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文档简介
1、SZU数学欣赏数学欣赏数学欣赏G数学数学之奇之奇The Surprise of Mathematics数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation数学之奇数学之奇 鬼斧神工鬼斧神工奇异,指数学中的方法、结论或有关发展出乎奇异,指数学中的方法、结论或有关发展出乎意料,使人既惊奇,又赞赏与折服意料,使人既惊奇,又赞赏与折服.数学中的奇异性源于人类感知能力的局限,其数学中的奇异性源于人类感知能力的局限,其根源在于对
2、无穷的认识:人类只能感知有限和局部根源在于对无穷的认识:人类只能感知有限和局部的事物,无法感知、认识和对比无穷、超微观、超的事物,无法感知、认识和对比无穷、超微观、超宏观的现象宏观的现象. 奇异不仅体现在数量对比上,也体现在奇异不仅体现在数量对比上,也体现在空间认识中。空间认识中。徐利治说:徐利治说:“奇异是一种美,奇异到极度更是奇异是一种美,奇异到极度更是一种美一种美. ”数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreci
3、ation本章内容本章内容实数系统实数系统1三种几何并存三种几何并存2河图、洛书与幻方河图、洛书与幻方3数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感,很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想,然而也没有任何其他概念能像无穷那样需要加以阐明.数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciatio
4、n 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics AppreciationIn ThIs secTIon一家人数系扩数系扩充概述充概述连续统连续统假设假设有理数集有理数集实数集实数集数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation德国著名数学家大卫德国著名数学家大卫希尔伯特曾经讲过希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里,希尔伯特成为一个一个精彩故事。在那里,希尔伯特成为一
5、个旅馆的老板,这个旅馆不同于我们现实生活旅馆的老板,这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆,它设有无穷多个房间。中的任何旅馆,它设有无穷多个房间。一天,该旅馆所有的客房已满。这时,一天,该旅馆所有的客房已满。这时,又来了一位客人坚持要住下来。又来了一位客人坚持要住下来。Hilbert 的旅馆的旅馆数系扩充概述1 1数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation自然数是“数”出来的,其历史最早可以追溯到五万年前。
6、 1. 实数系扩充历史数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation分数(有理数)是“分”出来的,早在古希腊时期,人类已经对有理数有了非常清楚的认识,而且他们认为有理数就是所有的数。1. 实数系扩充历史数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Ap
7、preciation无理数是“推”出来的,公元前六世纪,古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理,发现了“无理数”。 毕达哥拉斯毕达哥拉斯(约公元前约公元前560480年)年)1. 实数系扩充历史数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation “无理数无理数”的承认(公元前的承认(公元前4 4世纪)是世纪)是数学发展史上的一个里程碑。数学发展史上的一个里程碑。1. 实数系扩充历史数学欣赏数学欣赏 Mathemat
8、ics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation负数负数是是“欠欠”出来的,它出来的,它是由于借贷关系中量的不是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽首先给国时期数学家刘徽首先给出了负数的定义、记法和出了负数的定义、记法和加减运算法则。加减运算法则。刘徽(公元刘徽(公元250年前年前后)后)1. 实数系扩充历史数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Ap
9、preciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation正数与负数,有理数与无理数,都是具有“实际意义的量”,称之为“实数”,构成实数系统。实数系统是一个没有缝隙的连续系统,任何一条线段的长度都是一个实数。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation复数复数是是“算算”出来的。出来的。 复数最初出现于解二次方程,复数最初出现于解二
10、次方程, 1484年,法国数学家年,法国数学家舒开舒开(Chuquet, 1445-1500)在其)在其算数三篇算数三篇中,中,解方程式解方程式 4x23x,得根,得根 x3/2(9/4-4), 他声明这个根是不可能的。他声明这个根是不可能的。2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation意大利意大利波洛尼波洛尼亚亚大学数学教授大学数学教授卡卡达诺达诺对于复数的建对于复数的建立起到重要作
11、用。立起到重要作用。卡达诺卡达诺(Cardano,1501-1576)2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1545年,年,卡达诺卡达诺在在大衍术大衍术中写到:中写到:“要要把把10分成两部分,使二者分成两部分,使二者乘积为乘积为40,这是不可能的,这是不可能的,不过我却用下列方式解决不过我却用下列方式解决了。了。”155155402. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mat
12、hematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1637年,法国年,法国数学家数学家笛卡尔笛卡尔把这把这样的数叫做样的数叫做“虚数虚数” (“想象中想象中( i m a g i n a r y ) 的的数数”)。)。笛卡尔笛卡尔(R.Descartes,1596-1661)2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mat
