ch134函数极限定义与性质PPT学习教案

1、会计学1ch134函数极限定义与性质函数极限定义与性质几何解释几何解释:x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使推论推论).,(),( aUxaUaaxnn 只只有有有有限限多多项项邻邻域域的的任任一一对对收收敛敛于于数数列列定义N第1页/共56页1.有界有界性性(全局性）全局性）定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论

2、推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .第2页/共56页2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .3.3.子列的收敛性子列的收敛性定理定理3 3 如果如果数列收敛，则它的任一个子数列数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同也收敛，且极限相同. .limlimlim 4212axxaxnnnnnn 定定理理第3页/共56页一、自变量的变化过程一、自变量的变化过程二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限 新课新课 第一章第一章 第4页/共56页.,0 .

3、 1xxx记为记为无限增大无限增大且且.,0 . 2xxx记为记为无限增大无限增大且且., . 3xxx记为记为无限增大无限增大且且为任意实数为任意实数., . 4000 xxxxxx记为记为且且无限接近无限接近 ., . 5000 xxxxx为为且且无无限限接接近近于于., . 6000 xxxxx为为且且无无限限接接近近于于第5页/共56页xsinx/x.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放第6页/共56页如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划函数函数“无限接近无限接近”. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的

4、观察通过上面演示实验的观察:问题问题:.)(,)(Axfxxfy无限趋近于确定值无限趋近于确定值对应函数值对应函数值的过程中的过程中在在函数函数 即即 如何表示如何表示 x 与与 f(x)无限接近于无限接近于A ？ 先分先分 x + 与与 x - 来说明来说明第7页/共56页定义定义 设设 f(x) 在在 x 0有定义有定义 , 对对任意给定的无论任意给定的无论多么小的正数多么小的正数 ,总总存在正数存在正数 X , 当当 x X 时，时， 恒有恒有 | f(x) A| ， 则称常数则称常数 A 是函数是函数 f(x) 当当 x+ 时的极限时的极限 .1. x + 时时 f (x) 的极限的极

5、限. )()(,)(lim xAxfAxfx或或者者记记为为定义定义X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA第8页/共56页几何意义几何意义.2,)(,0, 0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线落在以直线落在以直线图形完全图形完全函数函数时时当当对对 AyxfyXxX xxysin XAsinlim0 xxAx 定义定义X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA第9页/共56页2. x - - 时时 f (x) 的极限的极限定义定义 设设 f(x) 在在 x 0有定义有定义 , 对对任意给定的正数任

6、意给定的正数 ,总总存在正数存在正数 X , 当当 x- - X 时，恒有时，恒有| f(x) A| ，则，则称常数称常数 A 是函数是函数 f(x) 当当 x- - 时的极限时的极限 .lim( ),( )().xf xAf xA x 或或者者定义定义X 记为记为 Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当定义定义X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA无论多么小无论多么小第10页/共56页几何意义几何意义.2,)(,0, 0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线落在以直线落在以直线图形完全图形完全函数函数时

7、时当当对对 AyxfyXxX xxysin X Asinlim0 xxAx 定义定义X Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当第11页/共56页 Axfx)(lim.)(,|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当3. x 时时f(x)的极限的极限 Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定理：定理：几何意义几何意义注注否否 Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA第12页/共56页xxysin 几何意义几何意义.2,)

8、(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXx X XAlim( )xf xA 0, 总总存在正数存在正数 0,只要只要 f 的定义域中的点的定义域中的点 x 满足满足0|x x0| 时，恒有时，恒有 |f(x) A| 成立成立，则称常数，则称常数 A 是函数是函数 f(x) 当当 x x0时的极限时的极限, 简称简称 A 是是 f (x)在在 x0 处的极限处的极限. )()(,)(lim00 xxAxfAxfxx 或或者者记记为为第18页/共56页定义定义 Axfxx)(lim0.|)(|,|0, 0, 00

9、 Axfxx恒有恒有时时使当使当000000000| | xxxx xxxxx xxxx xxx 注注意意：说明说明.,)10有有关关的的正正数数与与任任意意给给定定的的接接近近程程度度与与用用来来刻刻划划 xx.,|0)20不不能能去去掉掉是是重重要要的的定定义义中中xx .)()30是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf202(1)lim41xxx如：如：也并也并不是唯一不是唯一.第19页/共56页2.几何解释几何解释:.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxf

10、yxx0 xAAA0 x0 x)(xfy xyo.,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第20页/共56页例例1.).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证( )0 ,f xACC 这这里里.lim0CCxx 0, 可可任任取取一一正正数数00,xx 则则当当时时, 0 ( )0,f xA 总总有有.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当 Axfxx)(lim0第21页/共56页例例2. 211lim21 xxx证明证明证证21( )21xf xAx 这这里里|1|,x 只只要要01,x 则则当当时时函数在点函数在点x=1处处没有定义没有定义.1 x,)(

11、 Axf要使要使212,1xx 总总有有. 211lim21 xxx, 0 取, .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当 Axfxx)(lim0第22页/共56页例例3.lim00 xxxx 证证0( )f xAxx 这这里里0,x 可取00,xx 则则当当时时00 xxxx ,)( Axf要使要使0,xx 总总有有,00 xxx 00,xxx 只只要要.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明00.xxx 即即, 0 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当 Axfxx)(lim0用定义证明用定义证明 的过程的过程 ：Axfxx )(lim01. 把

