ch初等函数的连续性PPT学习教案

1、会计学1ch初等函数的连续性初等函数的连续性,从前两节我们已经知道，在基本初等函数中 三角函数反三角函数 有理指数幂函数在其定义域上都是连续的.本节将讨论指数函数、对数函数和实指数幂函数的连续性.一、指数函数的连续性一、指数函数的连续性(0,1)6xyaaaR前面证明了指数函数在 上是严格单调的（见P.18，例 ），.个个重重要要性性质质下下面面证证明明实实指指数数幂幂的的一一定理定理 4.10.)( , 0 aaaaaa 为为任任意意实实数数，则则有有，设设证明：证明：1,sup|.xrrxaxRaar 不不妨妨设设则则对对有有为为有有理理数数（见见P P. .1 14 4) )0, , ,

2、.rsr srsaaaa 因因此此，对对于于任任给给总总有有两两个个有有理理数数使使得得且且.: aaasrx的的严严格格增增性性知知由由,srsraaa ()().rsaaaa 第1页/共11页0:.aaa 让让得得,.pppaa 为为正正相相反反的的不不等等式式，设设 为为有有理理数数 且且使使得得,r srsprs再再取取有有理理数数使使以以及及（由由有有理理数数的的稠稠密密性性，这这是是可可以以做做到到的的）则则有有. aaaaaasrsrp.aaa 故故得得到到 .aaa 由由 的的任任意意性性推推出出 .aaa 所所以以有有 ().aa 可可类类似似证证明明第2页/共11页定理定理

3、4.11(0,1).xaaaR 指指数数函函数数在在 上上是是连连续续的的证：证：001,lim1.51,4 .xxaaa 设设则则（见见P P例例 ）00000,4.10,xxxxxxxxRaaaa 任任取取由由定定理理则则有有00.xxaxxaR所所以以在在点点连连续续，再再由由 的的任任意意性性知知在在 上上连连续续, 1,1, 10 baba则则有有令令设设1( )xxxabb 而而，,ubux 可可看看作作复复合合函函数数与与的的复复合合.xaR由由复复合合函函数数的的连连续续性性可可知知，在在 上上连连续续0000000000,limlimlim.xx xxxxtxxxxttxxx

4、xtaaaaa 令令则则当当时时有有从从而而第3页/共11页lim0, lim(1)xxxxaaa 因因为为，)., 0( xa)., 0(10 xaa时也有时也有当当log(0,).xaax 的的反反函函数数对对数数函函由由反反函函数数的的连连续续性性可可得得数数在在其其定定义义域域内内也也连连续续，.)(0)(ln)()(连连续续在在点点xexuxuxvxv 例例1.)(lim:,)(lim, 0)(lim)(000bxvxxxxxxaxubxvaxu 证证明明设设证证:000(), (),( ), ( ),u xa v xbu xv xx 补补充充或或改改变变定定义义，令令则则在在点点连

5、连续续,)(ln)(0连连续续在在点点从从而而xxuxv0000()ln ()()()ln ()lnlim( )lim.v xu xv xv xu xbabxxxxu xeeea 第4页/共11页v定理定理4.12 一切基本初等函数在它们的定义域内都是连续的一切基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 注注: : 所谓定义区间所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间就是包含在定义域内的区间 v定理定理4.13 任何初等函数在其定义区间上都是连续的任何初等函数在其定义区间上都是连续的 lnln,ln0.xxuxxeeeuxx 由由于于幂幂函函数数 （ 为为实实数数）可可表表为为它它是是函函数数和和的

6、的复复合合，故故由由指指数数函函数数、对对数数函函数数的的连连续续性性以以及及复复合合函函数数的的连连续续性性可可知知，幂幂函函数数y=y=在在其其定定义义域域，内内连连续续第5页/共11页例 8 求xxax)1 (loglim0 例例3 例例2 例 7 求xxx11lim20 解解 xxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx02011lim20 xxx解解 xxax)1 (loglim0 xaxx10)1 (loglimaealn1log 解解 解解 xxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx 02011lim20 xxx xx

7、ax)1 (loglim0 xaxx10)1 (loglimaealn1logxxax)1 (loglim0 xaxx10)1 (loglimaealn1log v利用连续性求极限举例利用连续性求极限举例第6页/共11页 例例4 例 9 求xaxx1lim0 令a x1t 解解 xaxx1lim0 xaxx1lim0attatln)1 (loglim0attatln)1 (loglim0 则xlog a(1t) x0时t0 于是 v利用连续性求极限举例利用连续性求极限举例第7页/共11页例例5 求2221) 1ln(2limxexxxx2lim( )(2)xf xf 因因此此，22221) 12ln(22e2244 5.55ee 2222ln(1)( )1(1,)2(1,)2limxxxxf xfexx = 解解：令令，因因 为为初初等等函函数数，其其定定义义域域为为，而而，故故其其在在处处连连续续. .例例6.cos)1ln(lim20 xxx 求求解解: xxxcos)1ln(lim20.