课件第3章复变函数积分

1、1第第3章章 复变函数的积分复变函数的积分第一节第一节 复变函数积分的概念性质及计算复变函数积分的概念性质及计算 1.1 积分的定义 1.2 积分存在的条件及其计算方法 1.3 积分的基本性质2第二节第二节 柯西古萨定理及其推广柯西古萨定理及其推广2.1柯西古萨基本定理2.2基本定理的推广复合闭路定理3第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分第四节第四节 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式4.1 柯西积分公式4.2 高阶导数公式与解析的无限可微性第五节第五节 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系41.1 积分的定义积分的定义1.有向曲线有向曲线: 设设C为平

2、面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为5简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方顺此方向前进时向前进时, , 邻近邻近P点的曲线点的曲

3、线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点, 另一个作为终点另一个作为终点, 除特殊声明外除特殊声明外, 正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.62.积分的定义积分的定义:, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设分点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点

4、为为区域为区域内内定义在区域定义在区域设函数设函数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 7,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的长度的长度这里这里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无限增加且无限增加且当当 n , )( , , 记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对

5、如果不论对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 8关于定义的说明关于定义的说明: .d)( , )1( CzzfC记为记为那么沿此闭曲线的积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 . ),( )( , )2(定定积积分分的的定定义义实实变变函函数数这这个个积积分分定定义义就就是是一一元元而而轴轴上上的的区区间间是是如如果果xuzfbxaxC 91.2积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法1. 存在的条件存在的条件.d)( , )(一定存在一定存在积分积分是光滑曲线时是光滑曲线时是连续函数而是连续函数而如果如果 CzzfCzf10 : ddd )(相乘后求

6、积分得到相乘后求积分得到与与yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式112. 积分的计算法积分的计算法. d)( 积积分分来来计计算算函函数数的的线线可可以以通通过过两两个个二二元元实实变变 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()

7、( ttztzf12 ttztzfzzfCd)()(d)(则则光光滑滑曲曲线线相相互互连连接接所所组组成成的的按按段段等等光光滑滑曲曲线线依依次次是是由由如如果果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的, 曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.13复变函数积分的计算步骤复变函数积分的计算步骤 t tiytxtzz C ，的参数方程的参数方程写出曲线写出曲线. 1 ttztzfzzf zzf ttzz tzz CCd)()(d)(,d)(d)(d. 2得得代入

8、代入与与将将的积分的积分计算上式右端关于计算上式右端关于 t . 314例例1 解解 . 43 : ,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又因为又因为15 ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关, 43 曲曲线线的的是是怎怎样样从从原原点点连连接接到到点点所所以以不不论论iC .2)43(d2izzC 1

9、6例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x17(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是

10、 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 18xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 19例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圆周圆周为为其中其中计算计算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22

11、 iie)2( z因为因为 20d)sin(cos4 ii. 0 20例例4 解解. , , ,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri21zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2

12、nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .221.3积分的性质积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线估值不等式估值不等式23第一节小结第一节小结 本节我们学习了积分的定义、存在条件以本节我们学习了积分的

13、定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质. 本节中重本节中重点掌握复积分的一般方法点掌握复积分的一般方法.24思考题思考题?d)( )( 函函数数定定积积分分是是否否一一致致与与一一元元的的积积分分定定义义式式复复函函数数 Czzfzf25思考题答案思考题答案 , , 是实轴上区间是实轴上区间若若C,d)(d)( xxfzzfC则则,)(是实值的是实值的如果如果xf即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.d)( , , ,d)( )( ,C zzfzzfzf必须记作必须记作

14、线的限制线的限制要受积分路要受积分路因为这是一个线积分因为这是一个线积分记作记作的积分的积分的函数的函数终点为终点为一般不能把起点为一般不能把起点为 262.1柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理1.问题的提出问题的提出观察上节例观察上节例1, , )( 在复平面内处处解析在复平面内处处解析被积函数被积函数zzf 此时积分与路线无关此时积分与路线无关. 观察上节例观察上节例4, ,1 0 0zzn 时时为为被被积积函函数数当当 , 0的内部不是处处解析的的内部不是处处解析的为中心的圆周为中心的圆周它在以它在以Cz cizzz. 02d1 0此时此时第二节第二节 柯西古萨定理及其推广柯西古萨定理及其

15、推广27. , 0域域但但此此区区域域已已不不是是单单连连通通的的内内部部函函数数处处处处解解析析的的虽虽然然在在除除去去Cz 由以上讨论可知由以上讨论可知, 积分是否与路线有关积分是否与路线有关, 可可能决定于能决定于被积函数的解析性被积函数的解析性及及区域的连通性区域的连通性.28B2. 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数C定理中的定理中的 C 可以不是简可以不是简单曲线单曲线.此定理也称为此定理也称为

