chapt分离变量法学时PPT课件

1、第八章第八章 分离变量法分离变量法本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求n掌握有界弦的自由振动解及其物理意义n着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题-本征值问题第1页/共52页问题的引入 2,0,0ttxxtua uu xxuxx(1)(2)(3)行波法达朗贝尔公式第2页/共52页 前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制本章介绍的前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制本章介绍的分离变量法分离变量法（又（又称为本征函数展开法）是称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法解偏微分方程定解问题最常用的重要方法 其基本思想其基本思想是把偏微分方程分

2、解为几个常微分是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题成本征值问题 第3页/共52页8.1 分离变量理论 8.1.1 偏微分方程变量分离及条件 对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？假设 （）的解有下列分离的形式 第4页/共52页1. 1. 常系数偏微分方程常系数偏微分方程,X Y若（）的系数均为常数，并分别用小写的 代表 ，将方程两边同除以XY, 则第5页/共52页要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于也不依赖于y的常数，记为的常数，记

3、为 ，从而得到两个，从而得到两个常常微分方程微分方程第6页/共52页对于变系数函数 ，假设存在某一个函数 ，使得方程除以后变为可分离的形式第7页/共52页上式要上式要恒成立恒成立，只有它们均等于，只有它们均等于同一个常数同一个常数，记为，记为 ，从而得到两个第8页/共52页由以上讨论知道：对于由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐常系数二阶偏微分齐次方程，次方程，总是能实施变量分离总是能实施变量分离 需要满足一定的条件，即必须找到讨论需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 2中适当的中适当的 函数才能实施变量分离函数才能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 第9页/共52页第一类边界条

4、件第一类边界条件第二类边界条件 8.1.2 边界条件可实施变量分离的条件第10页/共52页假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：条件为齐次的： 第11页/共52页可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系须第12页/共52页直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 8.2.1 8.2.1 分离变量法介绍分离变量法介绍例8.2.1：具体考虑长为，两端固定的均匀弦的自由振动泛定方程 初始条件 （8.2.）（8.2.）（8.2.） 第13

5、页/共52页 【解】 第一步：分离变量用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：变量分离形式的试探解 代入（8.2.）和（8.2.）:写为第14页/共52页偏微分方程分离成两个常微分方程:(8.2.4)(8.2.5)(8.2.6)（8.2.7） 单的结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件 第15页/共52页第二步：求解本征值（或称为固有值）问题上面推导的方程 （8.2.5） （8.2.7）三种可能逐一加以分析（8.2.5），将本征值 不能任意取，只能根据边界条件（）取某些特定值。第16页/共52页（）的解为）的解为 （）和由（8.2.）确定，即有由此解出被排除 第17页/共52页（）

6、方程（）的解是解出解出和由（8.2.7）确定，即 也被排除 第18页/共52页（）的解如 ，则仍然解出 和第19页/共52页只剩下一种可能性：只剩下一种可能性： （）（）正是傅里叶正弦级数的基本函数族对应的函数为 常数的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数第20页/共52页第三步：先求特解，再叠加求出通第三步：先求特解，再叠加求出通解解 （）方程的解：（），由方程（8.2.4）求出相应的 （8.2.12）第21页/共52页这就是满足这就是满足(8.2.1)(8.2.1)和条件（和条件（）的）的通解通解（8.2.13）第22页/共52页初始条件(8.2.3)确定叠加系数 （8.2.14）

7、 (8.2.15)至此，定解问题（至此，定解问题（）-(8.2.3)-(8.2.3)的解已经求出的解已经求出第23页/共52页(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，不一定是分离变量的乘积形式分离变量法是有条件的，会受到一定的限制注意：第24页/共52页8.2.2. 8.2.2. 解的物理意义解的物理意义特解 (8.2.12) 改写为 (8.2.16)驻波叠加第25页/共52页振幅: 频率: 初位相: 波节: 波腹:第26页/共52页点数为点数为2 2，3 3，4 4的驻波形状的驻波形状 图第27页/共52页（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波

8、叠加而成的的 所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相于是我们也可以说解是由一系列频率不同的差异，由初始条件决定，而圆频率 与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率 第28页/共52页中最小的一中最小的一个个 称为基频，称为基波 称为谐频， 相应的称为谐波 基波的作用往往最显著 第29页/共52页坐标变量和时间变量分离 2. 2. 三维形式的直角坐标分离变量三维齐次热传导方程为例:第30页/共52页在上式中平方形式来表示固有值得 亥姆霍兹方程由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数 第31页/共52页分离变数：其中 上面三个方程，就是X, Y

9、, Z的分离方程.这些方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合而时间部分的解为:因此，三维形式中热传导问题的完整解为第32页/共52页直角坐标系分离变量例题分析 上面我们已经研究的例题讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题下面讨论的例题是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；而例题讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别第33页/共52页例8.2.2 研究定解问题： 第34页/共52页【解】用分离变量法求解. 令则方程的解是非零解即: 第35页/共52页故得到本征值:相应的本征函数是第36页/共52页将代入（）解得叠加得第37页/共52页系数由定解

10、条件确定傅里叶展开式系数可确定为第38页/共52页例:热传导：设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 【解】定解问题为：(8.2.36)(8.2.37)(8.2.38)(8.2.39)(8.2.40)第39页/共52页(1) 时空变量的分离： (2) 空间变量的分离 ： 代入方程式，可得： (8.2.41)代入（）式及（）关于的常微分方程及边界条件，构成本征值问题：第40页/共52页同时， 满足 （）再令 可得另外两个本征值问题 和 第41页/共52页(3) 求本征值问题 这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为： (8.2.43)(8.2.44)(8.2.45)第42页/共52页（）本征值相

11、加:本征函数相乘:第43页/共52页(4) (4) 求解关于求解关于 (5) (5) 解叠加起来解叠加起来: :的常微分方程 ：第44页/共52页其中第45页/共52页83 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 例 8.3.1 物理模型： 带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度 E0 是竖直的，方向向下水平架设的输电线处于这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，如图所示不过离圆柱“无远限远”处的静电场仍保持为匀强的现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场,求出柱外的电势分布 B A 带电云 + + + + + + + y x

12、 图 8.2 第46页/共52页解题分析解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题取圆柱的轴为Z轴如果圆柱“无限长”，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与Z坐标无关，我们只需在XY平面上加以研究就行了图画出了 XY平面上的静电场分布，圆柱面在 XY平面的剖口是圆 第47页/共52页柱外的空间中没有电荷，所以电势柱外的空间中没有电荷，所以电势 （在圆柱外）（在圆柱外）满足二维的拉普拉斯方程导体中的电荷既然不再移动，这说明导体中各处电势相同 又因为电势只具有相对的意义，完全可以把导体的电势当作零，从而写出边界条件 第48页/共52页 因而还有一个非齐次的边界条件因而还有一个非齐次的边界条件由于选取了 轴平行于 ，所以在无限远处， （）问题就在于求解定解问题（）-（）第49页/共52页【解】以变量分离形式的试探解（） 代入拉普拉斯方程（8.3.1），得其