13、hematics AppreciationMathematics Appreciation1777年,瑞士数学年,瑞士数学家家欧拉欧拉在其论文中在其论文中首次用符号首次用符号“i” 表表示示(-1),称为,称为虚数虚数单位单位。欧拉欧拉(L.Euler,17071783)2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation在此之前的在此之前的1748年,欧拉给出了著年,欧拉给出了著名名公式公式
14、 eix cosx + i sinx发现了复数与三角函数的关系。发现了复数与三角函数的关系。2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1799年德国数学家年德国数学家高斯高斯已已经知道复数的几何表示;经知道复数的几何表示;1831年,他用年,他用数对数对来代表来代表复数平面上的点:复数平面上的点:(a,b)代代表表 a+bi 。高斯高斯(Carl Friedrich Gauss,17
15、771855)2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation(a,b) a+bi abOyx2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation18世纪后期,随着复数与三角函数关系的揭示
16、,复数的平面坐标的表达等,复数的意义逐渐被明确;19世纪上半叶,复变函数理论建立并得到广泛应用。2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1873年,我国数学家年,我国数学家华华衡芳衡芳(18331902)将意大将意大利 数 学 家利 数 学 家 邦 贝 利邦 贝 利(Bangbeili 15301590) 代代数术数术翻译为中文,将翻译为中文,将 “虚数虚数”引入中国。引入中国。
17、2. 复数系的产生与发展数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation复数系是保持四则运算基本性质的最大数系数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation3. 超复数的产生1843年爱尔兰数学家年爱尔兰数学家哈密哈密尔顿尔顿 发
18、现有序四元实数发现有序四元实数组完全可以组成一个数组完全可以组成一个数系系叫叫“四元数四元数”,这,这是一个乘法不满足交换律是一个乘法不满足交换律的数系。的数系。哈密尔顿 (Hamilton, William Rowan, 18051865)数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation3. 超复数的产生1847年,英国数学家年,英国数学家凯莱凯莱进一步发现了八进一步发现了八元数。这个数系的乘元数。这个数系的乘
19、法不满足交换律,也法不满足交换律,也不满足结合律。不满足结合律。凯莱(Cayley,Arthur. 1821-1895)数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation自然数自然数N 整数整数Z有理数有理数Q 实数实数R复数(二元)复数(二元)C四元数(乘法不可交换)四元数(乘法不可交换)八元数(超复数)八元数(超复数)(乘法不可交换,也不能结合)(乘法不可交换,也不能结合)数学欣赏数学欣赏 Mathematic
20、s Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation4. 数系扩充的科学道理逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色: 逆运算的运算法则来源于正运算,因逆运算的运算法则来源于正运算,因此比正运算困难,以致可能出现无法此比正运算困难,以致可能出现无法进行的现象,从而必须引进新东西,进行的现象,从而必须引进新东西,使数系得以扩展。使数系得以扩展。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciatio
21、n 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation4. 数系扩充的科学道理自然数中减法产生自然数中减法产生0和负数,和负数, 整数系统;整数中除法产生分数,整数中除法产生分数, 有理数系统;自然数中开方产生无理数,自然数中开方产生无理数, 实数系统;负数中开方产生虚数,负数中开方产生虚数, 复数系统。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciatio
22、n数系的每一次扩充,基本都是运算的需要数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation实数中正、负数、有理数都是容易被认识实数中正、负数、有理数都是容易被认识的,而无理数则是神秘的、复杂的、难以的,而无理数则是神秘的、复杂的、难以被认识的;被认识的;实数中,整系数代数多项式的根叫实数中,整系数代数多项式的根叫代数数代数数,例如,例如,1,1/2,31/2,其中有理数是整系数,其中有理数是整系数一次多项式的根;一次
23、多项式的根;实数中不是代数数的数叫实数中不是代数数的数叫超越数超越数,例如,例如, ,e。5. 实数的结构数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation实实数数有有理理数数无无理理数数代代数数数数超超越越数数实实数数数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathema
24、tics Appreciation6. 数集的地位按照恩格斯所说,按照恩格斯所说,各种数集各种数集是数学的两大基本柱石之一。是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。与发展起来的。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation6. 数集的地位按照按照20世纪世纪结构数学的观点,结构数学的观点,数数学是研究模式与秩序的科学。学是研究模式与秩序的科学。数学研究的基本
25、对象是数学研究的基本对象是各种各样的集合各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构以及在它们上面赋予的各种结构. .数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation6. 数集的地位数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation6.
