【月考试卷】2021年第二学期高一月考试卷数学（必修4、5）及答案

1、2021年第二学期高一月考试卷数学（必修4、5）考试时间120分钟，试卷满分150分 命卷：陈兆明 审核：曾庆国一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于(    )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知平面向量a=(1,2)，b=(x,2)，若a与b共线，则x的值为()A. 4B. 4C. 1D. 13. 棱长为4的正方体的内切球的表面积为(    )A. 4B. 12C. 16D. 204. 给定ABC的三个条件：A=60，b=4，

2、a=2，则这样的三角形解的个数为(    )A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个5. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则ABC的面积S等于()A. 10B. 103C. 20D. 2036. 在ABC中，若acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为(    )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7. i为虚数单位，复数2i1i在复平面内对应的点到原点的距离为()A. 12B. 22C. 2D. 18. 已知向量a与向量b满足|a

3、|=3，|b|=2，|2a+b|=213，则a与b的夹角为()A. 6B. 4C. 3D. 239. 已知平面向量a,b是非零向量，|a|=2，a(a+2b)，则向量b在向量a方向上的投影为()A. 1B. 1C. 2D. 210. 若z=4+3i，则z|z|=()A. 1B. 1C. 45+35iD. 4535i11. 如图，一栋建筑物AB的高为(30103)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面点M(B,M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为(   )A. 30mB. 60mC

4、. 303mD. 403m12. 如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是(  )A. 13B. 7C. 433D. 332二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为            14. 计算i+1i16=_15. 一条河宽为400m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/.

5、水速为12km/，则船到达B处所需时间为 _min16. 如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为，且tan=7，OB与OC的夹角为45，若OC=mOA+nOB(m,nR)，则m+n=_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，假设冰淇淋融化后体积不变，是否会溢出杯子？请说明理由.请用你的计算数据说明理由.(冰、水的体积差异忽略不计)(取3.14)18. 已知向量|a|=2，b=(12,32)，且a与b夹角为23，(1)求|a+2b|；     

6、;  (2)若(a+kb)(2ba)，求实数k的值19. 在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A为(31)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离A为2 海里的C处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10 海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜()问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？()问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间20. 在ABC中，a2+c2=b2+2ac()求B的大小；()求2cosA+cosC的最大值21. 如图，已知ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：

7、DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P.设存在和使AP=AE，PD=CD，AB=a，BC=b(1)求及；(2)用a，b表示BP；(3)求PAC的面积22. 已知O为坐标原点，OA=(2cosx,3)，OB=(sinx+3cosx,1)，若f(x)=OAOB+2()求函数f(x)的单调递减区间；()当x(0,2)时，若方程f(x)+m=0有根，求m的取值范围2021年高一数学第一阶段月考试卷答案和解析【答案】1. D2. C3. C4. A5. B6. C7. C8. C9. B10. D11. B12. B13. 43  14. 1  15. 1.5

8、  16. 3  17. 解：半球的半径为5cm，圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，V半球=12×43R3=12×43×53(cm3)261.66(cm3)V圆锥=13r2=13×52×12(cm3)314(cm3)V半球<V圆锥冰淇淋融化了，不会溢出杯子  18. 解：(1)因为b=(12,32)，所以|b|=1，又因为|a|=2，a与b的夹角为120，ab=1 ，所以|a+2b|=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×

9、;(12)+4=2(2)由(a+kb)(2ba)，得(a+kb)·(2ba)=0，即2k4+(2k)×2×1×cos120=0，解得k=2  19. 解：(I)由题意可知AB=31，AC=2，BAC=120，在ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC22ABACcos120=6，BC=6由正弦定理得：ACsinABC=BCsinBAC，即2sinABC=632，解得sinABC=22，ABC=45，C船在B船的正西方向(II)由(1)知BC=6，DBC=120，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，则BD=10t，CD=103t，在B

10、CD中，由正弦定理得：103tsin120=10tsinBCD，解得sinBCD=12，BCD=30，BCD是等腰三角形，10t=6，即t=610缉私艇沿北偏东60方向行驶610小时才能最快追上走私船  20. 解：()在ABC中，a2+c2=b2+2aca2+c2b2=2ac，cosB=a2+c2b22ac=2ac2ac=22，B=4；()由(I)得：C=34A，2cosA+cosC=2cosA+cos(34A)=2cosA22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=sin(A+4)，A(0,34)，A+4(4,)，故当A+4=2时，sin(A+4)取最大值1

11、，即2cosA+cosC的最大值为1  21. 解：(1)由于AB=a，BC=b，则AE=a+23b，DC=13a+b，AP=AE=(a+23b)，DP=DC=(13a+b)，AP=AD+DP=23AB+DP，23a+(13a+b)=(a+23b)，=23+13 ，23= ，由得=67，=47(2)BP=BA+AP=a+67×(a+23b)=17a+47b(3)设ABC底边AB上的高为h，PAB底边AB上的高为1，1：=|PD|：|CD|=47，SPAB=47SABC=8，设ABC底边BC上的高为2，PBC底边BC上的高为3，3：2=|PE|：