16、柯西积分定柯西积分定理理.29关于定理的说明关于定理的说明:(1) 如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界, )( 在在函数函数zf , 上解析上解析即在闭区域即在闭区域CBB , 上解析上解析内与内与CB czzf. 0d)( 那末那末(2) 如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界, )( 在在函数函数zf那末那末上连续上连续在闭区域在闭区域 , CBB , 内解析内解析B定理仍成立定理仍成立.30例例5 5解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 , 1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理, 有有 1. 0d321zzz31

17、例例6 6. ),1(0d)( 任意闭曲线任意闭曲线是是其中其中证明证明Cnzzcn 证证 , )1(为正整数时为正整数时当当n , )(平面上解析平面上解析在在 zzn 由柯西古萨定理由柯西古萨定理, . 0d)( cnzz , 1 )2(时时为负整数但不等于为负整数但不等于当当 n , )(平面上解析平面上解析的整个的整个在除点在除点zzn , :点点不包围不包围若若情况一情况一 C32由柯西古萨定理由柯西古萨定理, ; 0d)( cnzz , :点点包围包围若若情况二情况二 C由上节例由上节例4可知可知, . 0d)( cnzz , )(围成的区域内解析围成的区域内解析在在 Czn 33

18、例例7 7.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上解析上解析都在都在和和因为因为 izizz根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz34 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 352.1小结小结 重点掌握柯西古萨基本定理重点掌握柯西古萨基本定理:. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的积积分分为为零零内内的的任任何何一一条条封封闭闭曲曲线线沿沿那那末末函函数数内内处处处处解解析

19、析在在单单连连通通域域如如果果函函数数并注意定理成立的条件并注意定理成立的条件.36思考题思考题应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?37思考题答案思考题答案(1) 注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”.(2) 注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用. . )( , 0d)( 内处处解析内处处解析在在而说而说即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)( :内内在圆环域在圆环域反例反例 zzzf . 11)( :2内内在在反例反例 zzzf381.问题的提出问题的提出 2.d11 , zzz计算计算实例实例 , 1 2 在内的闭曲线在内的闭曲线是包含是包含

20、因为因为 zz根据本章第一节例根据本章第一节例4可知可知, 2.2d11 zizz由此希望将基本定理推广到多连域中由此希望将基本定理推广到多连域中.2.2 基本定理的推广复合闭路定理基本定理的推广复合闭路定理39 , )( 在多连通域内解析在多连通域内解析设函数设函数zf ),( 1正向为逆时针方向正向为逆时针方向单闭曲线单闭曲线内的任意两条简内的任意两条简为为及及DCC. 11DDCC全含于全含于为边界的区域为边界的区域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作两段不相交的弧段作两段不相交的弧段2.闭路变形原理闭路变形原理40DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 显然

21、曲线显然曲线 BFABFAA , , , , ,FFEE 添加字符添加字符为了讨论方便为了讨论方便 . 均为封闭曲线均为封闭曲线 , D因为它们的内部全含于因为它们的内部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA 41 AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d

22、)( 1 CCzzfzzf或或42DC1C1DAA BB EE FF , 1 成一条复合闭路成一条复合闭路看看及及闭曲线闭曲线如果我们把这两条简单如果我们把这两条简单CC : 的正方向为的正方向为 , 按逆时针进行按逆时针进行外面的闭曲线外面的闭曲线 C , 1按顺时针进行按顺时针进行内部的闭曲线内部的闭曲线 C ), , (的左手边的左手边内部总在内部总在的的的正向进行时的正向进行时即沿即沿 . 0)( dzzf那末那末 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分, , 不因闭曲线在不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值. .闭路变形原理闭路变形原理说明说明:

23、 : 在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. .433. 复合闭路定理复合闭路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC44DC1C2C3C. 0d)()2(

24、 zzf). , , , , :( , , , , 2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC 45例例8 8解解 . 1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点， 46, 21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1

25、, 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 47例例9 9 . 1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC, 上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复

26、合定理,. 0d zzez48例例1010. , ,d)(1 1为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求nazazn 解解 , 内部内部在曲线在曲线因为因为 a a , 故可取很小的正数故可取很小的正数 , : 1内部内部含在含在使使 az1 , )(111内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通域在以在以 naz49由复合闭路定理由复合闭路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此结论非常重要此结论非常重要, 用起

27、来很方用起来很方便便, 因为因为不必是圆不必是圆, a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心, 只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线内即可内即可.50例例1111. , ,d)(121 00为自然数为自然数闭曲线闭曲线的任意正向的任意正向为含为含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn , 0za 此处不妨设此处不妨设 . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin则有则有512.2小结小结 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它掌握并能灵活应用它是