12、把| f(x) A| 化简化简为为 | f(x) A| k |x x0| ; 2. 要要| f(x) A| , ,只要只要 k |x x0| ;1. 3 k取取4. 验证验证.第23页/共56页重要结论重要结论幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数等角函数等基本初等函数基本初等函数，在其定义域内的每点处，在其定义域内的每点处的的极限极限都存在且都存在且等于函数等于函数在该点处的在该点处的值值. .lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明第24页/共56页2.单侧极限单侧极限:问题：问题：两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 x

13、x0 x x从从无无限限侧侧趋趋近近x x左左, ,;00 xx记记作作0 x x从从无无限限侧侧趋趋近近x x右右, ,; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy21,0( )1,0 xxf xxx 设设0lim( )1xf x 如何证明如何证明 ?第25页/共56页左极限定义左极限定义).limitleft()(,)(,0, 0, 0,),()(0000处的左极限处的左极限在在是是则称则称恒有恒有时时使当使当对对内有定义内有定义在在设设xxfAAxfxxxxxf 右极限定义右极限定义).limitright()(,)(,0, 0, 0,),()(0000处的右极限处的右极限在在为为数

14、数则称常则称常恒有恒有时时使当使当对对内有定义内有定义在在设设xxfAAxfxxxxxf .)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作0(0).f xA 或0(0).f xA 或第26页/共56页.)()()(lim000AxfxfAxfxx 定理定理由此有由此有.)(lim)(,)()(,)()(000000不存在不存在说说处没有极限或者处没有极限或者在在则则中至少有一个不存在中至少有一个不存在与与或或都存在但不相等都存在但不相等与与若若xfxxfxfxfxfxfxx 第27页/共56页.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o0

15、0limlimxxxxxx 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例4证证0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim11x 重点重点第28页/共56页.1)(lim, 0 10 1)(202 xfxxxxxfx证明证明设设例例5例例 5yox1xy 112 xy解：由图可知解：由图可知0lim( )xf x20lim(1)xx10lim( )xf x0lim(1)xx100lim( )lim( )1xxf xf x0lim( )1xf x第29页/共56页xxtanlim.)22 如如：的的极极限限有有些些三三角角函函数数在在特特殊殊点点

16、,)(lim,0情情况况应应先先看看一一看看单单侧侧极极限限的的讨讨论论一一般般说说xfxx的的一一些些情情况况：应应分分别别研研究究左左、右右极极限限1).分分段段函函数数在在分分段段点点处处的的极极限限xxxx100elim,1arctanlim.)3如如：函函数数在在特特殊殊点点的的极极限限有有些些反反三三角角函函数数、指指数数.,)(,00限限则则应应分分别别研研究究左左、右右极极若若有有差差别别分分开开讨讨论论则则不不必必两两侧侧变变化化趋趋势势一一致致在在时时若若xxfxx ( ( 如作业如作业P P1818 二二6)6)第30页/共56页定理定理1 若极限若极限 (或或 )存在，

17、则存在，则极限是惟一的极限是惟一的.)(lim0 xfxx)(limxfx 1. 1. 极限的惟一性极限的惟一性第31页/共56页M-Myxoy=f(x)I有界有界0,( ),MxIf xM 若若有有成成立立函数的有界性函数的有界性:,)2 , 1(1)(上有界上有界在在xxf 0 1( , )?在在上上设设f(x)在区间在区间I上有定义上有定义则称则称 f(x) 在在I 上上有界有界.否则否则称称无界无界.例：例：无界无界2. 有极限的函数的有极限的函数的局部局部有界性有界性v 补充补充第32页/共56页函数有界的另一种定义函数有界的另一种定义:设设 f(x) 在区间在区间 I 内有定义内有

18、定义, ,若若 M1 和和 M2 使使x I, 都有都有 M1 f(x) 0 ?不能不能! 200 limxx 如如第36页/共56页定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设。 推推论论).()(),(, 0,)(lim,)(lim000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设。 ., 0)(即为前面的定理与推论即为前面的定理与推论若若 xg由此也可证由此也可证“极限的唯一极限的唯一性性”?不能不能! 222 ( ), ( )f xxg xx如如0|,( )( )xf xg

19、x 当当但但 A=B=0第37页/共56页4.函数极限的归并性函数极限的归并性( (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )定义定义 .)()(., )(1时的子列时的子列当当为函数为函数则称数列则称数列时时使得使得中有数列中有数列设在过程设在过程axxfxfaxnaxaxnnnn .)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若定理定理例如例如,1sinlim0 xxx11limsinnnn 10 ()xnn 令令则则 1,nxn 即即取取第38页/共56页例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx

20、 1,nxn , 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. (. (Heine定理，又称定理，又称归并原则归并原则)即即AxfaxaxxAxfnnnnnax )(lim,)(lim 21,nnxn 第39页/共56页判别极限不存在的一个命题判别极限不存在的一个命题 .)(,)()(,)()(. 20111100极极限限不不存存在在的的时时那那么么当当敛敛但但极极限限不不相相等等或或者者两两者者都都收收发发散散或或使

21、使得得对对应应的的函函数数值值数数列列和和列列的的数数且且各各项项均均异异于于若若存存在在两两个个趋趋于于xfxxxfxfxxxxnnnnnnnn 例例6.1sinlim0不存在不存在证明证明xx第40页/共56页例例6.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证xy1sin ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 122,nxn 取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而122limsinlimsin()nnnnx 而而1lim n, 1 二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xxlim0n 0, 另证另证 1,nx

22、n 取取, 0lim nnx; 0 nx且且第41页/共56页1. 函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)第42页/共56页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn xX xX xX )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx00 xxx 00 xxx 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)( X2.第43页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第44页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第45页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函