12、|AE|=1=17，SPBC=17SABC=2，所以SPAC=SABCSPABSPBC=4.  22. 解：()OA=(2cosx，3)，OB=(sinx+3cosx,1)，f(x)=OAOB+2=2cosxsinx+23cos2x3+2，=sin2x+3cos2x+2，=2sin(2x+3)+2，其单调递减区间满足2k+22x+32k+32，kZ，解得：k+12xk+712，kZ，f(x)的单调减区间为k+12,k+712，kZ()当x(0,2)时，方程f(x)+m=0有根，m=f(x)x(0,2)，2x+3(3,43)，32<sin(2x+3)1，f(x)(3+2

13、,4，m4,32)  【解析】1. 【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查【解答】解：复数11i=1+i(1i)(1+i)=12+12i，共轭复数对应点的坐标(12,12)在第四象限故选D2. 【分析】本题考查了平面向量共线定理的坐标表示问题，是基础题目根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程求x的值【解答】解：平面向量a=(1,2)，b=(x,2)，若a与b共线，则2x1×(2)=0，解得x=1故选C3. 【分析】棱长为4的正方体的内切球的半径r=2，由此能求出其表面积.本题考查正方体的内切

14、球的性质和应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答【解答】解：棱长为4的正方体的内切球的半径r=2，表面积=4r2=16故选C4. 解：在ABC中，a=2，b=4，A=60，由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=4×322=3>1，则此三角形无解故选：A利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可做出判断此题考查了正弦定理，以及正弦函数的值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题5. 【分析】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinC是解题的关键，属于基础题利用余弦定理求得cosC，再利用同角三角函数的

15、基本关系求得sinC，代入ABC的面积公式进行运算即可【解答】解：在ABC中，若三边长分别为a=7，b=5，c=8，由余弦定理可得64=49+252×7×5cosC，cosC=17，C0,，sinC=437，SABC=12absinC=12×7×5×437=103故选B6. 解：在ABC中，由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=sin2B，即sin(A+C)=sinB=sin2B.0<B<，sinB0，sinB=1，B=2所以三角形为直角三角形故选：C由已知以及正弦定理可知sinA

16、cosC+sinCcosA=sin2B，化简可得sinB=sin2B，结合B的范围可求B=2，从而得解本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题7. 解：2i1i=2i(1+i)(1i)(1+i)=1+i，复数2i1i在复平面内对应的点的坐标为：(1,1)，到原点的距离为：2故选：C由复数代数形式的乘除运算化简复数2i1i，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题8. 【分析】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题设a与b的夹角为，由条件利用两个向量的

17、数量积的定义，求得cos的值，可得的值【解答】解：设a与b的夹角为，|a|=3，|b|=2，|2a+b|=213，4a2+4ab+b2=4×13，即4×9+4×3×2×cos+4=4×13，求得cos=12，=3，故选C9. 【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用，先根据向量垂直，得到ab=2，再根据投影的定义即可求出，属基础题【解答】解：平面向量a,b是非零向量，|a|=2，a(a+2b)，a(a+2b)=0，即a2+2ab=0，即ab=2，向量b在向量a方向上的投影为a·ba=22=1故

18、选B10. 【分析】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力.利用复数的除法以及复数的模化简求解即可【解答】解：z=4+3i，则z|z|=43i|4+3i|=43i5=4535i.故选D11. 【分析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题设AECD，垂足为E，在AMC中，利用正弦定理，求出AC，即可得出结论【解答】解：设AECD，垂足为E，则在AMC中，AM=ABsin15=206，AMC=105，C=30，ACsin105=206sin30，AC=60+203，CE=30+103，CD=30103+30+103=60，故选：B12.

19、 【分析】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用余弦定理解决要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2=3，解得：=23，AOA'=23，则1=3，在OAC中，由余弦定理得，故选B13. 【分析】本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键根据已知中，

20、将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和圆的结构特征，就是正方体的内切球，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案. 【解答】解：将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长2，则球的半径R=1，则球的体积V=43R3=43故选A14. 根据向量垂直的充要条件便可得出ab=0，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念15. 【分析】本题考查向量加法及几何意义，涉及向量在物理学中的应用，属基础题由平行四边形法则可得合速度v=v1+v2，在

21、直角三角形ABC中，由勾股定理可得可得|v|，进而可得所需的时间【解答】解：船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图所示 v1=20，v2=12根据勾股定理 v=16(km/)=8003(m/min)，t=4008003=1.5，所以所需时间为 1.5min故答案为1.516. 【分析】如图所示，建立直角坐标系.A(1,0).由OA与OC的夹角为，且tan=7.可得cos=152，sin=752.C(15,75).可得cos(+45)=35sin(+45)=45.B(35,45).利用OC=mOA+nOB(m,nR)，即可得出.本题考查了向量坐标运算性质、和差

22、公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.A(1,0)由OA与OC的夹角为，且tan=7cos=152，sin=752C(15,75)cos(+45)=22(cossin)=35sin(+45)=22(sin+cos)=45B(35,45)OC=mOA+nOB(m,nR)，15=m35n，75=0+45n，解得n=74，m=54则m+n=3故答案为317. 根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即可得答案本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题18. 本题考查平面向量的数量积的运算，考查理解与运算能力，属于中档题(1)由b=(12,32)，可得|b