26、 数集的地位数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation6. 数集的地位 在这里:在这里:数集数集就是数学的一种道具,就是数学的一种道具,要在其上赋予要在其上赋予代数结构、序结构代数结构、序结构、拓扑结构,拓扑结构,才能展开数学理论。才能展开数学理论。有 理 数 集2 2数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Ma
27、thematics AppreciationMathematics Appreciation1. 有理数集的代数属性p 有理数集是最小的数域 有理数集在四则运算下是封闭的,而且加法、乘法满足结合律与交换律,并且满足乘法对加法的分配律,具有这种性质的数集叫做数域。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2. 有理数集的几何属性p 有理数在数轴上是稠密的、和谐的。 稠密性:任意两个有理数之间,必然存在第三个有
28、理数,而不管这两个有理数有多么接近。 和谐性:有理数之间相处得亲密无间,对任意一个给定的有理数,永远找不到一个与之最接近的有理数。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2. 有理数集的几何属性011x这里这里有有有有理数理数这两位这两位之间有之间有有理数有理数数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathe
29、matics AppreciationMathematics Appreciation3. 有理数集的集合特征p有理数是可数的与自然数一样多 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。 1874年起,德国数学家康托开始研究这类问题,他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation3. 有理数集的集合特征1845年出生于圣彼得堡,犹太人后裔。1
30、1 岁 时 进 入 德 国 ,1867 年获柏林大学的博士学位,1872 年升为教授。1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。康托(康托(Georg Cantor; 18451918)数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation先数数偶数这个这个世界上,世界上,正偶数正偶数多一些,多一些,还是正整还是正整数数多一些呢?多一些呢?12345678246810121416 知道了知道了:所有正整数和所有正偶
31、数都一样多所有正整数和所有正偶数都一样多!数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation再数数平方数这个这个世界上,世界上,平方数平方数多一些,多一些,还是正整数还是正整数多一些呢?多一些呢?123456781222324252627282 知道了知道了:所有平方数和所有正整数都一样多所有平方数和所有正整数都一样多!数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Ap
32、preciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation可数集像自然数这样可以排成一列或者像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫可以一个一个数下去的无限集叫做做可数集可数集。因此偶数数集、平方数集都是可因此偶数数集、平方数集都是可数集。数集。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation看看格点与整数的比较5432
33、112345xy1(1 , 1)2 (2 , 1)3 (1 , 2)4 (3 , 1)5 (2 , 2)6 (1 , 3) 结论:结论:格点数量格点数量 = = 整数数量整数数量数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation整数、格点与有理数的比较123456(1 , 1) (2 , 1) (1 , 2) (3 , 1) (2 , 2) (1 , 3)112112312213结论结论:整数数量=格点数量 =分数
34、数量数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation有理数是可数集有理数集是可数集数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation4. 有理数集的长度为0有理数在数轴上所占的长度为0如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起
35、,使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙,它们能占用多大的长度?数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation4. 有理数集的长度为0有理数们,排出来!有理数们,排出来!每每“人人”发一顶帽子戴一戴!发一顶帽子戴一戴! ,321nrrrr,2,2,2,232n数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics
36、AppreciationMathematics Appreciation4. 有理数集的长度为0量一量有理数帽子总宽度! n222232 So small!有理数的长度为0!数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation总结一下从代数上看,从代数上看,有理数在四则运算下是封闭的,有理数在四则运算下是封闭的,构成一个数域;构成一个数域;从几何上看,有理数在数轴上是稠密的,从几何上看,有理数在数轴上是稠密的,因此,
37、要去度量任何一件实际事物,因此,要去度量任何一件实际事物,不论要求多高的精度,不论要求多高的精度,只要有理数就够了;只要有理数就够了;从测度上看,有理数很从测度上看,有理数很“轻巧轻巧”,它们是可数的,它们是可数的,在数轴上所占用的长度为在数轴上所占用的长度为0 看看看看有理数有理数优优 点点数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation总结一下说说有理数的缺陷说说有理数的缺陷从代数上看,有理数在从代数上看,有
