2( 22 f使使得得至至少少存存在在一一

11、点点第15页/共20页ex7. 设设 f(x) 在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续, , , 2121证明证明为两正数为两正数与与且且ttbxxa ).()()()( 212211Cfttxftxft 使得使得Proof.方法方法1., baC 至少存在一点至少存在一点, )(上连续上连续在闭区间在闭区间baxf.)( ,MxfmmM 且且和最小值和最小值最大值最大值,)( ,1Mxfm 从而从而,)(1111Mtxftmt ,)(2Mxfm ,)(2222Mtxftmt ,)()()()(21221121Mttxftxftmtt 第16页/共20页.)()( 212211Mttxftxftm 即即由介值定理可知由介值定理可知, 使使得得至至少少存存在在一一点点 , baC ).()()()(212211Cfttxftxft 方法方法2.).()()()()( 212211xfttxftxftxF 设设, )( 21上连续上连续在闭区间在闭区间则则baxxxF )()()()()(12122111xfttxftxftxF ),()(122xfxft 第17页/共20页)()()()()(22122112xfttxftxftxF ),()(211xfxft . 0)()()()(2122121 xfxfttxFxF,0)