28、本章的难点是本章的难点.常用结论常用结论: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn52思考题思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要要注意什么问题注意什么问题?53思考题答案思考题答案 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法最主要方法.使用复合闭路定理时使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向要注意曲线的方向.54定理一定理一 . d)( , )( 无无关关线线与与连连结结起起点点及及终终点点的的路路那那末末积积分分内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数CzzfBzfC 由定理一可知由定理一

29、可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关和终点有关, (如下页图如下页图)1. 两个主要定理两个主要定理:第三节第三节 原函数和不定积分原函数和不定积分55BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz终点为终点为如果起点为如果起点为 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并令并令内变动内变动在在让让如果固定如果固定 .d)()( 0 zzfzFB 内内的的一一个个单单值值函函数数便便可可确确定定56 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且析函数析

30、函数内的一个解内的一个解必为必为那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理二定理二B zK 此定理与微积分学中此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定的对变上限积分的求导定理完全类似理完全类似.572. 原函数的定义原函数的定义:. )( )( , )()( , )( )( 的的原原函函数数内内在在区区域域为为那那末末称称即即内内的的导导数数为为在在区区域域如如果果函函数数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一个原函数的一个原函数是是显然显然zffzFzz 原函数之间的关系原函数之间的关系: : . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何

31、两个原函数相差zf58 , )( )( zFBzf内有一个原函数内有一个原函数在区域在区域如果如果那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数, . )()(为任意常数为任意常数一般表达式为一般表达式为cczF 593. 不定积分的定义不定积分的定义: .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 记记作作的的不不定定积积分分为为为为任任意意常常数数的的原原函函数数的的一一般般表表达达式式称称定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110内的两点内的两点为域为域这里这里那末那末的一个原函数的一个原函数为为内处处解析内处处解析在单连通域

32、在单连通域如果函数如果函数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )60例例1212. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.61例例1313. dcos 0的值的值求求 izzz解解 , cos 是解析函数是解析函数因为因为zz

33、 ,cossin zzz 它的一个原函数是它的一个原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e62例例1313. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin另解另解izzz0cossin . 11 e此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”63例例1414. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得 ,)1( zzezze 的一个原函数为的一个原函数为 izzze1

34、1dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 课堂练习课堂练习. dsin 10的值的值求求 zzz答案答案. 1cos1sindsin10 zzz64例例1515).cos1(),sin(:20 . d)182( 2 ayaxaCzzzC的摆线的摆线到到是连接是连接其中其中的值的值求求解解 , 182 2在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为函数因为函数 zz所以积分与路线无关所以积分与路线无关, 根据牛根据牛莱公式莱公式: Czzzd)182(2 azzz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 65第三节小结第三节小结 原函数、不定积分的

35、定义以及牛顿原函数、不定积分的定义以及牛顿莱布尼莱布尼兹公式兹公式. 在学习中应注意与在学习中应注意与高等数学高等数学中相关内容中相关内容相结合相结合, 更好的理解本课内容更好的理解本课内容. d)()( 0 zzfzF )(d)(czFzzf )()(d )(0110zGzGzzfzz 66思考题思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有莱布尼兹公式有何异同何异同?67思考题答案思考题答案两者的提法和结果是类似的两者的提法和结果是类似的.; , , , )( 0都都是是复复数数因因而而且且

36、积积分分路路线线是是曲曲线线为为单单连连域域中中的的解解析析函函数数但但在在复复积积分分中中要要求求zzCzf. , , , )( 都是实数都是实数数数上的连续实函上的连续实函为区间为区间在实积分中要求在实积分中要求xabaxf两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大.681.问题的提出问题的提出 . , 0中一点中一点为为为一单连通域为一单连通域设设BzB ,d)( 0 Czzzzf一般不为零一般不为零所以所以 .)( , )( 00不解析不解析在在那末那末内解析内解析在在如果如果zzzzfBzf 根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变

37、化而改变的变化而改变, 求这个值求这个值. .0的闭曲线的闭曲线内围绕内围绕为为zBC第四节第四节 柯西积分公式柯西积分公式4.1柯西积分公式柯西积分公式69, , 00 zzzC的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 , )( 的连续性的连续性由由zf , )( 0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfC )(.d)( d)(000缩小缩小将接近于将接近于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 702.柯西积分公式柯西积分公式定