38、理数在开方运算下不封闭;开方运算下不封闭;从几何上看,有理数在从几何上看,有理数在数轴上还有许多缝隙;数轴上还有许多缝隙;从分析上看,有理数对从分析上看,有理数对极限运算不封闭。极限运算不封闭。实 数 集3 3数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1. 实数理论的建立由于有理数有许多不完备的地方,如果不对有理由于有理数有许多不完备的地方,如果不对有理数进行扩充,关于极限的运算就无法进行,从而数进行扩充,
39、关于极限的运算就无法进行,从而也就不会有微积分。也就不会有微积分。有理数扩充的直接结果是实数集。有理数扩充的直接结果是实数集。关于实数,长期以来,人们只是直觉地去认识:关于实数,长期以来,人们只是直觉地去认识:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数,有理数与无理数统称为限不循环小数,有理数与无理数统称为实数实数。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciati
40、on1. 实数理论的建立19世纪,德国数学家世纪,德国数学家康托康托(G. Cantor, 1845-1918)、)、戴德金戴德金(J. W. R. Dedekind, 18311916) 、魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯( K. W. T. Weierstrass, 18151897 )通过对无理数本质进行深入研究,奠定了实数构通过对无理数本质进行深入研究,奠定了实数构造理论。造理论。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appr
41、eciation1. 实数理论的建立1845年出生于圣彼得堡,犹太人后裔。11 岁时进入德国,1867 年获柏林大学的博士学位,1872 年升为教授。1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1. 实数理论的建立pK.T.W Weierstrass (18151897)p德国数学家;p先修财务、管理、法律,后学数学;p1854年,哥尼斯堡大学名誉博士;p1856
42、年,柏林科学院院士;p数论、几何、复分析。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1. 实数理论的建立戴德金R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于德国不伦瑞克;1916 年2月12 日卒于不伦瑞克; 数学家。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics App
43、reciationMathematics Appreciation2. 实数集的代数属性 实数集是数域实数集是数域 实数集在四则运算下是封闭的,而且实数集在四则运算下是封闭的,而且加法、乘法满足结合律与交换律,并加法、乘法满足结合律与交换律,并且满足乘法对加法的分配律。且满足乘法对加法的分配律。 要严格地证明这一点是困难的,它需要严格地证明这一点是困难的,它需要考虑实数的有序性、四则运算的具要考虑实数的有序性、四则运算的具体定义等。体定义等。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathemati
44、cs AppreciationMathematics Appreciation2. 实数集的几何属性 实数在数轴上是连续的、无缝的。 (1 1)数学分析中有七个等价命题)数学分析中有七个等价命题单调有界数列收敛原理;单调有界数列收敛原理;致密性定理;致密性定理;Cauchy收敛准则收敛准则; 确界定理;确界定理;聚点原理;聚点原理;闭区间套定理;闭区间套定理;有限覆盖定理有限覆盖定理. 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics A
45、ppreciation2. 实数集的几何属性(2)可以进行极限运算)可以进行极限运算这是微积分这是微积分建立的基础建立的基础 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation3. 实数集的集合特点 实数集是不可数的实数集是不可数的与自然数不能建立1-1对应。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics
46、 AppreciationMathematics Appreciation证一证假如实数可数,先把(0,1)内的编号吧!nnnnnnnnnnnaaaaaaraaaaaaraaaaaaraaaaaar543213353433323132252423222121151413121110000数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation假如可将0与1之间的实数编号:矛盾!构造一个(构造一个(0,1)区间的数)区间的
47、数) 1 , 0(0321naaaar, 3, 2, 1,njaajjj其中, 3, 2, 1,njrrj因此数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation实数集是不可数的实数集是不可数集无限集合的基数4 4数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics
48、 Appreciation1. 集合的基数我们知道:自然数集、整数集、奇数集、我们知道:自然数集、整数集、奇数集、偶数集、平方数集、有理数集、实数集等都是偶数集、平方数集、有理数集、实数集等都是无限集无限集它们的元素都有无穷多个。但是它它们的元素都有无穷多个。但是它们也有区别,比如:有理数集等都是可数集,们也有区别,比如:有理数集等都是可数集,而实数集是不可数集。而实数集是不可数集。因此,从对等的角度来看,因此,从对等的角度来看,实数比有理数实数比有理数更多一些更多一些。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣
49、赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1. 集合的基数我们把描述一个集合元素个数多少的量叫我们把描述一个集合元素个数多少的量叫做这个集合的做这个集合的基数基数;可数集可数集的的特征是:其元素可以排成一列或特征是:其元素可以排成一列或者可以一个一个数下去。其者可以一个一个数下去。其基数记为基数记为0 (读作:阿列夫(读作:阿列夫0).因此奇数数集、偶数数集、平方数集、有因此奇数数集、偶数数集、平方数集、有理数集等的基数都是理数集等的基数都是0 。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathema
50、tics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2. 可数基运算可数基可数基?0 0运算性质:运算性质:?0 +n = ?0?0 +?0 = ?0 , n?0= ?0?0?0= ?0 ,(?0)n = ?0数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2. 可数基运算,555453525145444342413
51、53433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 的证明数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2. 可数基运算,152433425141322314132231211211aaaaaaaaaaaaaaa数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Math
52、ematics AppreciationMathematics Appreciation3. 代数数集是可数集 整系数代数多项式(代数方程)的整系数代数多项式(代数方程)的根叫根叫代数数代数数 代数数的个数(基数)是代数数的个数(基数)是 ?0 0 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation3. 代数数集是可数集证明: n次整系数代数多项式至多有次整系数代数多项式至多有(?0)n = ?0个个 所有整系数代
53、数多项式至多有所有整系数代数多项式至多有?0?0 = ?0个个 每个每个n次整系数代数多项式至多有次整系数代数多项式至多有?0个根个根 所有代数数有所有代数数有?0个个 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation4. 实数集是不可数的 实数集是不可数的,其基(连续实数集是不可数的,其基(连续统基数)记为统基数)记为 ?1 。 ?1 ?0 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation M
54、athematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation总结一下实数(不可数)实数(不可数)有理数有理数(可数)(可数)无理数无理数(?)(?)代数数代数数(可数)(可数)超越数超越数(?)(?)无理数无理数( (不可数不可数) )超越数超越数(不可数不可数)数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation总
55、结一下有理数集可数(基为有理数集可数(基为 ?0 0 )无理数集不可数(基为无理数集不可数(基为 ?1 1 )代数数集可数(基为代数数集可数(基为 ?0 0 )超越数集不可数(基为超越数集不可数(基为 ?1 1 )数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation5. 连续统基数运算连续统基数连续统基数?1运算性质运算性质?1 +n +?0 = ?1?1 + ?1 = ?1 , n?1= ?1?0?1= ?1 ,(
56、?1)n = ?1数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation6. 超越数知多少? 实数中不是代数数的数叫超越数,超越数有?1个。 最早认识的超越数刘维尔数(1851年) L=1/10n!=0.11000100000, 其中的1分布在小数点后第1,2,6,24,120,720,5040,等处。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation
57、数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation6. 超越数知多少?最熟悉的超越数:自然对数的底:自然对数的底e,圆周率,圆周率 ,光速,万有引力,光速,万有引力常数常数 其中其中e的超越性由的超越性由Hermit在在1873年证明年证明, 的超越性由的超越性由Lindemann在在1882年证明年证明.认识超穷数5 5数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Ap
58、preciation超穷数 ?0 和 ?1 都表示的是无限集的个数,它们从本质上都代表无穷,但又有所区别,称这样的数为超穷数。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1. 幂集的基数设M是一个集合,由M的所有子集构成的集合称为M的幂集。记为 P(M)或 2M.例 M= , P(M)= M=1, P(M)=,MM=1,2, P(M)=,1,2,MM=1,2,3, P(M)= ,1,2,3,1,2,1,3,
59、2,3,M数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1. 幂集的基数M=, P(M)=; |M|= 0, |P(M)| = 1;M=1, P(M)=,M; |M|= 1, |P(M)| = 2;M=1,2, P(M)=,1,2,M; |M|= 2, |P(M)| = 4;M=1,2,3, P(M)=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,M;|M|= 3, |P(M)| = 8。数学欣赏数学欣赏 Mathem
60、atics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1. 幂集的基数一般地,可以证明,对有限集M,永远有 |P(M)| = 2|M|问题:无限集的结论如何?数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2. Cantor没有最大基数定理Cantor定理 对任意集合
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