38、理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那那末末内内任任一一点点为为于于它它的的内内部部完完全全含含闭闭曲曲线线内内的的任任何何一一条条正正向向简简单单为为内内处处处处解解析析在在区区域域如如果果函函数数D 0zC证证 , )( 0连续连续在在因为因为zzf, 0 则则, 0)( 71D 0zCK , 0时时当当 zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的内部的内部全在全在的正向圆周的正向圆周半径为半径为为中心为中心设以设以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)

39、(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(200072 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明上不等式表明, 只要只要 R 足够小足够小, 左端积分的模就左端积分的模就可以任意小可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关, 所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕 Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式 Kzzzzfzfd)()(0073关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: :(1) 把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任

40、一点的值用它在边界上的值表示值表示. (这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的平均值., 0 ieRzzC 是圆周是圆周如果如果.d)(21)(2000 ieRzfzf74例例1616解解 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi求下列积

41、分求下列积分 4dsin21(1)zzzzi , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位于位于 zz75 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi; 0 由柯西积分公式由柯西积分公式0sin221 zzii76例例1717 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf , 2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 77例例1818.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12z

42、z)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由柯西积分公式由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 78例例1919：;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 79;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2

43、 zzzi;22i 解解例例1919：80例例2020解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxCC 求求表示正向圆周表示正向圆周设设 根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, , 内时内时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 内内在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以所以81例例2121.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并证明并证明求积分求积分解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, 1dzzzze02 zzei;2 i )( , irez令令, 1 rz 1dzzzze diirei

44、rereei diee i 82 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因为因为 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos(sin0cos e83课堂练习课堂练习.d)1( 32 zzzzze计算积分计算积分答案答案1, 1, 0 zzz有三个奇点有三个奇点).2(d)1( 132 eeizzzezz844.1小结小结 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨

45、基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函所以它是研究解析函数的重要工具数的重要工具. Czzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式:85思考题思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推能否推广到无界区域中广到无界区域中?86思考题答案思考题答案可以可以. , )( 要做一些限制要做一些限制但对函数但对函数zf , )( 上解析上解析及边界及边界在在设设CGzf )(, 0, 0( )( , zfRzR

46、zfz时时使当使当即即一致趋于零一致趋于零时时并且当并且当 , 内任意一点内任意一点则对则对G ,d)(21)( Czzzfif 有有其中积分方向应是顺时针方向其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .871.问题的提出问题的提出问题问题: :(1) 解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函其定义和求法是否与实变函数相同数相同?回答回答: :(1) 解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来

47、表示, 这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?4.2 高阶导数公式与解析函数的无限可微性高阶导数公式与解析函数的无限可微性882.主要定理主要定理. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在

48、于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分. .89例例2222解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 , 1 )1(cos )1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式90 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC为为中中心心作作

49、一一个个正正向向圆圆周周内内以以在在 , 2Ci 为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周以以 , , )1( 2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 911C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei921C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2ii

50、ieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i93例例2323.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解 , 1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式94 12dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzz

51、ezei.2 i 95例例2424解解) (.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西积分公式得由柯西积分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i 96, 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni97课堂练习课堂练习 CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案答案 ;

52、 0)( , 00 zgCz外外在在 . )16(2)( , 2000izzgCz 内内在在98练习练习解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数, 23)1( z 2, z仅包含奇点仅包含奇点,1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 9931)2( z , 0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Czz 2, 0 21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC , 21互不包含且互不相交互不包含且

53、互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz100 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 1014.2小结小结 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别. Cnnzzzzfinzfd)()(2

54、!)(100)(高阶导数公式高阶导数公式102思考题思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同数与实函数的导数有何不同?103思考题答案思考题答案. , , )( ,上上的的解解析析函函数数阶阶导导数数均均为为闭闭区区域域并并且且它它的的各各它它就就一一定定无无限限次次可可微微中中处处处处可可微微只只要要在在闭闭区区域域函函数数高高阶阶导导数数公公式式说说明明GGzf这一点与实变量函数有本质的区别这一点与实变量函数有本质的区别. .1041.调和函数的定义调和函数的定义. ),( 0, , ),( 2222内的调和函数内的调和函

55、数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.第五节第五节 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系1052.解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系两者的关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证 ,)( 内的一个解析函数内的一个

56、解析函数为为设设Divuzfw . , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 从而从而106根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理, , 数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu从而从而, 0 2222 yvxv同理同理 . 都是调和函数都是调和函数与与因此因此vu证毕证毕107. , , ,的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为两个调和函数中两个调和函数中的的内满足方程内满足方程在在换句话说换句话说uvxvyuyvxuD 2. 共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义. ),( ),( , ),( 的的共共轭轭调调和和函函数数称称为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在们们把把使使我我内内给给定定的的调调和和函函数数为为区区域域设设yxuyxvDivuDyxu 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数.